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ID:(347, 0)

Gleichung

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Die SIR-Typmodelle berücksichtigen drei Arten von Populationen, den anfälligen S, den infizierten I und den wiederhergestellten R.

Soweit das

• Die Infektion ist nicht tödlich,
• Das Modell enthält keine Geburt
• Das Modell enthält keinen Tod aus einer anderen Ursache

Die Gesamtzahl der Bevölkerung entspricht der Summe der drei Gruppen:

ID:(871, 0)

Gleichung

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Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die ich finde, infiziert ist, ist\\n\\n

$\displaystyle\frac{I}{N}$

\\n\\nDas sind günstige Fälle, in denen I für mögliche Fälle N übereinstimmt. Normalerweise hat die Person Kontakt zu C Personen, so dass sie geben\\n\\n

$C\displaystyle\frac{I}{N}$

\\n\\nMöglichkeiten, einen gesunden zu infizieren. Die Wahrscheinlichkeit einer Ansteckung hängt von der Zeit ab, zu der Sie Kontakt haben. Angenommen, wir betrachten eine Zeit dt. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit der Ansteckungszeit \beta die Wahrscheinlichkeit in der Zeit dt, dass a infizierte Person infiziert eine gesunde Person\\n\\n

$\beta dt$

\\n\\nMit dieser Zeit dt ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gesunde Person infiziert wird, für die Zeit dt gleich\\n\\n

$C\displaystyle\frac{I}{N}\beta$

\\n\\nUm die Gesamtzahl der infizierten dt zu erhalten, müssen wir berücksichtigen, dass die neu berechnete Wahrscheinlichkeit alle infektionsanfälligen Personen betrifft. Daher nimmt die Anzahl von gesunden S in einer Zeit dt um einen Betrag ab, der gleich ist\\n\\n

$C\displaystyle\frac{I}{N}S\beta$

das ist

ID:(8106, 0)

Gleichung

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Da die Anzahl der anfälligen S in Abhängigkeit von den durch die Zeit i infizierten Personen verringert wird\\n\\n

$\displaystyle\frac{dS}{dt}=-i(t)$

du musst mit

Die Gleichung zur Berechnung der Entwicklung der anfälligen Bevölkerung lautet

ID:(4068, 0)

Gleichung

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Wenn für den t' Tag i(t') Personen infiziert sind, ist die Gesamtzahl der an einem Tag t infizierten Personen die Summe aller infiziert von Anfang an das Auftreten der Krankheit in einer Zeit 0, das heißt\\n\\n

$\displaystyle\int_0^tdt'i(t')$

Wenn wir diejenigen schätzen wollen, die noch infiziert sind, müssen wir alle bisher wiederhergestellten, diejenigen, die R(t) sind, subtrahieren. Daher ist die Anzahl, die in der Zeit t noch infiziert bleibt, gleich

ID:(3888, 0)

Gleichung

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Um die zeitliche Variation der Anzahl der Infizierten zu kennen, kann die Gleichung zeitlich abgeleitet werden

mit was bekommen Sie die Gleichung

ID:(4069, 0)

Gleichung

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Die Frage ist nun, wie sich infizierte Personen (I) erholen. Im Allgemeinen erfolgt die Genesung/der Tod zu einem durchschnittlichen Zeitpunkt der Infektion. Die Modellierung erfordert eine probabilistische Funktion der Person, die sich nach einer Infektion zwischen t und t+dt erholt / stirbt. Wenn die Zahl zwischen t' und t'+dt i(t ') ist, werden diejenigen, die in der wiederhergestellt werden Die Zeit t entspricht der Summe aller Zeiten, in denen die Person möglicherweise infiziert wurde

ID:(3889, 0)

Gleichung

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Wenn die Zahl, die zwischen den Zeiten t' und t'+dt abgerufen wird, lautet

dann ist die zum Zeitpunkt t wiederhergestellte Summe

ID:(3890, 0)

Gleichung

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Wie die Anzahl der wiederhergestellten ist

und die tägliche Zahl ist

Die Ableitung der Anzahl der zurückgewonnenen ist gleich

ID:(3891, 0)

