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Modelo Lotka Volterra
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El modelo del sistema ambiental se basa en un modelo del tipo Lotka Volterra en que se incluyen las variables ambientales.

El modelo considera una serie de especies que interactúan entre ellas y condiciones ambientales que pueden favorecer o perjudicar su desarrollo.

>Modelo

ID:(1893, 0)


Generalización del factor $r_i$ del modelo Lotka Volterra
Ecuación

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El factor r_i representa la forma como la especie se desarrolla para el caso de no existir otra especie.

Si el factor r_i es negativo la población decrece mientras que de serlo positivo crece exponencialmente. En el primer caso se supone que no dispone de los recursos de modo que tiene a procrear menos de lo que se requiere para mantener la población. En el segundo caso los recursos sobran y la población expande sin control.

Si existen o no los recursos necesarios dependerá de n factores ambientales que podemos definir como e_k. El factor r_i será una función de estos y si se asume que se le puede expandir en estos hasta el segundo orden se tendrá la relación

$ r_i = \beta_i + \displaystyle\sum_k^n ( \gamma_{ki} e_k + \delta_{ki} e_k ^2)$

El factor \beta_i es la suma de todos los factores constantes de todos los desarrollos.

ID:(14276, 0)


Generalización del modelo Lotka Volterra
Ecuación

>Top, >Modelo


Si se generaliza el modelo de Lotka Volterra para N especies, las ecuaciones

$\displaystyle\frac{d n_1 }{d t }= r_1 n_1 + \alpha_{12} n_1 n_2 $



y

$\displaystyle\frac{d n_2 }{d t }= r_2 n_2 + \alpha_{21} n_2 n_1 $



se pueden escribir como

$\displaystyle\frac{d n_i }{dt}= r_i n_i + \displaystyle\sum_j \alpha_{ji} n_i n_j$

donde n_i es la población de la i esima especie, r_i es el factor de desarrollo de la especie y \alpha_{ij} el factor de interacción.

A modo de generalización se puede dejar el factor diagonal \alpha_{ii} que terminaría por modelar una competencia dentro de la misma especie.

ID:(14275, 0)


Modelo ambiental
Ecuación

>Top, >Modelo


Si se combina el modelo de Lotka Volterra generalizado

$\displaystyle\frac{d n_i }{dt}= r_i n_i + \displaystyle\sum_j \alpha_{ji} n_i n_j$



con el modelo para el efecto ambiental

$ r_i = \beta_i + \displaystyle\sum_k^n ( \gamma_{ki} e_k + \delta_{ki} e_k ^2)$



se obtiene un modelo ambiental regido por la ecuación

$\displaystyle\frac{d n_i }{dt}=( \beta_i + \displaystyle\sum_k( \gamma_{ki} e_k + \delta_{ki} e_k ^2)) n_i + \displaystyle\sum_j \alpha_{ji} n_i n_j $

ID:(14277, 0)