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Flujo desde un canal
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Si existe un canal por encima del nivel de la napa freática, se creará un flujo desde el canal hacia la napa. Este flujo dependerá de las propiedades del suelo y del flujo que ocurre en el canal.
ID:(2081, 0)
Flujo desde un canal
Concepto
En el caso en que el flujo surge desde el canal, se presenta la situación en la que el nivel de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) debe disminuir a medida que nos alejamos del canal, de manera que exista el gradiente de presión que genera el flujo. El problema es que si el flujo se desplaza rápidamente dentro del medio, la altura tenderá a cero y, con ello, el flujo aumentará infinitamente, lo que carece de sentido.
Esto significa que no existe una solución estacionaria y, ante esta situación, la única solución es que el medio se llene hasta que alcance la altura del canal, es decir, se vuelva constante.
La pregunta es si existe una situación estacionaria que no sea trivial y que represente una situación real de interés. Un caso posible es si el nivel del medio disminuye al punto en que se vuelve menor que la columna antes de que la solución diverja. Este caso corresponde a la situación en la que el flujo aflora a la superficie y no existe la situación en la que la solución diverja. Esto significaría que se genera un flujo que sale al exterior en un punto, con el riesgo de debilitar el fundamento y, por lo tanto, desestabilizar el medio, que actúa como una represa.
ID:(4746, 0)
Situación que cumple condiciones de borde
Concepto
Si consideramos una situación en la que el flujo desde el canal puede aflorar en la superficie, tenemos una situación en la que el flujo entra y luego sale del medio, lo que hace que la solución sea viable.
El afloramiento en la superficie simplemente implica que la altura de la columna de líquido se vuelve más alta que la del propio medio. De hecho, al igual que en el caso de un flujo hacia un canal, esto generaría agua en la superficie que, de no fluir, formaría un nuevo canal.
En el caso del flujo desde un canal, es posible modelar el sistema de manera unidimensional, donde la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) es una función de la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) que representa la densidad de flujo ($j_s$) y satisface la condición:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Con el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) que definen el perfil del agua en el suelo, como se muestra en la siguiente imagen:
La clave de la ecuación radica en que el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la densidad de flujo ($j_s$) debe ser constante en todo momento. En este sentido, si la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) aumenta, la densidad de flujo ($j_s$) disminuirá y viceversa. Además, el signo siempre es el mismo. Por lo tanto, un flujo desde el canal, es decir, un flujo positivo, solo ocurrirá si la altura del canal es mayor que la del punto donde el flujo aflora. A medida que el líquido se aleja del canal, la altura disminuirá y la densidad del flujo aumentará.
ID:(4370, 0)
Solución altura del flujo desde un canal
Concepto
La solución de la ecuación de flujo en una dimensión desde un canal, donde se calcula el valor de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) en el borde del canal, junto con el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), adopta la siguiente forma:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Esta solución se representa gráficamente en función de los factores adicionales $h/h_0$ y $x/x_0$ de la siguiente manera:
El perfil revela que la altura disminuye a medida que nos alejamos del canal para mantener un gradiente de presión. Sin embargo, surge un problema cuando la distancia alcanza la mitad de el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), ya que la altura de la columna llega a cero y no existe solución para distancias mayores (el argumento de la raíz es negativo). En otras palabras, para que la solución tenga sentido, debe existir algún mecanismo que elimine líquido antes de llegar a esta distancia crítica.
ID:(4374, 0)
Solución densidad de flujo desde un canal
Concepto
La solución obtenida para la altura y los parámetros el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) nos muestra que la densidad de flujo ($j_s$) es igual a:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Podemos representar la densidad de flujo ($j_s$) gráficamente en función de los factores adicionales $j_s/j_{s0}$ y $x/x_0$ de la siguiente manera:
la densidad de flujo ($j_s$) continúa aumentando a medida que nos acercamos al canal, a medida que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) disminuye. Este aumento es necesario para mantener la velocidad del flujo en la densidad de flujo ($j_s$) o, en su defecto, para incrementarla.
ID:(7827, 0)
Represa I - Mina Córrego do Feijão
Concepto
Un ejemplo que ilustra el efecto del flujo a través de la base en el caso de una represa ocurrió en la represa 1 de la mina 'Córrego do Feijão' en Brumadinho, Minas Gerais, Brasil.
