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S'écouler dans un canal
Storyboard 
S'il existe une nappe phréatique à une certaine profondeur et une cavité sous forme de canal, l'eau commencera à s'y écouler pour la remplir. Au fur et à mesure que l'eau s'écoule à un débit égal au flux au sein de la nappe phréatique qui la recharge, le canal atteindra une profondeur dépendant de ce flux.
ID:(2080, 0)
S'écouler dans un canal
Concept
Dans le cas de l'écoulement vers un canal, le système peut être modélisé de manière unidimensionnelle, où A hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) est une fonction de a position de la colonne d'eau au sol ($x$) représentant a densité de flux ($j_s$), et elle satisfait à la condition
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
avec le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) définissant le profil de l'eau dans le sol :
La clé de cette équation est que le produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et de a densité de flux ($j_s$) doit toujours rester constant. En ce sens, si a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) augmente, a densité de flux ($j_s$) diminue et vice versa. De plus, le signe reste le même ; donc, l'écoulement vers le canal, c'est-à-dire l'écoulement négatif, se produira uniquement lorsque le niveau de la nappe phréatique est plus élevé que celui du canal. À mesure que le liquide s'approche du canal, le niveau de la nappe phréatique diminue, entraînant une augmentation de la densité de l'écoulement.
ID:(15104, 0)
Solution de hauteur d'écoulement vers un canal
Concept
La solution de l'équation de flux unidimensionnel en direction d'un canal, où A hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) est calculé en fonction de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$) au bord du canal, ainsi que de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), a la forme suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Cette solution est représentée graphiquement en fonction des facteurs supplémentaires $h/h_0$ et $x/s_0$ de la manière suivante :
Le profil révèle qu'à distance du canal, la hauteur de la colonne d'eau est considérablement élevée. Cependant, en raison de l'extraction d'eau par le canal, cette hauteur commence à diminuer jusqu'à atteindre le bord du canal. Dynamiquement, a densité de flux ($j_s$) détermine la quantité d'eau qui s'écoule dans le canal, tandis que a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) s'ajuste progressivement jusqu'à atteindre un état d'équilibre. En d'autres termes, si la valeur de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) est trop basse par rapport à la quantité totale d'eau qui arrive dans le canal, elle augmente ; et si elle est trop élevée, elle diminue. De cette manière, a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) acquiert la valeur qui équilibre la quantité d'eau entrante avec la quantité d'eau s'écoulant à travers le canal.
ID:(15109, 0)
Solution de densité de flux vers un canal
Concept
La solution obtenue pour la hauteur et les paramètres le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) révèle que a densité de flux ($j_s$) est donné par :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Nous pouvons représenter graphiquement a densité de flux ($j_s$) en fonction des facteurs additionnels $j_s/j_{s0}$ et $x/s_0$ de la manière suivante :
Il est notable que a densité de flux ($j_s$) continue d'augmenter à mesure que nous nous approchons du canal, car a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) diminue. Cette augmentation est nécessaire pour maintenir la vitesse de l'écoulement dans a densité de flux ($j_s$) ou, en alternance, pour l'augmenter.
ID:(15110, 0)
Modèle
Top
Paramètres
Variables
Calculs
à 
, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $
h * @DIFF( h , x, 1) = h_0 ^2/ s_0
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $
h / h_0 = sqrt(1 + 2* x / s_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $
j / j_s0 = 1/sqrt(1 + 2* x / s_0 )
$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$
s_0 = abs( j_s0 )/( K_s * h_0 )
ID:(15819, 0)
Solution statique en une dimension
Équation
Nous pouvons étudier le cas stationnaire, ce qui implique que a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) divisé par a densité de flux ($j_s$) doit être constant et, en particulier, peut prendre des valeurs à un point spécifique représenté par a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Si, pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) divisé par a densité de flux ($j_s$), l'équation
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
dans le cas stationnaire se réduit à
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
ce qui correspond au produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) par a densité de flux ($j_s$) étant constant. Si vous avez des valeurs pour un point spécifique défini par a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$), alors vous avez :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Note : L'équation différentielle est une équation différentielle ordinaire car elle dépend uniquement de la position $x$ et non plus du temps $t$.
ID:(15107, 0)
Longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol
Équation
Avec a conductivité hydraulique ($K_s$), le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$), on peut définir un longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) de la manière suivante :
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
Pour ne pas compliquer l'analyse, nous avons défini l'expression en tenant compte de la valeur absolue de le flux à un point de référence ($j_{s0}$), afin d'éviter les situations où celle-ci pourrait être négative. Cela signifie que, en fonction du signe de le flux à un point de référence ($j_{s0}$), nous devons exprimer la relation en supposant une dérivée positive ou négative, déterminant ainsi la direction de l'écoulement.
ID:(4747, 0)
Équation de débit dans un canal
Équation
L'équation différentielle permettant de calculer a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de a position de la colonne d'eau au sol ($x$), a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) est la suivante :
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
L'équation pour le produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et a densité de flux ($j_s$) en fonction de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) est la suivante :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Et avec l'équation qui décrit a densité de flux ($j_s$) en termes de a conductivité hydraulique ($K_s$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$) :
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Et avec l'expression pour le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) :
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
Nous pouvons dériver l'équation résultante de la manière suivante :
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
ID:(15108, 0)
Hauteur d'écoulement dans un canal
Équation
L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) et dépendante de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) est la suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) et dépendante de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) est la suivante :
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
Nous pouvons la réarranger pour faciliter l'intégration comme suit :
$h dh = \displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$
Ensuite, en intégrant par rapport à $h_0$, la hauteur à l'origine, nous obtenons :
$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =\displaystyle\frac{h_0^2}{s_0}x$
Cela nous conduit à l'expression suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
ID:(15105, 0)
Densité du flux dans un canal
Équation
La solution pour a densité de flux ($j_s$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) donnée a position de la colonne d'eau au sol ($x$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Avec la solution pour a densité de flux ($j_s$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) donnée a position de la colonne d'eau au sol ($x$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), nous avons :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Nous pouvons calculer a densité de flux ($j_s$) avec a conductivité hydraulique ($K_s$) en utilisant :
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
et en utilisant
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
de cette manière, nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
ID:(15106, 0)