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S'écouler dans un canal

Storyboard

S'il existe une nappe phréatique à une certaine profondeur et une cavité sous forme de canal, l'eau commencera à s'y écouler pour la remplir. Au fur et à mesure que l'eau s'écoule à un débit égal au flux au sein de la nappe phréatique qui la recharge, le canal atteindra une profondeur dépendant de ce flux.

>Modèle

ID:(2080, 0)



Mécanismes

Iframe

>Top



Code
Concept

Mécanismes

ID:(15815, 0)



S'écouler dans un canal

Concept

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Dans le cas de l'écoulement vers un canal, le système peut être modélisé de manière unidimensionnelle, où A hauteur de la colonne d'eau au sol (h) est une fonction de a position de la colonne d'eau au sol (x) représentant a densité de flux (j_s), et elle satisfait à la condition

h j_s = h_0 j_{s0}



avec le flux à un point de référence (j_{s0}) et a hauteur de référence de la colonne d'eau (h_0) définissant le profil de l'eau dans le sol :



La clé de cette équation est que le produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol (h) et de a densité de flux (j_s) doit toujours rester constant. En ce sens, si a hauteur de la colonne d'eau au sol (h) augmente, a densité de flux (j_s) diminue et vice versa. De plus, le signe reste le même ; donc, l'écoulement vers le canal, c'est-à-dire l'écoulement négatif, se produira uniquement lorsque le niveau de la nappe phréatique est plus élevé que celui du canal. À mesure que le liquide s'approche du canal, le niveau de la nappe phréatique diminue, entraînant une augmentation de la densité de l'écoulement.

ID:(15104, 0)



Solution de hauteur d'écoulement vers un canal

Concept

>Top


La solution de l'équation de flux unidimensionnel en direction d'un canal, où A hauteur de la colonne d'eau au sol (h) est calculé en fonction de a hauteur de référence de la colonne d'eau (h_0) et a position de la colonne d'eau au sol (x) au bord du canal, ainsi que de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol (s_0), a la forme suivante :

\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}



Cette solution est représentée graphiquement en fonction des facteurs supplémentaires h/h_0 et x/s_0 de la manière suivante :



Le profil révèle qu'à distance du canal, la hauteur de la colonne d'eau est considérablement élevée. Cependant, en raison de l'extraction d'eau par le canal, cette hauteur commence à diminuer jusqu'à atteindre le bord du canal. Dynamiquement, a densité de flux (j_s) détermine la quantité d'eau qui s'écoule dans le canal, tandis que a hauteur de référence de la colonne d'eau (h_0) s'ajuste progressivement jusqu'à atteindre un état d'équilibre. En d'autres termes, si la valeur de a hauteur de référence de la colonne d'eau (h_0) est trop basse par rapport à la quantité totale d'eau qui arrive dans le canal, elle augmente ; et si elle est trop élevée, elle diminue. De cette manière, a hauteur de référence de la colonne d'eau (h_0) acquiert la valeur qui équilibre la quantité d'eau entrante avec la quantité d'eau s'écoulant à travers le canal.

ID:(15109, 0)



Solution de densité de flux vers un canal

Concept

>Top


La solution obtenue pour la hauteur et les paramètres le flux à un point de référence (j_{s0}) et a hauteur de référence de la colonne d'eau (h_0) révèle que a densité de flux (j_s) est donné par :

\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}}



Nous pouvons représenter graphiquement a densité de flux (j_s) en fonction des facteurs additionnels j_s/j_{s0} et x/s_0 de la manière suivante :



Il est notable que a densité de flux (j_s) continue d'augmenter à mesure que nous nous approchons du canal, car a hauteur de la colonne d'eau au sol (h) diminue. Cette augmentation est nécessaire pour maintenir la vitesse de l'écoulement dans a densité de flux (j_s) ou, en alternance, pour l'augmenter.

ID:(15110, 0)



Modèle

Top

>Top



Paramètres

Symbole
Texte
Variable
Valeur
Unités
Calculer
Valor MKS
Unités MKS
K_s
K_s
Conductivité hydraulique
m/s
j_{s0}
j_s0
Flux à un point de référence
m/s
h_0
h_0
Hauteur de référence de la colonne d'eau
m
s_0
s_0
Longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol
m

Variables

Symbole
Texte
Variable
Valeur
Unités
Calculer
Valor MKS
Unités MKS
h
h
Hauteur de la colonne d'eau au sol
m
x
x
Position de la colonne d'eau au sol
m
j_s
j_s
Vitesse du fluide
m/s

Calculs


D'abord, sélectionnez l'équation: à , puis, sélectionnez la variable: à

Calculs

Symbole
Équation
Résolu
Traduit

Calculs

Symbole
Équation
Résolu
Traduit

Variable Donnée Calculer Cible : Équation À utiliser




Équations

#
Équation

h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 }

h * @DIFF( h , x, 1) = h_0 ^2/ s_0


h j_s = h_0 j_{s0}

h * j_s = h_0 * j_{s0}


\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}

h / h_0 = sqrt(1 + 2* x / s_0 )


\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}}

j / j_s0 = 1/sqrt(1 + 2* x / s_0 )


s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }

s_0 = abs( j_s0 )/( K_s * h_0 )

