(ID 15540)

George Stokes realiz numerosos trabajos en hidrodin mica y matem ticas, siendo principalmente recordado por la conocida ley de Stokes aplicada a cuerpos esf ricos en un flujo y por el teorema de Stokes en matem ticas.

George Gabriel Stokes (1819-1903)

(ID 12535)

Cuando se arroja una esfera en un medio viscoso, aparece una fuerza ascendente inicial, una fuerza gravitacional ($F_g$), que comienza a hundir progresivamente el cuerpo. Durante este proceso, la esfera gana velocidad, dando lugar a una fuerza descendente, una fuerza viscosa ($F_v$), que depende de la velocidad. A medida que la velocidad total, la fuerza con masa constante ($F$),

$ F = F_g - F_v $

comienza a reducirse hasta volverse nula. A partir de este momento, el movimiento contin a a una velocidad constante, ya que no hay fuerza que lo acelere.

(ID 15544)

La fuerza de Stokes es la fuerza generada por el flujo alrededor de una esfera de ERROR:6690,0 inmersa en l. En este caso, se utiliza el modelo de la fuerza proporcional a la velocidad ($v$):

$ F_v = b v $

En este contexto, se puede demostrar que la constante de fuerza viscosa ($b$) con la viscosidad ($\eta$) es igual a:

$ b \equiv 6 \pi \eta r $

por lo tanto, la fuerza de Stokes se expresa como:

$ F_v =6 \pi \eta r v $

Esta fuerza se aplica principalmente en flujos laminares.

(ID 15555)

El movimiento de una esfera en dos dimensiones se caracteriza por la componente x de la velocidad ($v_x$) con la velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$), la tiempo de adaptación ($\tau$) y el tiempo ($t$):

$ v_x = v_{0x} e^{- t / \tau }$

y la componente y de la velocidad ($v_y$) con la velocidad vertical inicial ($v_{0y}$), la tiempo de adaptación ($\tau$), la aceleración gravitacional ($g$) y el tiempo ($t$):

$ v_y = g \tau + ( v_{0y} - g \tau )e^{- t / \tau }$

que se representa en un diagrama $v_x$ vs $v_y$:

El diagrama muestra c mo ambas componentes de la velocidad evolucionan en el tiempo. Inicialmente, $v$ es igual a $v_{0x}$, lo que corresponde a un punto en el borde derecho del gr fico. Con el tiempo, las componentes de la velocidad evolucionan desde el lado derecho hasta el borde izquierdo, donde la velocidad horizontal es nula y la velocidad vertical llega al l mite $g\tau$, por lo que $v/g\tau$ es igual a uno.

(ID 15558)

El desplazamiento horizontal se puede calcular mediante la ecuaci n pour la posición en el eje x ($x$) con la posición inicial en el eje x ($x_0$), la velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$), la tiempo de adaptación ($\tau$) y el tiempo ($t$) :

$ x = x_0 + v_{0x} \tau (1 - e^{- t / \tau })$

y el desplazamiento vertical de la posición en el eje y ($y$) con la posición inicial en el eje y ($y_0$), la velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$), la tiempo de adaptación ($\tau$) y el tiempo ($t$) :

$ y = y_0 + \tau g t + \tau ( v_{0y} - g \tau )(1 - e^{- t / \tau })$

lo que se grafica en las posiciones $x$ vs $y$ :

En este caso, la posici n evoluciona desde el borde izquierdo hacia el derecho, donde se detiene en su movimiento horizontal alcanzando una distancia m xima de $v_{0x}\tau$. El desplazamiento vertical se describe con un sistema de coordenadas cuyo origen se encuentra en el punto donde comienza la trayectoria y que en su versi n vertical apunta hacia abajo. En ese sentido, el incremento en $y$ corresponde al descenso de la esfera en la direcci n de la gravedad.

(ID 15559)

El m todo de medici n de viscosidad de Ostwald se basa en el comportamiento de un l quido que fluye por un tubo de radio peque o (capilar).

Se introduce el l quido, se succiona para que su nivel sobrepase la marca superior y luego se deja escurrir, midiendo el tiempo que el nivel tarda en pasar del nivel superior al inferior.