Gleichung

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Die Menge der täglichen Wiederherstellungen wurde berechnet, indem alle historischen i(t') addiert wurden, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit p, dass der Wiederherstellungsprozess an dem betrachteten Tag abgeschlossen sein wird:

Dies entsprach der täglichen Variation der insgesamt gewonnenen Gesamtmenge

Da ist die Anzahl der täglich infizierten

\\n\\nes ist notwendig, dass die Variation von wiederhergestellt von der Form ist:\\n\\n

$\displaystyle\frac{dR}{dt}=\displaystyle\frac{\beta C}{N}\displaystyle\int_0^t dt' p(t-t')S(t')I(t')$

\\n\\nWenn es im Vergleich zu den Anfälligen nur wenige Infizierte gibt und die Wahrscheinlichkeitsfunktion schneller abfällt als die Anzahl der Infizierten variiert, kann das Integral durch eine Konstante ersetzt werden\\n\\n

$\displaystyle\frac{\beta C}{N}\displaystyle\int_0^t dt' p(t-t')S(t')I(t')\sim\left[\displaystyle\frac{\beta C}{N}\displaystyle\int_0^t dt' p(t-t')S(t')\right]I(t)\sim\gamma I(t)$

mit wie die Wiederherstellungsgleichung aussieht

ID:(4072, 0)

Gleichung

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Wenn die dritte Gleichung des SIR-Modells ersetzt wird

in der zweiten

und mit

Man erhält eine Gleichung, in der man die Situationen verstehen kann, in denen sich die Krankheit ausbreitet oder die man kontrollieren kann

ID:(4073, 0)

Gleichung

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Wie wir gesehen haben, gibt es eine Grenze, in der die Krankheit selbst ihre Expansion einfach dadurch kontrolliert, dass sie nicht anfällig für Infektionen ist. Die Frage ist, welche Größe die Gruppe hat, die vor einer Infektion gerettet wird. Wenn wir die Gleichung teilen

von

\\n\\nEs kann eine unabhängige Zeitgleichung (oder eine Variable zum zeitlichen u) der Form erhalten werden\\n\\n

$\displaystyle\frac{dI}{dS}=-1+\displaystyle\frac{\gamma}{\beta C}\displaystyle\frac{N}{S}$

\\n\\nWenn diese Gleichung unter der Annahme der Anfangsbedingungen S_0 und I_0 integriert wird, wird dies erhalten\\n\\n

$I - I_0 = (S_0 - S) + \displaystyle\frac{\gamma N}{\beta C}\ln\displaystyle\frac{S}{S_0}$

\\n\\nUm die Anzahl der Überlebenden zu bestimmen, interessieren wir uns für den Fall, dass sich die Situation bereits stabilisiert hat und wir nicht mehr infiziert haben ( I = 0 ). Es kann auch angenommen werden, dass es sich bei den anfänglich infizierten Personen um einige wenige handelt, dh I_0\ll S_0\\n\\nDamit wird die Gleichung zur Berechnung der Überlebenden reduziert\\n\\n

$(S_0-S)+\displaystyle\frac{\gamma N}{\beta C}\ln\displaystyle\frac{S}{S_0}=0$

Diese Gleichung kann nicht genau gelöst werden. Wenn jedoch der Logarithmus von Taylor erweitert wird, bis die zweite Ordnung erreicht ist, ist die Größe der Population nicht infiziert.

ID:(4077, 0)

Gleichung

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Zunächst kann davon ausgegangen werden, dass S N ähnlich ist, so dass sich das System außer Kontrolle zu verbreiten beginnt, wenn es sich in befindet

\\n\\nder Faktor\\n\\n

$\displaystyle\frac{C\beta}{\gamma}\displaystyle\frac{S}{N}-1 > 0$

\\n\\nEs ist positiv. Dies tritt auf, wenn der Faktor\\n\\n

$\displaystyle\frac{C\beta}{\gamma}\displaystyle\frac{S}{N}$

\\n\\nEs ist größer als eins. Da anfangs die anfällige Population S der gesamten als N betrachteten Population ähnlich ist, muss das System außer Kontrolle geraten, wenn:\\n \\n

$\displaystyle\frac{C\beta}{\gamma} > 0$

Andererseits wird die Krankheit selbst im Laufe der Zeit die Anzahl anfälliger Personen verringern, die aufgrund der Verringerung neuer Opfer zur Selbstkontrolle führen. Diese Situationen treten auf, wenn die Anzahl der anfälligen Personen erreicht wird

Dies entspricht der Situation, in der die infizierte Kurve ihr Maximum erreicht. Mit anderen Worten, die Anzahl der kritisch Anfälligen ist die Anzahl der Anfälligen, die in dem Moment verbleiben, in dem die Anzahl der Infizierten ihr Maximum erreicht.

Die Anzahl der kritisch anfälligen Probanden zeigt, dass eine vorbeugende Impfung zur Kontrolle der Krankheit beiträgt, indem eine Situation geschaffen wird, in der die anfängliche Anfälligkeit so ist, dass die Krankheit selbst kontrolliert wird.

ID:(4075, 0)

Gleichung

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Kritisch ist der Faktor, der die Ansteckungsfaktoren \beta C mit dem Wiederherstellungsfaktor \gamma vergleicht, der als Reproduktionsfaktor bezeichnet wird und durch Buchstaben bezeichnet wird

Als Referenz sind die Reproduktionsfaktoren der typischsten Krankheiten aufgeführt:

ID:(4074, 0)

Gleichung

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Eine weitere Anwendung der Gleichung besteht darin, die notwendigen Maßnahmen zur Vermeidung der Epidemie abzuschätzen. Im Allgemeinen muss die anfällige Bevölkerung unter dem kritischen Wert liegen.

\\n\\nDie Reduktion von S wird durch eine vorbeugende Impfung erreicht. Wenn davon ausgegangen wird, dass die breite Öffentlichkeit ihre Gepflogenheiten nicht ändert, um \beta und C zu reduzieren, und wir keine Medikamente zur Erhöhung des \gamma -Faktors haben Wir können Menschen vom S -Zustand durch Impfung an den R weitergeben. Wenn q die zu impfende Fraktion ist, sollte dies so sein, dass\\n\\n

$S_{crit}=(1-q)S$

Mit dem Erholungsfaktor

\\n\\nes muss\\n\\n

$q=1-\displaystyle\frac{1}{R_0}\displaystyle\frac{N}{S}$

Wenn angenommen wird, dass anfangs die Anfälligen gleich der Population sind (S\sim N), ist das zu impfende Universum gleich

Das gibt uns eine Vorstellung davon, wie viel Masse die Impfkampagne haben sollte.

Als Beispiel für die betrachteten Krankheiten ist es notwendig:

| Krankheit | Übertragung | Impfung |

|: --------- |: ---------- |: ---------: |

| Masern | Tröpfchen in Suspension | 92-94% |

Keuchhusten Tröpfchen in Suspension 92-94%

| Diphtherie | Speichel | 83-86% |

| Pocken | Tröpfchen in Suspension | 80-86% |

| Polio | fäkal-orale Route | 80-86% |

| Röteln | Tröpfchen in Suspension | 80-86% |

| Mumps | Tröpfchen in Suspension | 75-86% |

| HIV / AIDS | sexueller Kontakt | 50-80% |

| SARS | Tröpfchen in Suspension | 50-80% |

Influenza (Pandemiestamm 1918) Tröpfchen in Suspension 50-67%

| Ebola | Körperflüssigkeiten | 34-60% |

ID:(4076, 0)

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Das Modell kann die Gleichungen für anfälliges S, infiziertes I und wiederhergestelltes R numerisch lösen:

Dabei ist t die Zeit \beta des Ansteckungsbechers, \gamma der Wiederherstellungsbecher, C der Anzahl der Kontakte und N der Bevölkerung.

ID:(3022, 0)

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Wenn die anfälligen, infizierten und 'erholten' (die heilen oder sterben) beobachtet werden, werden die typischen Kurven des SIR-Modells beobachtet:

ID:(9663, 0)