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Cas sans interaction
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Pour faciliter l\'analyse, on peut d\'abord considérer une espèce au sein de l\'écosystème comme s\'il n\'y en avait pas d\'autres et résoudre le modèle pour comprendre le comportement.
Sous ce concept, nous réalisons que chaque espèce est limitée à l\'existence des ressources dont elle a besoin pour survivre. En ce sens, toute espèce est limitée dans son développement, même dans le cas où l\'on prétend qu\'elle n\'a pas d\'ennemis naturels.
ID:(1897, 0)
Simplification du modèle
Équation
Si une seule espèce est supposée exister, l\'équation
| $\displaystyle\frac{d n_i }{dt}= r_i n_i + \displaystyle\sum_j \alpha_{ji} n_i n_j$ |
se réduit à l\'équation
| $ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$ |
puisque les populations restantes, y compris les termes mixtes dans
ID:(14279, 0)
Solution asymptotique
Équation
L\'équation
| $ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$ |
tend vers une solution asymptotique égale à
| $ n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }$ |
\n\nqui n\'a de sens que si cette valeur est positive. D\'autre part, l\'équation pour les petites populations se réduit à\n\n
$\displaystyle\frac{dn}{dt}\sim r n$
ce qui n\'a de sens que si le facteur
Le modèle n\'a donc de sens que si
le facteur $r_i$ est toujours positif
Oui
le facteur diagonal (auto-interaction) $\alpha_{ii}$ est négatif
Ce dernier peut être compris dans le contexte où une augmentation excessive sera ralentie par des ressources non associées à une espèce (par exemple, l\'espace, la lumière, les produits chimiques, etc.)
ID:(14281, 0)
Solution modèle simplifiée
Équation
L\'équation
| $ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$ |
avec la condition
| $ n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }$ |
peut être résolu en nous donnant la solution
| $ n(t) = \displaystyle\frac{n_{\infty}}{1 + (n_{\infty}/n_0 - 1)e^{-rt}}$ |
où
ID:(14280, 0)