Die Helmholtz Freie Energie ($F$) wird unter Verwendung von die Innere Energie ($U$), die Absolute Temperatur ($T$) und die Entropie ($S$) wie folgt definiert:

Wenn wir diese Gleichung differenzieren, erhalten wir mit der Differential Helmholtz freie Energie ($dF$), die Änderung der inneren Energie ($dU$), die Entropievariation ($dS$) und die Temperaturschwankungen ($dT$):

$dF = dU - TdS - SdT$

Mit dem Differential der inneren Energie und den Variablen die Druck ($p$) und die Volumenvariation ($dV$),

erhalten wir schließlich:

Da die Helmholtz Freie Energie ($F$) von die Absolute Temperatur ($T$) und der Volumen ($V$) abhängt, kann der Differential Helmholtz freie Energie ($dF$) berechnet werden durch:

$dF = \left(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V dT + \left(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T dV$

Um diese Ausdrucksweise zu vereinfachen, führen wir die Notation für die Ableitung von die Helmholtz Freie Energie ($F$) bezüglich die Absolute Temperatur ($T$) bei konstantem der Volumen ($V$) ein als:

$DF_{T,V} \equiv \left(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V$

und für die Ableitung von die Helmholtz Freie Energie ($F$) bezüglich der Volumen ($V$) bei konstantem die Absolute Temperatur ($T$) als:

$DF_{V,T} \equiv \left(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T$

somit können wir schreiben:

Der Differential Helmholtz freie Energie ($dF$) ist eine Funktion der Variationen von die Absolute Temperatur ($T$) und der Volumen ($V$), sowie der Steigungen die Partielle Ableitung der freien Helmholtz-Energie nach der Temperatur bei konstantem Volumen ($DF_{T,V}$) und die Partielle Ableitung der freien Helmholtz-Energie nach dem Volumen bei konstanter Temperatur ($DF_{V,T}$), ausgedrückt als:

Vergleicht man dies mit der Gleichung für der Differential Helmholtz freie Energie ($dF$):

und mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, ergibt sich, dass die Partielle Ableitung der freien Helmholtz-Energie nach der Temperatur bei konstantem Volumen ($DF_{T,V}$) gleich minus die Entropie ($S$) ist:

Der Differential Helmholtz freie Energie ($dF$) ist eine Funktion der Variationen von die Absolute Temperatur ($T$) und der Volumen ($V$), sowie der Steigungen die Partielle Ableitung der freien Helmholtz-Energie nach der Temperatur bei konstantem Volumen ($DF_{T,V}$) und die Partielle Ableitung der freien Helmholtz-Energie nach dem Volumen bei konstanter Temperatur ($DF_{V,T}$), die wie folgt ausgedrückt wird:

Vergleicht man dies mit der Gleichung für der Differential Helmholtz freie Energie ($dF$):

und mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, ergibt sich, dass die Partielle Ableitung der freien Helmholtz-Energie nach dem Volumen bei konstanter Temperatur ($DF_{V,T}$) gleich minus die Druck ($p$) ist:

Da der Differential Helmholtz freie Energie ($dF$) ein exaktes Differential ist, sollten wir beachten, dass die Helmholtz Freie Energie ($F$) in Bezug auf die Absolute Temperatur ($T$) und der Volumen ($V$) unabhängig von der Reihenfolge sein muss, in der die Funktion abgeleitet wird:

$D(DF_{T,V})_{V,T}=D(DF{V,T})_{T,V}$

Unter Verwendung der Beziehung zwischen der Steigung die Partielle Ableitung der freien Helmholtz-Energie nach der Temperatur bei konstantem Volumen ($DF_{T,V}$) und die Entropie ($S$)

und der Beziehung zwischen der Steigung die Partielle Ableitung der freien Helmholtz-Energie nach dem Volumen bei konstanter Temperatur ($DF_{V,T}$) und die Druck ($p$)

können wir folgern: