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Energía Interna

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La energía interna es la energía que tiene el sistema, o sea la energía cinética y potencial. No incluye la energía necesaria para formar el sistema.

>Modelo

ID:(172, 0)

Energía Interna con función partición

Imagen

>Top

La energía interna se deja calcular de la función partición como la derivada respecto de \beta:

ID:(11723, 0)

Energía Interna

Ecuación

>Top, >Modelo

La energía interna ( $U$ ) es con la temperatura absoluta ( $T$ ), la presión ( $p$ ), la entropía ( $S$ ) y el volumen ( $V$ ) igual a:

$U = T S - p V$

$U$

Energía interna

$J$

5228

$S$

Entropía

$J/K$

5227

$p$

Presión

$Pa$

5224

$T$

Temperatura absoluta

$K$

5177

$V$

Volumen

$m^3$

5226

Si la temperatura absoluta ( $T$ ) y la presión ( $p$ ) se mantienen constantes, la variación de la energía interna ( $dU$ ), que depende de la variación de la entropía ( $dS$ ) y la variación del volumen ( $dV$ ), se expresa como:

$dU = T dS - p dV$

Al integrarlo, se obtiene la siguiente expresión en términos de la energía interna ( $U$ ), la entropía ( $S$ ) y el volumen ( $V$ ):

$U = T S - p V$

ID:(3472, 0)

Energía Interna: relación diferencial

Ecuación

>Top, >Modelo

La dependencia de el diferencial de la energía interna ( $dU$ ) de la presión ( $p$ ) y la variación del volumen ( $dV$ ), además de la temperatura absoluta ( $T$ ) y la variación de la entropía ( $dS$ ), está dada por:

$dU = T dS - p dV$

$p$

Presión

$Pa$

5224

$T$

Temperatura absoluta

$K$

5177

$dU$

Variación de la energía interna

$J$

5400

$dS$

Variación de la entropía

$J/K$

5225

$dV$

Variación del volumen

$m^3$

5223

Dado que el diferencial de la energía interna ( $dU$ ) depende de el diferencial inexacto del calor ( $\delta Q$ ), la presión ( $p$ ) y la variación del volumen ( $dV$ ) según la ecuación:

$dU = \delta Q - p dV$

y la expresión de la segunda ley de la termodinámica con la temperatura absoluta ( $T$ ) y la variación de la entropía ( $dS$ ) como:

$\delta Q = T dS$

podemos concluir que:

$dU = T dS - p dV$

ID:(3471, 0)

Diferencial de la Energía Interna

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que la energía interna ( $U$ ) depende de la entropía ( $S$ ) y el volumen ( $V$ ), el diferencial de la energía interna ( $dU$ ) se puede expresar de la siguiente manera:

$dU = DU_{S,V} dS + DU_{V,S} dV$

$DU_{S,V}$

Derivada parcial de la energía interna respecto de la entropía a volumen constante

$K$

8735

$DU_{V,s}$

Derivada parcial de la energía interna respecto del volumen a entropía constante

$Pa$

8734

$dU$

Diferencial de la energía interna

$J$

8736

$dS$

Variación de la entropía

$J/K$

5225

$dV$

Variación del volumen

$m^3$

5223

Dado que la energía interna ( $U$ ) depende de la entropía ( $S$ ) y el volumen ( $V$ ), el diferencial de la energía interna ( $dU$ ) se puede calcular mediante:

$dU = \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V dS + \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S dV$

Para simplificar la escritura de esta expresión, se introduce la notación para la derivada de la energía interna ( $U$ ) respecto a la entropía ( $S$ ) con el volumen ( $V$ ) fijo como:

$DU_{S,V} \equiv \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V$

y para la derivada de la energía interna ( $U$ ) respecto a el volumen ( $V$ ) con la entropía ( $S$ ) fijo como:

$DU_{V,S} \equiv \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S$

por lo que se puede escribir:

$dU = DU_{S,V} dS + DU_{V,S} dV$

ID:(8185, 0)

Calculo de la derivada parcial de la energía interna en el volumen a entropía constante

Ecuación

>Top, >Modelo

La derivada de la energía interna en el volumen a entropia constante es

$DU_{V,S} =\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S$

$DU_{V,s}$

Derivada parcial de la energía interna respecto del volumen a entropía constante

$Pa$

8734

$U$

Energía interna

$J$

5228

$S$

Entropía

$J/K$

5227

$V$

Volumen

$m^3$

5226

ID:(12023, 0)

Calculo de la derivada parcial de la energía interna en la entropia a volumen constante

Ecuación

>Top, >Modelo

La derivada de la energía interna en la entropia a volumen constante es

$DU_{S,V} =\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V$

$DU_{S,V}$

Derivada parcial de la energía interna respecto de la entropía a volumen constante

$K$

8735

$U$

Energía interna

$J$

5228

$S$

Entropía

$J/K$

5227

$V$

Volumen

$m^3$

5226

ID:(12024, 0)

