Binomial Distributions

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The random walking model is described with the binomial distribution in which the actor can move in two directions with given probabilities.

>Model

ID:(309, 0)



Distribución binomial

Equation

>Top, >Model


Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por

$W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$



con el número total de pasos es

$N=n_1+n_2$



y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que

$p+q=1$



por lo que con se tiene la distribución binomial

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

ID:(8961, 0)



Final position

Equation

>Top, >Model


La posición final se obtiene calculando el numero que efectivamente se avanza en una o la otra dirección. Esto es la diferencia entre el numero de pasos en una y la otra dirección.

Por ello el numero defectivo de pasos final se obtiene con de

$m=n_1-n_2$

ID:(3359, 0)



Cambio de variables para los pasos hacia la derecha

Equation

>Top, >Model


Para poder estudiar como se distribuyen la probabilidad de donde termina el camino aleatorio, se introduce el numero de pasos efectivos, que con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$ and numero efectivo de pasos $-$ es

$m=n_1-n_2$



Por otro lado con el numero total de pasos, con , que es

$N=n_1+n_2$



se pueden definir la conversión con el numero de desplazase hacia la derecha:

$ n_1 =\displaystyle\frac{1}{2}( N + m )$

ID:(3357, 0)



Cambio de variables para los pasos hacia la izquierda

Equation

>Top, >Model


Para poder estudiar como se distribuyen la probabilidad de donde termina el camino aleatorio, se introduce el numero de pasos efectivos, que con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$ and numero efectivo de pasos $-$ es

$m=n_1-n_2$



Por otro lado con el numero total de pasos, con , que es

$N=n_1+n_2$



se pueden definir la conversión con el numero de desplazase hacia la izquierda:

$ n_2 =\displaystyle\frac{1}{2}( N - m )$

ID:(8962, 0)



Probabilidad de que este en una posición

Equation

>Top, >Model


Con la distribución binomial es

$W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$



con número de pasos hacia la izquierda $-$, numero efectivo de pasos $-$ and número total de pasos $-$ el numero de pasos a la derecha es

$ n_1 =\displaystyle\frac{1}{2}( N + m )$



y con número de pasos hacia la derecha $-$, numero efectivo de pasos $-$ and número total de pasos $-$ el numero de pasos a la izquierda es

$ n_2 =\displaystyle\frac{1}{2}( N - m )$



se tiene la probabilidad de que la caminata aleatoria se encuentre con número de pasos hacia la derecha $-$, numero efectivo de pasos $-$ and número total de pasos $-$ que es

$P_N(m)=\displaystyle\frac{N!}{[(N+m)/2]![(N-m)/2]!}p^{(N+m)/2}(1-p)^{(N-m)/2}$

ID:(3360, 0)



The time passed

Equation

>Top, >Model


El tiempo transcurrido es igual al numero de paso por el tiempo que demora un paso, con es:

$ t = N \Delta t $

ID:(501, 0)



Walker position

Equation

>Top, >Model


La posición se puede calcular del largo medio de los pasos y del numero efectivo de estos.

Por ello, con se tiene que la posición es

$ x = m a $

ID:(11430, 0)



Total probability of combination of Steps

Equation

>Top, >Model


Con numero efectivo de pasos $-$, número total de pasos $-$, probabilidad de $n_1$ de $N$ pasos hacia la izquierda $-$ and probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ la distribución binomial

$P_N(m)=\displaystyle\frac{N!}{[(N+m)/2]![(N-m)/2]!}p^{(N+m)/2}(1-p)^{(N-m)/2}$



puede reescribirse con numero efectivo de pasos $-$, posición al final $m$ and step size $m$ en función del camino

$ x = m a $



y con número total de pasos $-$, tiempo del paso $s$ and tiempo final $s$ el tiempo

$ t = N \Delta t $



con número total de pasos $-$, tiempo del paso $s$ and tiempo final $s$ la probabilidad de llegar en un tiempo a una posición es

$ P(x,t)=\displaystyle\frac{(t/\Delta t)!}{[(t/\Delta t+x/a)/2]![(t/\Delta t-x/a)/2]!}p^{(t/\Delta t+x/a)/2}(1-p)^{(t/\Delta t-x/a)/2}$

ID:(3356, 0)



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Video

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