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Modèle Lotka Volterra
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ID:(1893, 0)


Généralisation du facteur $r_i$ du modèle de Lotka Volterra
Équation

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Le facteur r_i représente la façon dont l\'espèce se développe dans le cas où aucune autre espèce n\'existe.

Si le facteur r_i est négatif, la population diminue alors que s\'il est positif, elle croît de façon exponentielle. Dans le premier cas, on suppose qu\'il n\'a pas les ressources nécessaires pour procréer moins que ce qui est nécessaire pour maintenir la population. Dans le second cas, les ressources sont abondantes et la population augmente sans contrôle.

L\'existence ou non des ressources nécessaires dépendra de n facteurs environnementaux que nous pouvons définir comme e_k. Le facteur r_i sera une fonction de ceux-ci et si l\'on suppose qu\'il peut être développé dans ceux-ci jusqu\'au second ordre, la relation

$ r_i = \beta_i + \displaystyle\sum_k^n ( \gamma_{ki} e_k + \delta_{ki} e_k ^2)$

Le facteur \beta_i est la somme de tous les facteurs constants de toutes les expansions.

ID:(14276, 0)


Généralisation du modèle Lotka Volterra
Équation

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Si le modèle de Lotka Volterra est généralisé aux espèces N, les équations



oui



peut être écrit comme

$\displaystyle\frac{d n_i }{dt}= r_i n_i + \displaystyle\sum_j \alpha_{ji} n_i n_j$

où n_i est la population de la i ème espèce, r_i est le facteur de croissance de l\'espèce et \alpha_{ij} le facteur d\'interaction.

A titre de généralisation, on peut partir du facteur diagonal \alpha_{ii} qui finirait par modéliser la compétition au sein d\'une même espèce.

ID:(14275, 0)


Modèle environnemental
Équation

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Si le modèle généralisé de Lotka Volterra est combiné

$\displaystyle\frac{d n_i }{dt}= r_i n_i + \displaystyle\sum_j \alpha_{ji} n_i n_j$



avec modèle pour effet d\'ambiance

$ r_i = \beta_i + \displaystyle\sum_k^n ( \gamma_{ki} e_k + \delta_{ki} e_k ^2)$



un modèle environnemental régi par l\'équation

$\displaystyle\frac{d n_i }{dt}=( \beta_i + \displaystyle\sum_k( \gamma_{ki} e_k + \delta_{ki} e_k ^2)) n_i + \displaystyle\sum_j \alpha_{ji} n_i n_j $

ID:(14277, 0)