El experimento se realiza primero con un l quido para el cual se conoce la viscosidad y densidad (por ejemplo, agua destilada), y luego con el l quido para el cual se busca determinar la viscosidad. Si las condiciones son iguales, el l quido que fluya en ambos casos ser similar, y con ello, el tiempo ser proporcional a la densidad dividida por la viscosidad. As , se puede establecer una ecuaci n de comparaci n entre ambas viscosidades:

(ID 15545)

(ID 15542)

En el caso de un cuerpo que cae en un medio viscoso, la fuerza total, la fuerza con masa constante ($F$), es igual a la fuerza gravitacional ($F_g$) menos la fuerza viscosa ($F_v$), por lo tanto,

$ F = F_g - F_v $

(ID 15543)

En el caso en que la masa inercial ($m_i$) es igual a la masa inicial ($m_0$),

$ m_g = m_i $

la derivada del momento ser igual a la masa multiplicada por la derivada de la velocidad ($v$). Dado que la derivada de la velocidad es la aceleración instantanea ($a$), obtenemos que la fuerza con masa constante ($F$) es igual a

$ F = m_i a $

(ID 10975)

La fuerza gravitacional ($F_g$) se basa en la masa gravitacional ($m_g$) del objeto y en una constante que refleja la intensidad de la gravedad en la superficie del planeta. Esta ltima es identificada por la aceleración gravitacional ($g$), que es igual a $9.8 m/s^2$.

En consecuencia, se concluye que:

$ F_g = m_g g $

(ID 3241)

La forma m s simple de la fuerza viscosa ($F_v$) es aquella que es proporcional a la velocidad ($v$) del cuerpo, representada por:

$ F_v = b v $

La constante de proporcionalidad, tambi n conocida como la constante de fuerza viscosa ($b$), depende en general de la forma del objeto y de la viscosidad del medio en el que se desplaza. Un ejemplo de este tipo de fuerza es la que ejerce una corriente sobre un cuerpo esf rico, cuya expresi n matem tica se conoce como la ley de Stokes.

(ID 3243)

La resistencia se define en funci n de la viscosidad del fluido y la velocidad de la esfera de la siguiente manera:

$ F_v = b v $

Stokes calcul expl citamente la resistencia experimentada por la esfera y determin que la viscosidad es proporcional al radio de la esfera y su velocidad, lo que lleva a la siguiente ecuaci n para la resistencia:

$ F_v =6 \pi \eta r v $

(ID 4871)

En el contexto de la fuerza de Stokes en la fuerza viscosa ($F_v$), esta se modela con la constante de fuerza viscosa ($b$) y la velocidad ($v$), como se muestra en la ecuaci n:

$ F_v = b v $

Esto se traduce en un valor espec fico de la constante de fuerza viscosa ($b$), que, junto con la viscosidad ($\eta$) y el radio de la gota ($r$), puede expresarse como:

$ b \equiv 6 \pi \eta r $

(ID 15554)

La fuerza con masa constante ($F$) es igual a la fuerza gravitacional ($F_g$) menos la fuerza viscosa ($F_v$) por lo que:

$ F = F_g - F_v $

Esta relaci n permite establecer la ecuaci n de movimiento para la aceleración instantanea ($a$) con una masa inercial ($m_i$) que cae debido a la gravedad terrestre con la aceleración gravitacional ($g$), y con una masa gravitacional ($m_g$), en la constante de fuerza viscosa ($b$), tomar la forma de:

$ m_i a = m_g g - b v $

(ID 14495)

La densidad ($\rho$) se define como la relaci n entre la masa ($M$) y el volumen ($V$), que se expresa como:

$ \rho \equiv\displaystyle\frac{ M }{ V }$

Esta propiedad es espec fica del material en cuesti n.

(ID 3704)

La volumen de una esfera ($V$) para una esfera con un radio de una esfera ($r$) se calcula mediante la siguiente f rmula:

$ V =\displaystyle\frac{4 \pi }{3} r ^3$

(ID 4445)

Las masas que Newton utiliz en sus principios est n relacionadas con la inercia de los cuerpos, lo que lleva al concepto de la masa inercial ($m_i$).

La ley de Newton que se vincula con la fuerza entre cuerpos debido a sus masas est relacionada con la gravedad, por lo que se conoce como la masa gravitacional ($m_g$).

De manera emp rica, se ha concluido que ambas masas son equivalentes, y por lo tanto, definimos

$ m_g = m_i $

Einstein fue quien cuestion esta igualdad y, a partir de esa duda, comprendi por qu ambas 'aparecen' iguales en su teor a de la gravedad. En su argumento, Einstein explic que las masas deforman el espacio, y esta deformaci n del espacio provoca un cambio en el comportamiento de los cuerpos. De esta manera, las masas resultan ser equivalentes. El concepto revolucionario de la curvatura del espacio implica que incluso la luz, que carece de masa, se ve afectada por los cuerpos celestes, lo que contradice la teor a de la gravitaci n de Newton. Esto se demostr experimentalmente al estudiar el comportamiento de la luz durante un eclipse solar. En esta situaci n, los haces de luz se desv an debido a la presencia del sol, lo que permite observar estrellas que se encuentran detr s de l.

