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Força da gravidade e marés em conjunto

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A gravidade e a aceleração centrífuga geram as marés, o movimento dos oceanos que eleva e reduz seu nível com uma frequência de 12 horas. Sua origem pode ser tanto gerada pela lua quanto pelo sol.

>Modelo

ID:(1523, 0)



Mecanismos

Iframe

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Código
Conceito

Mecanismos

ID:(15439, 0)



Variação da gravidade perpendicular ao raio, em conjunto

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Existe uma contribuição da atração gravitacional do corpo celeste que atrai a água em direção à região equatorial:



A hipotenusa do triângulo está relacionada com o cateto vertical pela expressão:

R\sin\theta



e com o cateto horizontal por:

d - R\cos\theta



De acordo com o teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, então temos:

R^2\sin^2\theta+(d-R\cos\theta)^2=d^2+R^2-2Rd\cos\theta

ID:(11635, 0)



Variação da gravidade paralela ao raio, em conjunto

Imagem

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Existe uma contribuição da atração gravitacional do corpo celeste que atrai a água em direção ao raio, o que tende a deslocar a água em direção à zona do equador:



A hipotenusa do triângulo é formada pelo cateto vertical:

R\sin\theta



e pelo cateto horizontal:

d - R\cos\theta



De acordo com o teorema de Pitágoras, temos:

R^2\sin^2\theta+(d-R\cos\theta)^2=d^2+R^2-2Rd\cos\theta

ID:(11658, 0)



Modelo

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Parâmetros

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
R
R
Raio do planeta
m

Variáveis

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS

Cálculos


Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para
a_c = G * M /( d ^2+ R ^2-2* d * R *cos( theta )) Da_cx / a_c = ( d - R * cos( theta ))/sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) Da_cx = G * M *(1 + 2* R * cos( theta )/ d )/ d ^2 Da_cy / a_c = R * sin( theta ) / sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) Da_cy = G * M * R * sin( theta )/ d ^3 R

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado
a_c = G * M /( d ^2+ R ^2-2* d * R *cos( theta )) Da_cx / a_c = ( d - R * cos( theta ))/sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) Da_cx = G * M *(1 + 2* R * cos( theta )/ d )/ d ^2 Da_cy / a_c = R * sin( theta ) / sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) Da_cy = G * M * R * sin( theta )/ d ^3 R




Equações

#
Equação

a_c = \displaystyle\frac{ G M }{ d ^2+ R ^2-2 d R \cos \theta }

a_c = G * M /( d ^2+ R ^2-2* d * R *cos( theta ))


\displaystyle\frac{ \Delta a_{cx} }{ a_c } =\displaystyle\frac{ d - R\cos\theta }{ \sqrt{ d ^2+ R ^2-2 d R \cos \theta } }

Da_cx / a_c = ( d - R * cos( theta ))/sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta ))


\Delta a_{cx} = \displaystyle\frac{ G M }{ d ^2}\left(1+\displaystyle\frac{2 R \cos \theta }{ d }\right)

Da_cx = G * M *(1 + 2* R * cos( theta )/ d )/ d ^2


\displaystyle\frac{ \Delta a_{cy} }{ a_c } =\displaystyle\frac{ R\sin\theta }{ \sqrt{ d ^2+ R ^2-2 d R \cos \theta } }

Da_cy / a_c = R * sin( theta ) / sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta ))


\Delta a_{cy} = \displaystyle\frac{ G M }{ d ^2 }\displaystyle\frac{ R \sin \theta }{ d }

Da_cy = G * M * R * sin( theta )/ d ^3

ID:(15434, 0)



Variação da aceleração perpendicular ao raio, em conjunto

Equação

>Top, >Modelo


Para determinar a variação da aceleração perpendicular ao raio, podemos utilizar a semelhança de triângulos para igualar a relação

\displaystyle\frac{\Delta a_{cy}}{a_c}



com o comprimento

d-R\cos\theta



e a hipotenusa

\sqrt{d^2+R^2-2dR\cos\theta}

.

Pela semelhança de triângulos, temos com que

\displaystyle\frac{ \Delta a_{cy} }{ a_c } =\displaystyle\frac{ R\sin\theta }{ \sqrt{ d ^2+ R ^2-2 d R \cos \theta } }

R
Raio do planeta
m
8566
Da_cy / a_c = R * sin( theta ) / sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) a_c = G * M /( d ^2+ R ^2-2* d * R *cos( theta )) Da_cy = G * M * R * sin( theta )/ d ^3 Da_cx / a_c = ( d - R * cos( theta ))/sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) Da_cx = G * M *(1 + 2* R * cos( theta )/ d )/ d ^2 R

.