ID:(15819, 0)



Solution statique en une dimension

Équation

>Top, >Modèle


Nous pouvons étudier le cas stationnaire, ce qui implique que a hauteur de la colonne d'eau au sol (h) divisé par a densité de flux (j_s) doit être constant et, en particulier, peut prendre des valeurs à un point spécifique représenté par a hauteur de référence de la colonne d'eau (h_0) et le flux à un point de référence (j_{s0}) :

h j_s = h_0 j_{s0}

j_{s0}
Flux à un point de référence
m/s
10144
h
Hauteur de la colonne d'eau au sol
m
10145
h_0
Hauteur de référence de la colonne d'eau
m
10143
j_s
Vitesse du fluide
m/s
6015

Si, pour a hauteur de la colonne d'eau au sol (h) divisé par a densité de flux (j_s), l'équation

\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )



dans le cas stationnaire se réduit à

\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0



ce qui correspond au produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol (h) par a densité de flux (j_s) étant constant. Si vous avez des valeurs pour un point spécifique défini par a hauteur de référence de la colonne d'eau (h_0) et le flux à un point de référence (j_{s0}), alors vous avez :

h j_s = h_0 j_{s0}

Note : L'équation différentielle est une équation différentielle ordinaire car elle dépend uniquement de la position x et non plus du temps t.

ID:(15107, 0)



Longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol

Équation

>Top, >Modèle


Avec a conductivité hydraulique (K_s), le flux à un point de référence (j_{s0}) et a hauteur de référence de la colonne d'eau (h_0), on peut définir un longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol (s_0) de la manière suivante :

s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }

K_s
Conductivité hydraulique
m/s
6048
j_{s0}
Flux à un point de référence
m/s
10144
h_0
Hauteur de référence de la colonne d'eau
m
10143
s_0
Longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol
m
10147



Pour ne pas compliquer l'analyse, nous avons défini l'expression en tenant compte de la valeur absolue de le flux à un point de référence (j_{s0}), afin d'éviter les situations où celle-ci pourrait être négative. Cela signifie que, en fonction du signe de le flux à un point de référence (j_{s0}), nous devons exprimer la relation en supposant une dérivée positive ou négative, déterminant ainsi la direction de l'écoulement.

ID:(4747, 0)



Équation de débit dans un canal

Équation

>Top, >Modèle


L'équation différentielle permettant de calculer a hauteur de la colonne d'eau au sol (h) en fonction de a position de la colonne d'eau au sol (x), a hauteur de référence de la colonne d'eau (h_0) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol (s_0) est la suivante :

h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 }

h
Hauteur de la colonne d'eau au sol
m
10145
h_0
Hauteur de référence de la colonne d'eau
m
10143
s_0
Longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol
m
10147
x
Position de la colonne d'eau au sol
m
10146

L'équation pour le produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol (h) et a densité de flux (j_s) en fonction de a hauteur de référence de la colonne d'eau (h_0) et le flux à un point de référence (j_{s0}) est la suivante :

h j_s = h_0 j_{s0}



Et avec l'équation qui décrit a densité de flux (j_s) en termes de a conductivité hydraulique (K_s) et a position de la colonne d'eau au sol (x) :

j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }



Et avec l'expression pour le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol (s_0) :

s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }



Nous pouvons dériver l'équation résultante de la manière suivante :

h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 }

ID:(15108, 0)



Hauteur d'écoulement dans un canal

Équation

>Top, >Modèle


L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol (h) en fonction de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol (s_0) et dépendante de a hauteur de référence de la colonne d'eau (h_0) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol (s_0) est la suivante :

\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}

h
Hauteur de la colonne d'eau au sol
m
10145
h_0
Hauteur de référence de la colonne d'eau
m
10143
s_0
Longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol
m
10147
x
Position de la colonne d'eau au sol
m
10146

L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol (h) en fonction de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol (s_0) et dépendante de a hauteur de référence de la colonne d'eau (h_0) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol (s_0) est la suivante :

h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 }



Nous pouvons la réarranger pour faciliter l'intégration comme suit :

h dh = \displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx



Ensuite, en intégrant par rapport à h_0, la hauteur à l'origine, nous obtenons :

\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =\displaystyle\frac{h_0^2}{s_0}x



Cela nous conduit à l'expression suivante :

\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}

ID:(15105, 0)



Densité du flux dans un canal

Équation

>Top, >Modèle


La solution pour a densité de flux (j_s) et le flux à un point de référence (j_{s0}) donnée a position de la colonne d'eau au sol (x) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol (s_0), nous obtenons :

\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}}

j_{s0}
Flux à un point de référence
m/s
10144
s_0
Longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol
m
10147
x
Position de la colonne d'eau au sol
m
10146
j_s
Vitesse du fluide
m/s
6015

Avec la solution pour a densité de flux (j_s) et le flux à un point de référence (j_{s0}) donnée a position de la colonne d'eau au sol (x) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol (s_0), nous avons :

\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}



Nous pouvons calculer a densité de flux (j_s) avec a conductivité hydraulique (K_s) en utilisant :

j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }



et en utilisant

s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }



de cette manière, nous obtenons :

\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}}

ID:(15106, 0)