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Verteilungsfunktion
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Bei der Berechnung der durchschnittlichen Energie wird deutlich, dass es eine erzeugende Funktion gibt, mit der verschiedene Parameter berechnet werden können. Diese Funktion wird als die Partitionsfunktion bezeichnet und dient als Grundlage für die Berechnung von Eigenschaften verschiedener Systeme.
ID:(171, 0)
Durchschnittliche Energie
Gleichung
Um die durchschnittliche Energie zu berechnen, wird der gewichtete Durchschnitt der Energien aus verschiedenen Zuständen $r$ unter Berücksichtigung ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeiten verwendet, wie durch
| $P_r=Ce^{-\beta E_r}$ |
dargestellt. Dies geschieht nach folgender Formel:
$\bar{E}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rP_rE_r}{\displaystyle\sum_rP_r}$
Das Ergebnis wird unter Berücksichtigung der Werte von
| $\bar{E}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rE_re^{-\beta E_r}}{\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r}}$ |
ermittelt.
ID:(3526, 0)
Verteilungsfunktion
Gleichung
Die durchschnittliche Energie wird in Bezug auf beta del sistema $1/J$, energía del estado $r$ $J$, energía media del sistema $J$ und numero del estado $-$
| $\bar{E}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rE_re^{-\beta E_r}}{\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r}}$ |
bestimmt und kann wie folgt ausgedrückt werden:
$\bar{E}=-\displaystyle\frac{1}{\sum_re^{-\beta E_r}}\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\sum_re^{-\beta E_r}$
Dies kann zusammengefasst werden als
$\bar{E}=-\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial Z}{\partial\beta}$
wobei wir die sogenannte Partitionsfunktion mit beta del sistema $1/J$, energía del estado $r$ $J$, energía media del sistema $J$ und numero del estado $-$ einführen:
| $Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$ |
Der Buchstabe $Z$ stammt aus dem deutschen Wort Zustandsumme (Zustand=State, Summe=sum).
Die Partitionsfunktion ist eine Generierungsfunktion, was bedeutet, dass sie andere Funktionen erzeugt, die physikalische Bedeutung haben.
ID:(3527, 0)
Durchschnittliche Energie berechnet mit der Partition-Funktion
Gleichung
Da es offensichtlich ist, dass
$\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} =\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial Z}{\partial\beta}$
und
$\bar{E}=-\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial Z}{\partial\beta}$
bedeutet dies, dass mit
| $\bar{E}=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$ |
ID:(3528, 0)
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Video: Partitionsfunktion