ID:(11643, 0)



Aceleração perpendicular ao raio, em conjunto

Equação

>Top, >Modelo


Com a lei da gravitação de Newton, com , temos:

F = G \displaystyle\frac{ m_g M }{ r ^2}



É possível, com a definição da força, com :

F = m_i a



E o raio ao quadrado:

r^2=d^2+R^2-2dR\cos\theta



Calcular a aceleração substituindo o raio na força e resolvendo a equação da aceleração. Isso resulta em a aceleração:

a_c = \displaystyle\frac{ G M }{ d ^2+ R ^2-2 d R \cos \theta }

R
Raio do planeta
m
8566
Da_cy / a_c = R * sin( theta ) / sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) a_c = G * M /( d ^2+ R ^2-2* d * R *cos( theta )) Da_cy = G * M * R * sin( theta )/ d ^3 Da_cx / a_c = ( d - R * cos( theta ))/sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) Da_cx = G * M *(1 + 2* R * cos( theta )/ d )/ d ^2 R

ID:(11644, 0)



Aceleração de aproximação perpendicular ao raio, em conjunto

Equação

>Top, >Modelo


Com , a relação entre a variação da aceleração e a aceleração é:

\displaystyle\frac{ \Delta a_{cy} }{ a_c } =\displaystyle\frac{ R\sin\theta }{ \sqrt{ d ^2+ R ^2-2 d R \cos \theta } }



E como a expressão para a aceleração é com :

a_c = \displaystyle\frac{ G M }{ d ^2+ R ^2-2 d R \cos \theta }



Segue que:

\Delta a_{cy} = GM\displaystyle\frac{R\sin\theta}{(d^2 + R^2 - 2dR\cos\theta)^{3/2}}\sim \displaystyle\frac{GM}{d^2}\displaystyle\frac{R\sin\theta}{d}



Portanto, na aproximação d\gg R, podemos aproximar com por:

\Delta a_{cy} = \displaystyle\frac{ G M }{ d ^2 }\displaystyle\frac{ R \sin \theta }{ d }

R
Raio do planeta
m
8566
Da_cy / a_c = R * sin( theta ) / sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) a_c = G * M /( d ^2+ R ^2-2* d * R *cos( theta )) Da_cy = G * M * R * sin( theta )/ d ^3 Da_cx / a_c = ( d - R * cos( theta ))/sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) Da_cx = G * M *(1 + 2* R * cos( theta )/ d )/ d ^2 R

ID:(11645, 0)



Variação da aceleração paralela ao raio, em conjunto

Equação

>Top, >Modelo


Para determinar a variação da aceleração paralela ao raio, podemos utilizar a semelhança de triângulos para igualar a relação

\displaystyle\frac{\Delta a_{cx}}{a_c}



com o comprimento

d+R\cos\theta



e a hipotenusa

\sqrt{d^2+R^2-2dR\cos\theta}



Por semelhança de triângulos, temos com que

\displaystyle\frac{ \Delta a_{cx} }{ a_c } =\displaystyle\frac{ d - R\cos\theta }{ \sqrt{ d ^2+ R ^2-2 d R \cos \theta } }

R
Raio do planeta
m
8566
Da_cy / a_c = R * sin( theta ) / sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) a_c = G * M /( d ^2+ R ^2-2* d * R *cos( theta )) Da_cy = G * M * R * sin( theta )/ d ^3 Da_cx / a_c = ( d - R * cos( theta ))/sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) Da_cx = G * M *(1 + 2* R * cos( theta )/ d )/ d ^2 R

ID:(11647, 0)



Aceleração de aproximação paralela ao raio, em conjunto

Equação

>Top, >Modelo


Com e raio do planeta m, a relação é:

\displaystyle\frac{ \Delta a_{cx} }{ a_c } =\displaystyle\frac{ d - R\cos\theta }{ \sqrt{ d ^2+ R ^2-2 d R \cos \theta } }



E como para e raio do planeta m,

a_c = \displaystyle\frac{ G M }{ d ^2+ R ^2-2 d R \cos \theta }



Assim, temos:

\Delta a_{cx} =GM\displaystyle\frac{d - R\cos\theta}{(d^2 + R^2 - 2dR\cos\theta)^{3/2}}\sim \displaystyle\frac{GM}{d^2}\left(1+\displaystyle\frac{2R\cos\theta}{d}\right)



Portanto, na aproximação d\gg R, podemos aproximar com por:

\Delta a_{cx} = \displaystyle\frac{ G M }{ d ^2}\left(1+\displaystyle\frac{2 R \cos \theta }{ d }\right)

R
Raio do planeta
m
8566
Da_cy / a_c = R * sin( theta ) / sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) a_c = G * M /( d ^2+ R ^2-2* d * R *cos( theta )) Da_cy = G * M * R * sin( theta )/ d ^3 Da_cx / a_c = ( d - R * cos( theta ))/sqrt( d ^2 + R ^2 - 2 * d * R * cos( theta )) Da_cx = G * M *(1 + 2* R * cos( theta )/ d )/ d ^2 R

ID:(11650, 0)