(ID 12552)

Con el modelo de Stokes, la resistencia viscosa la constante de fuerza viscosa ($b$), que depende de el radio de la gota ($r$) y la viscosidad del medio ($\eta$), se calcula como:

$ b \equiv 6 \pi \eta r $

Esto conduce a que la tiempo de viscosidad y masa inercial ($\tau_i$) y la tiempo de viscosidad y masa gravitacional ($\tau_g$) asuman valores iguales la tiempo de adaptación ($\tau$), que se calculan con la densidad ($\rho$) de la siguiente manera:

$\tau = \displaystyle\frac{2 r ^2 \rho }{9 \eta }$

(ID 14465)

En un escenario de movimiento horizontal, la esfera enfrenta una resistencia que proviene nicamente de la viscosidad del medio circundante, la cual puede ser cuantificada mediante la ecuaci n de la velocidad ($v$) con la velocidad inicial ($v_0$), la tiempo de viscosidad y masa inercial ($\tau_i$) y el tiempo ($t$):

$ v = v_0 e^{- t / \tau_i }$

Por lo tanto, la interacci n entre estos elementos conduce a la observaci n de que la componente x de la velocidad ($v_x$) con la velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$), la tiempo de adaptación ($\tau$) y el tiempo ($t$):

$ v_x = v_{0x} e^{- t / \tau }$

(ID 6844)

En el contexto del movimiento horizontal, la posici n se obtiene mediante la integraci n de la velocidad, lo que nos da como resultado una ecuaci n en la posición ($s$) con la posición inicial ($s_0$), la velocidad inicial ($v_0$), la tiempo de viscosidad y masa gravitacional ($\tau_g$), la tiempo de viscosidad y masa inercial ($\tau_i$), la aceleración gravitacional ($g$) y el tiempo ($t$):

$ s = s_0 + v_0 \tau_i (1 - e^{- t / \tau_i })$

A partir de esta ecuaci n, llegamos a la ecuaci n el desplazameinto horizontal para la posición en el eje x ($x$) con la posición inicial en el eje x ($x_0$), la velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$), la tiempo de adaptación ($\tau$) y el tiempo ($t$):

$ x = x_0 + v_{0x} \tau (1 - e^{- t / \tau })$

(ID 14467)

Con la ecuaci n de movimiento de un cuerpo en un medio viscoso, tenemos la derivada de la velocidad ($v$) en el tiempo ($t$) con la constante de fuerza viscosa ($b$) y la aceleración gravitacional ($g$):

$ m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = - b v $

Lo que define la tiempo de viscosidad y masa inercial ($\tau_i$) como:

$ \tau \equiv \displaystyle\frac{ m_i }{ b }$

(ID 15548)

En el contexto del movimiento vertical, la esfera enfrenta una doble resistencia: por un lado, la viscosidad del medio circundante, y por otro, la gravedad que la impulsa hacia abajo. Esta ltima puede ser cuantificada mediante la ecuaci n de la velocidad ($v$) con la velocidad inicial ($v_0$), la tiempo de viscosidad y masa gravitacional ($\tau_g$), la tiempo de viscosidad y masa inercial ($\tau_i$), la aceleración gravitacional ($g$) y el tiempo ($t$):

$ v = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$

Assumimos que la masa gravitacional y la masa inercial son id nticas, entonces obtenemos la funci n para la componente y de la velocidad ($v_y$) con la velocidad vertical inicial ($v_{0y}$), la tiempo de adaptación ($\tau$), la aceleración gravitacional ($g$) y el tiempo ($t$):

$ v_y = g \tau + ( v_{0y} - g \tau )e^{- t / \tau }$

(ID 14466)

En el escenario de movimiento vertical, la posici n se obtiene mediante la integraci n de la velocidad, lo que nos da como resultado una ecuaci n en la posición ($s$) con la posición inicial ($s_0$), la velocidad inicial ($v_0$), la tiempo de viscosidad y masa gravitacional ($\tau_g$), la tiempo de viscosidad y masa inercial ($\tau_i$), la aceleración gravitacional ($g$) y el tiempo ($t$):

$ s = s_0 + g \tau_g t +( v_0 - g \tau_g ) \tau_i (1 - e^{- t / \tau_i })$

A partir de esta ecuaci n, llegamos a la ecuaci n para el desplazamiento vertical de la posición en el eje y ($y$) con la posición inicial en el eje y ($y_0$), la velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$), la tiempo de adaptación ($\tau$) y el tiempo ($t$):

$ y = y_0 + \tau g t + \tau ( v_{0y} - g \tau )(1 - e^{- t / \tau })$

(ID 14468)