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Flujo hacia un canal
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Si hay una napa freática a una cierta profundidad y existe una hendidura en forma de canal, el agua comenzará a fluir para llenarla. A medida que el agua fluye a una velocidad igual al flujo dentro de la napa que la repone, el canal alcanzará una profundidad que depende de ese flujo.
ID:(2080, 0)
Flujo hacia un canal
Concepto
En el caso del flujo hacia un canal, se puede modelar el sistema de manera unidimensional, donde la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) es una función de la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) que representa la densidad de flujo ($j_s$) y satisface la condición
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
con el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) que definen el perfil del agua en el suelo:
La clave de la ecuación es que el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la densidad de flujo ($j_s$) debe ser siempre constante. En ese sentido, si la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) crece, la densidad de flujo ($j_s$) decrece y viceversa. Por otro lado, el signo es siempre igual, en este sentido, un flujo hacia el canal, es decir, negativo, ocurrirá solo si la altura de la napa es superior a la del canal, y a medida que el líquido se acerca al canal, la altura disminuirá y la densidad de flujo aumentará.
ID:(15104, 0)
Solución altura del flujo hacia un canal
Concepto
La solución de la ecuación de flujo en una dimensión hacia un canal, en la cual se calcula el valor de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) en el borde del canal, junto con el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), tiene la siguiente forma:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Esta solución se representa gráficamente en función de los factores adicionales $h/h_0$ y $x/s_0$ de la siguiente manera:
El perfil revela que, lejos del canal, la altura de la columna de agua es notablemente alta. Sin embargo, debido a la extracción de agua por el canal, esta altura comienza a disminuir hasta alcanzar el borde del canal. De manera dinámica, la densidad de flujo ($j_s$) determina la cantidad de agua que fluye hacia el canal, mientras que la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se ajusta gradualmente hasta alcanzar un estado de equilibrio. En otras palabras, si el valor de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) es demasiado bajo en relación con la cantidad total de agua que llega al canal, se incrementa; y si es demasiado alto, disminuye. De esta manera, la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) adquiere el valor que equilibra la cantidad de agua que llega con la cantidad de agua que se desplaza a través del canal.
ID:(15109, 0)
Solución densidad de flujo hacia un canal
Concepto
La solución obtenida para la altura y los parámetros el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) nos muestra que la densidad de flujo ($j_s$) es igual a:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Podemos representar la densidad de flujo ($j_s$) gráficamente en función de los factores adicionales $j_s/j_{s0}$ y $x/s_0$ de la siguiente manera:
la densidad de flujo ($j_s$) continúa aumentando a medida que nos acercamos al canal, a medida que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) disminuye. Este aumento es necesario para mantener la velocidad del flujo en la densidad de flujo ($j_s$) o, en su defecto, para incrementarla.
ID:(15110, 0)
Modelo
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Cálculos
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, luego, seleccione la variable: 
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Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $
h * @DIFF( h , x, 1) = h_0 ^2/ s_0
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $
h / h_0 = sqrt(1 + 2* x / s_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $
j / j_s0 = 1/sqrt(1 + 2* x / s_0 )
$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$
s_0 = abs( j_s0 )/( K_s * h_0 )
ID:(15819, 0)
Solución estatica en una dimensión
Ecuación
Podemos estudiar el caso estacionario, lo que implica que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) dividido por la densidad de flujo ($j_s$) debe ser constante y, en particular, puede tomar valores en un punto específico representados por la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$):
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Si para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) dividido por la densidad de flujo ($j_s$) la ecuación
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
en el caso estacionario se reduce a
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
lo que corresponde a que el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) por la densidad de flujo ($j_s$) es constante. Si se tienen los valores para un punto en particular, definido por la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$), entonces se tiene que:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Nota: La ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria, ya que depende únicamente de la posición $x$ y no del tiempo $t$ en absoluto.
ID:(15107, 0)
Largo característico del flujo en el suelo
Ecuación
Con la conductividad hidráulica ($K_s$), el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se puede definir un largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) de la siguiente manera:
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
Para simplificar el análisis, hemos definido la expresión teniendo en cuenta el valor absoluto de el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) para evitar situaciones en las que este sea negativo. Esto implica que, dependiendo del signo de el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$), debemos establecer la relación asumiendo una derivada positiva o negativa, lo que determina la dirección del flujo.
ID:(4747, 0)
Ecuación del flujo hacia un canal
Ecuación
La ecuación diferencial para calcular la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de la posición de la columna de agua en el suelo ($x$), la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) es:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
La ecuación para el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la densidad de flujo ($j_s$) en función de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) es la siguiente:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
y con la ecuación que describe la densidad de flujo ($j_s$) en términos de la conductividad hidráulica ($K_s$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$):
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
y con la expresión para el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$):
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
podemos derivar la ecuación resultante de la siguiente manera:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
ID:(15108, 0)
Altura del flujo hacia un canal
Ecuación
La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y que depende de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) es la siguiente:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y que depende de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) es la siguiente:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
Podemos despejarla para facilitar la integración de la siguiente manera:
$h dh = \displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$
Luego, integrando con respecto a $h_0$, la altura en el origen, obtenemos:
$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =\displaystyle\frac{h_0^2}{s_0}x$
Esto nos lleva a la siguiente expresión:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
ID:(15105, 0)
Densidad de flujo hacia un canal
Ecuación
La solución para la densidad de flujo ($j_s$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) dados la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), obtenemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Con la solución para la densidad de flujo ($j_s$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) dados la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), obtenemos:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Podemos calcular la densidad de flujo ($j_s$) con la conductividad hidráulica ($K_s$) mediante:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
y utilizando
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
de esta manera, obtenemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
ID:(15106, 0)