El 25 de enero de 2019, la represa 1, que se muestra en el centro de la imagen, colapsó, como se ilustra en las imágenes 1 a 6. Inicialmente, la base comenzó a desplazarse mientras la parte superior se hundía. Finalmente, un torrente de agua emergió en la base mientras toda la estructura colapsaba. En la imagen central inferior se muestra la situación después de que la represa se vació completamente del lado que la contenía ([1], [2]):
En la imagen superior izquierda se aprecia la represa antes de colapsar, y en el esquema se explica cómo el agua empuja la superficie de la base (flechas azules) y el centro colapsa (flecha beige). En las imágenes se puede ver nuevamente la estructura antes del colapso (foto superior derecha), cuando se comienza a forzar la base y colapsa la parte superior (foto inferior izquierda) y el caudal de agua resultante en la base (foto inferior derecha) [3]:
La dinámica está determinada por la alta presión y alto flujo que existen en la base, lo que explica el surgimiento del agua a través de este camino.
En este caso, hubo múltiples indicios de peligro, por lo que se realizó un monitoreo detallado vía satélite del desplazamiento de múltiples puntos durante más de un año. Los puntos se indican en la foto superior, y en la segunda imagen en la parte inferior izquierda, se observa un detalle de la base. Especialmente se destacan los puntos que experimentaron el mayor desplazamiento total (Bs y Bp), que también se muestran en el gráfico a la derecha. En el gráfico también se aprecia la cantidad de lluvia, que contribuye en parte pero no necesariamente es un factor clave [4]:
Este ejemplo pretende mostrar cómo la alta presión en la base junto con el alto flujo de agua contribuyen a la dinámica observada, sin explicar necesariamente cuándo ni cómo se volvió inestable. Esto se explorará más adelante.
[1] Google Earth Pro para Brumadinho, Minas Gerais, Brasil, enero de 2019 y febrero de 2019
[2] Cámaras Vale S.A.
[3] Procedimiento Investigativo Criminal n.º MPMG-0090.19.000013-4, Investigación Policial n. PCMG-7977979, MINISTÉRIO PÚBLICO DO ESTADO DE MINAS GERAIS
[4] Deformaciones Previas al Colapso de la Represa de Brumadinho Reveladas por Datos InSAR de Sentinel-1 Utilizando Técnicas SBAS y PSI, Fábio F. Gama, José C. Mura, Waldir R. Paradella y Cleber G. de Oliveira, MDPI, Remote Sens. 2020, 12, 3664
ID:(4378, 0)
Modelo
Top
Parámetros
Variables
Cálculos
a 
, luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $
h * @DIFF( h , x, 1) = - h_0 ^2/ s_0
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $
h / h_0 = sqrt(1 - 2* x / s_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $
j / j_s0 = 1/sqrt(1 - 2* x / s_0 )
ID:(15820, 0)
Solución estatica en una dimensión
Ecuación
Podemos estudiar el caso estacionario, lo que implica que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) dividido por la densidad de flujo ($j_s$) debe ser constante y, en particular, puede tomar valores en un punto específico representados por la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$):
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Si para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) dividido por la densidad de flujo ($j_s$) la ecuación
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
en el caso estacionario se reduce a
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
lo que corresponde a que el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) por la densidad de flujo ($j_s$) es constante. Si se tienen los valores para un punto en particular, definido por la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$), entonces se tiene que:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Nota: La ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria, ya que depende únicamente de la posición $x$ y no del tiempo $t$ en absoluto.
ID:(15107, 0)
Ecuación del flujo desde un canal
Ecuación
La ecuación diferencial para calcular la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en términos de la posición de la columna de agua en el suelo ($x$), la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) se expresa como sigue:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
En este contexto, el signo de la pendiente es negativo, ya que la altura debe disminuir para generar el gradiente de presión necesario para mover el líquido.
ID:(4369, 0)
Altura del flujo desde un canal
Ecuación
La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y que depende de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) es la siguiente:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y que depende de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) es la siguiente:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
Podemos despejarla para facilitar la integración de la siguiente manera:
$h dh = -\displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$
Luego, integrando con respecto a $h_0$, la altura en el origen, obtenemos:
$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =-\displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}x$
Esto nos lleva a la siguiente expresión:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
ID:(2214, 0)
Densidad de flujo desde un canal
Ecuación
La solución para la densidad de flujo ($j_s$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) dados la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), obtenemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Con la solución para la densidad de flujo ($j_s$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) dados la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), obtenemos:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Podemos calcular la densidad de flujo ($j_s$) con la conductividad hidráulica ($K_s$) mediante:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
y utilizando
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
de esta manera, obtenemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
ID:(4742, 0)