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Binomial Distributions
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The random walking model is described with the binomial distribution in which the actor can move in two directions with given probabilities.
ID:(309, 0)
Distribución binomial
Equation
Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por
| $W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$ |
con el número total de pasos es
| $N=n_1+n_2$ |
y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que
| $p+q=1$ |
por lo que con se tiene la distribución binomial
| $ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$ |
ID:(8961, 0)
Final position
Equation
La posición final se obtiene calculando el numero que efectivamente se avanza en una o la otra dirección. Esto es la diferencia entre el numero de pasos en una y la otra dirección.
Por ello el numero defectivo de pasos final se obtiene con de
| $m=n_1-n_2$ |
ID:(3359, 0)
Cambio de variables para los pasos hacia la derecha
Equation
Para poder estudiar como se distribuyen la probabilidad de donde termina el camino aleatorio, se introduce el numero de pasos efectivos, que con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$ and numero efectivo de pasos $-$ es
| $m=n_1-n_2$ |
Por otro lado con el numero total de pasos, con , que es
| $N=n_1+n_2$ |
se pueden definir la conversión con el numero de desplazase hacia la derecha:
| $ n_1 =\displaystyle\frac{1}{2}( N + m )$ |
ID:(3357, 0)
Cambio de variables para los pasos hacia la izquierda
Equation
Para poder estudiar como se distribuyen la probabilidad de donde termina el camino aleatorio, se introduce el numero de pasos efectivos, que con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$ and numero efectivo de pasos $-$ es
| $m=n_1-n_2$ |
Por otro lado con el numero total de pasos, con , que es
| $N=n_1+n_2$ |
se pueden definir la conversión con el numero de desplazase hacia la izquierda:
| $ n_2 =\displaystyle\frac{1}{2}( N - m )$ |
ID:(8962, 0)
Probabilidad de que este en una posición
Equation
Con la distribución binomial es
| $W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$ |
con número de pasos hacia la izquierda $-$, numero efectivo de pasos $-$ and número total de pasos $-$ el numero de pasos a la derecha es
| $ n_1 =\displaystyle\frac{1}{2}( N + m )$ |
y con número de pasos hacia la derecha $-$, numero efectivo de pasos $-$ and número total de pasos $-$ el numero de pasos a la izquierda es
| $ n_2 =\displaystyle\frac{1}{2}( N - m )$ |
se tiene la probabilidad de que la caminata aleatoria se encuentre con número de pasos hacia la derecha $-$, numero efectivo de pasos $-$ and número total de pasos $-$ que es
| $P_N(m)=\displaystyle\frac{N!}{[(N+m)/2]![(N-m)/2]!}p^{(N+m)/2}(1-p)^{(N-m)/2}$ |
ID:(3360, 0)
The time passed
Equation
El tiempo transcurrido es igual al numero de paso por el tiempo que demora un paso, con es:
| $ t = N \Delta t $ |
ID:(501, 0)
Walker position
Equation
La posición se puede calcular del largo medio de los pasos y del numero efectivo de estos.
Por ello, con se tiene que la posición es
| $ x = m a $ |
ID:(11430, 0)
Total probability of combination of Steps
Equation
Con numero efectivo de pasos $-$, número total de pasos $-$, probabilidad de $n_1$ de $N$ pasos hacia la izquierda $-$ and probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ la distribución binomial
| $P_N(m)=\displaystyle\frac{N!}{[(N+m)/2]![(N-m)/2]!}p^{(N+m)/2}(1-p)^{(N-m)/2}$ |
puede reescribirse con numero efectivo de pasos $-$, posición al final $m$ and step size $m$ en función del camino
| $ x = m a $ |
y con número total de pasos $-$, tiempo del paso $s$ and tiempo final $s$ el tiempo
| $ t = N \Delta t $ |
con número total de pasos $-$, tiempo del paso $s$ and tiempo final $s$ la probabilidad de llegar en un tiempo a una posición es
| $ P(x,t)=\displaystyle\frac{(t/\Delta t)!}{[(t/\Delta t+x/a)/2]![(t/\Delta t-x/a)/2]!}p^{(t/\Delta t+x/a)/2}(1-p)^{(t/\Delta t-x/a)/2}$ |
ID:(3356, 0)
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Video: Binomial distribution