Energía interna y ecuación de estado con entropía constante

Ecuación

>Top, >Modelo

Comparando esto con la primera ley de la termodinámica, resulta que la derivada parcial de la energía interna respecto del volumen a entropía constante ( $DU_{V,S}$ ) es igual a menos la presión ( $p$ ):

$DU_{V,S} =- p$

$DU_{V,s}$

Derivada parcial de la energía interna respecto del volumen a entropía constante

$Pa$

8734

$p$

Presión

$Pa$

5224

El diferencial de la energía interna ( $dU$ ) es una función de las variaciones de la entropía ( $S$ ) y el volumen ( $V$ ), así como de las pendientes la derivada parcial de la energía interna respecto del volumen a entropía constante ( $DU_{V,S}$ ) y la derivada parcial de la energía interna respecto de la entropía a volumen constante ( $DU_{S,V}$ ), lo que se expresa como:

$dU = DU_{S,V} dS + DU_{V,S} dV$

Al compararlo con la ecuación de el diferencial de la energía interna ( $dU$ ):

$dU = T dS - p dV$

se obtiene que la pendiente de la energía interna ( $U$ ) respecto a la variación de el volumen ( $V$ ) es:

$DU_{V,S} =- p$

ID:(3535, 0)

Energía interna y ecuación de estado con volumen constante

Ecuación

>Top, >Modelo

Al comparar esto con la primera ley de la termodinámica, resulta que la derivada parcial de la energía interna respecto de la entropía a volumen constante ( $DU_{S,V}$ ) es igual a la temperatura absoluta ( $T$ ):

$DU_{S,V} = T$

$DU_{S,V}$

Derivada parcial de la energía interna respecto de la entropía a volumen constante

$K$

8735

$T$

Temperatura absoluta

$K$

5177

$dU = DU_{S,V} dS + DU_{V,S} dV$

Al compararlo con la ecuación de el diferencial de la energía interna ( $dU$ ):

$dU = T dS - p dV$

se obtiene que la pendiente de la energía interna ( $U$ ) respecto a la variación de la entropía ( $S$ ) es:

$DU_{S,V} = T$

ID:(3546, 0)

Energía Interna con función partición

Ecuación

>Top, >Modelo

La energía interna es igual a la energía media calculada con

$\bar{E}=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$

se tiene que con la energía interna es

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$

ID:(3534, 0)

Energía interna y relación de Maxwell

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la entropía ( $S$ ), el volumen ( $V$ ), la temperatura absoluta ( $T$ ) y la presión ( $p$ ) se obtiene una de las llamadas relaciones de Maxwell:

$DT_{V,S} =- Dp_{S,V}$

$Dp_{S,V}$

Derivada parcial de la presión respecto de la entropía a volumen constante

$K/m^3$

8739

$DT_{V,S}$

Derivada parcial de la temperatura respecto del volumen a entropía constante

$K/m^3$

8738

Dado que el diferencial de la energía interna ( $dU$ ) es un diferencial exacto, debemos notar que la energía interna ( $U$ ) con respecto a la entropía ( $S$ ) y el volumen ( $V$ ) debe ser independiente del orden en que se toman las derivadas de la función:

$D(DU_{S,V})_{V,S}=D(DU_{V,S})_{S,V}$

Utilizando la relación entre la pendiente la derivada parcial de la energía interna respecto de la entropía a volumen constante ( $DU_{S,V}$ ) y la temperatura absoluta ( $T$ )

$DU_{S,V} = T$

,

y la relación entre la pendiente la derivada parcial de la energía interna respecto del volumen a entropía constante ( $DU_{V,S}$ ) y la presión ( $p$ )

$DU_{V,S} =- p$

,

podemos concluir que:

$DT_{V,S} =- Dp_{S,V}$

ID:(3556, 0)

Calculo de la derivada parcial de la temperatura en el volumen a entropía constante

Ecuación

>Top, >Modelo

La derivada de la temperatura en el volumen a entropia constante es

$DT_{V,S} =\left(\displaystyle\frac{\partial T }{\partial V }\right)_ S$

$DT_{V,S}$

Derivada parcial de la temperatura respecto del volumen a entropía constante

$K/m^3$

8738

$S$

Entropía

$J/K$

5227

$T$

Temperatura absoluta

$K$

5177

$V$

Volumen

$m^3$

5226

ID:(12025, 0)

Calculo de la derivada parcial de la presión en la entropia a volumen constante

Ecuación

>Top, >Modelo

La derivada de la presión en la entropia a volumen constante es

$Dp_{S,V} =\left(\displaystyle\frac{\partial p }{\partial S }\right)_ V$

$Dp_{S,V}$

Derivada parcial de la presión respecto de la entropía a volumen constante

$K/m^3$

8739

$S$

Entropía

$J/K$

5227

$p$

Presión

$Pa$

5224

$V$

Volumen

$m^3$

5226

ID:(12026, 0)

0

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