Wenn die Absolute Temperatur ($T$) und die Druck ($p$) konstant gehalten werden, wird die Änderung der inneren Energie ($dU$), das von die Entropievariation ($dS$) und die Volumenvariation ($dV$) abhängt, wie folgt ausgedrückt:

Durch Integration ergibt sich folgende Gleichung in Bezug auf die Innere Energie ($U$), die Entropie ($S$) und der Volumen ($V$):

Da der Interne Energiedifferenz ($dU$) gemäß der Gleichung von der Differential ungenau Wärme ($\delta Q$), die Druck ($p$) und die Volumenvariation ($dV$) abhängt:

und der Ausdruck für das zweite Gesetz der Thermodynamik mit die Absolute Temperatur ($T$) und die Entropievariation ($dS$) lautet:

können wir daraus schließen:

Da die Innere Energie ($U$) von die Entropie ($S$) und der Volumen ($V$) abhängt, kann der Interne Energiedifferenz ($dU$) wie folgt berechnet werden:

$dU = \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V dS + \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S dV$

Um die Schreibweise dieser Ausdrucksweise zu vereinfachen, führen wir die Notation für die Ableitung von die Innere Energie ($U$) nach die Entropie ($S$) bei konstantem der Volumen ($V$) ein:

$DU_{S,V} \equiv \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V$

und die Ableitung von die Innere Energie ($U$) nach der Volumen ($V$) bei konstantem die Entropie ($S$) als:

$DU_{V,S} \equiv \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S$

Daher können wir schreiben:

Der Interne Energiedifferenz ($dU$) ist eine Funktion der Variationen von die Entropie ($S$) und der Volumen ($V$) sowie der Steigungen die Partielle Ableitung der inneren Energie nach dem Volumen bei konstanter Entropie ($DU_{V,S}$) und die Partielle Ableitung der inneren Energie nach der Entropie bei konstantem Volumen ($DU_{S,V}$), was sich wie folgt ausdrückt:

Vergleicht man dies mit der Gleichung für der Interne Energiedifferenz ($dU$):

ergibt sich die Steigung von die Innere Energie ($U$) in Bezug auf die Variation von der Volumen ($V$):

Der Interne Energiedifferenz ($dU$) ist eine Funktion der Variationen von die Entropie ($S$) und der Volumen ($V$) sowie der Steigungen die Partielle Ableitung der inneren Energie nach dem Volumen bei konstanter Entropie ($DU_{V,S}$) und die Partielle Ableitung der inneren Energie nach der Entropie bei konstantem Volumen ($DU_{S,V}$), was sich wie folgt ausdrückt:

Vergleicht man dies mit der Gleichung für der Interne Energiedifferenz ($dU$):

ergibt sich die Steigung von die Innere Energie ($U$) in Bezug auf die Variation von die Entropie ($S$):

Da der Interne Energiedifferenz ($dU$) ein exaktes Differential ist, sollten wir beachten, dass die Innere Energie ($U$) in Bezug auf die Entropie ($S$) und der Volumen ($V$) unabhängig von der Reihenfolge sein muss, in der die Funktion abgeleitet wird:

$D(DU_{S,V}){V,S}=D(DU{V,S})_{S,V}$

Unter Verwendung der Beziehung zwischen der Steigung die Partielle Ableitung der inneren Energie nach der Entropie bei konstantem Volumen ($DU_{S,V}$) und die Absolute Temperatur ($T$)

,

und der Beziehung zwischen der Steigung die Partielle Ableitung der inneren Energie nach dem Volumen bei konstanter Entropie ($DU_{V,S}$) und die Druck ($p$)

,

können wir folgern: