(ID 15540)

George Stokes fez contribui es significativas nas reas de hidrodin mica e matem tica. Ele principalmente lembrado pela conhecida lei de Stokes aplicada a corpos esf ricos em um fluxo e pelo teorema de Stokes na matem tica.

(ID 12535)

Quando uma esfera lan ada em um meio viscoso, surge uma for a inicial ascendente, uma força gravitacional ($F_g$), que afunda gradualmente o corpo. Durante esse processo, a esfera ganha velocidade, resultando em uma for a descendente, uma força viscosa ($F_v$), que depende da velocidade. Conforme a velocidade total, la força com massa constante ($F$),

$ F = F_g - F_v $

come a a diminuir at se tornar nula. A partir desse momento, o movimento continua com velocidade constante, j que n o h for a para aceler -lo.

(ID 15544)

A for a de Stokes a for a gerada pelo fluxo ao redor de uma esfera de ERROR:6690,0 imersa nele. Neste caso, utiliza-se o modelo de for a proporcional a la velocidade ($v$):



Neste contexto, pode-se demonstrar que la constante de força viscosa ($b$) com la viscosidade ($\eta$) igual a:



portanto, a for a de Stokes expressa como:



Esta for a aplicada principalmente em fluxos laminares.

(ID 15555)

O movimento de uma esfera em duas dimens es caracterizado por la componente x da velocidade ($v_x$) com la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):

$ v_x = v_{0x} e^{- t / \tau }$

e la componente y da velocidade ($v_y$) com la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$), la tempo de adaptação ($\tau$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):

$ v_y = g \tau + ( v_{0y} - g \tau )e^{- t / \tau }$

o que representado em um diagrama $v_x$ vs. $v_y$:

O diagrama mostra como ambas as componentes de velocidade evoluem ao longo do tempo. Inicialmente, $v$ igual a $v_{0x}$, o que corresponde a um ponto na borda direita do gr fico. Com o tempo, as componentes de velocidade evoluem da direita para a borda esquerda, onde a velocidade horizontal nula e a velocidade vertical atinge o limite de $g\tau$, de modo que $v/g\tau$ igual a um.

(ID 15558)

A desloca o horizontal pode ser calculada usando a equa o para la posição no eixo x ($x$) com la posição inicial no eixo x ($x_0$), la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):

$ x = x_0 + v_{0x} \tau (1 - e^{- t / \tau })$

e o deslocamento vertical para la posição no eixo y ($y$) com la posição inicial no eixo y ($y_0$), la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):

$ y = y_0 + \tau g t + \tau ( v_{0y} - g \tau )(1 - e^{- t / \tau })$

que graficamente representado nas posi es $x$ vs $y$:

Neste caso, a posi o evolui da borda esquerda para a direita, onde para o movimento horizontal alcan ando uma dist ncia m xima de $v_{0x}\tau$. O deslocamento vertical descrito com um sistema de coordenadas que tem sua origem no ponto onde a trajet ria come a e cuja vers o vertical aponta para baixo. Nesse sentido, o aumento em $y$ corresponde ao movimento descendente da esfera na dire o da gravidade.

(ID 15559)

O m todo de medi o de viscosidade de Ostwald baseia-se no comportamento de um l quido fluindo atrav s de um tubo de pequeno raio (capilar).

O l quido introduzido, aplica-se suc o para exceder a marca superior e, em seguida, permite-se que escorra, medindo o tempo que leva para o n vel passar da marca superior para a inferior.

O experimento conduzido primeiro com um l quido para o qual a viscosidade e a densidade s o conhecidas (por exemplo, gua destilada), e depois com o l quido para o qual se deseja determinar a viscosidade. Se as condi es forem id nticas, o l quido fluindo em ambos os casos ser semelhante e, assim, o tempo ser proporcional densidade dividida pela viscosidade. Portanto, pode-se estabelecer uma equa o de compara o entre ambas as viscosidades:

(ID 15545)

(ID 15542)

No caso de um corpo que cai em um meio viscoso, a for a total, la força com massa constante ($F$), igual a la força gravitacional ($F_g$) menos la força viscosa ($F_v$), ent o

$ F = F_g - F_v $

(ID 15543)

No caso em que la massa inercial ($m_i$) igual a la massa inicial ($m_0$),

$ m_g = m_i $

a derivada do momento ser igual massa multiplicada pela derivada de la velocidade ($v$). Dado que a derivada da velocidade la aceleração instantânea ($a$), temos que la força com massa constante ($F$) igual a

$ F = m_i a $

(ID 10975)

La força gravitacional ($F_g$) baseia-se em la massa gravitacional ($m_g$) do objeto e em uma constante que reflete a intensidade da gravidade na superf cie do planeta. Esta ltima identificada por la aceleração gravitacional ($g$), que igual a $9.8 m/s^2$.

Consequentemente, conclui-se que:

$ F_g = m_g g $

(ID 3241)

A forma mais simples de la força viscosa ($F_v$) aquela que proporcional ao la velocidade ($v$) do corpo, representada por:

$ F_v = b v $

A constante de proporcionalidade, tamb m conhecida como la constante de força viscosa ($b$), geralmente depende da forma do objeto e da viscosidade do meio atrav s do qual ele se move. Um exemplo desse tipo de for a aquela exercida por um fluxo de fluido em um corpo esf rico, cuja express o matem tica conhecida como a lei de Stokes.

(ID 3243)

A for a de arrasto definida em fun o da viscosidade do fluido e da velocidade da esfera pela equa o:

$ F_v = b v $

Stokes calculou explicitamente a resist ncia sofrida pela esfera e determinou que a viscosidade proporcional ao raio da esfera e sua velocidade, resultando na seguinte equa o:

$ F_v =6 \pi \eta r v $

(ID 4871)

No caso da for a de Stokes em la força viscosa ($F_v$), esta modelada com la constante de força viscosa ($b$) e la velocidade ($v$),

$ F_v = b v $

o que corresponde a um valor de la constante de força viscosa ($b$) que, com la viscosidade ($\eta$) e ERROR:6690, igual a

$ b \equiv 6 \pi \eta r $

(ID 15554)

La força com massa constante ($F$) igual a la força gravitacional ($F_g$) menos la força viscosa ($F_v$), ent o:

$ F = F_g - F_v $

Essa rela o permite estabelecer a equa o de movimento para la aceleração instantânea ($a$) com uma massa inercial ($m_i$) caindo devido gravidade da Terra com la aceleração gravitacional ($g$), e com uma massa gravitacional ($m_g$), em la constante de força viscosa ($b$), assumir a forma de:

$ m_i a = m_g g - b v $

(ID 14495)

La densidade ($\rho$) definido como a rela o entre la massa ($M$) e o volume ($V$), expressa como:

$ \rho \equiv\displaystyle\frac{ M }{ V }$

Essa propriedade espec fica do material em quest o.

(ID 3704)

La volume de uma esfera ($V$) de uma esfera com um raio de uma esfera ($r$) calculado pela seguinte f rmula:

$ V =\displaystyle\frac{4 \pi }{3} r ^3$

(ID 4445)

As massas que Newton utilizou em seus princ pios est o relacionadas in rcia dos corpos, o que leva ao conceito de la massa inercial ($m_i$).

A lei de Newton, que est ligada for a entre corpos devido s suas massas, est relacionada gravidade, sendo conhecida como la massa gravitacional ($m_g$).

Empiricamente, concluiu-se que ambas as massas s o equivalentes, e, portanto, definimos

$ m_g = m_i $

Einstein foi quem questionou essa igualdade e, a partir dessa d vida, compreendeu por que ambas 'aparecem' iguais em sua teoria da gravidade. Em seu argumento, Einstein explicou que as massas deformam o espa o, e essa deforma o do espa o causa uma mudan a no comportamento dos corpos. Assim, as massas acabam sendo equivalentes. O conceito revolucion rio da curvatura do espa o implica que at mesmo a luz, que n o tem massa, afetada por corpos celestes, contradizendo a teoria da gravita o de Newton. Isso foi demonstrado experimentalmente ao estudar o comportamento da luz durante um eclipse solar. Nessa situa o, os feixes de luz s o desviados devido presen a do sol, permitindo a observa o de estrelas que est o atr s dele.

(ID 12552)

Com o modelo de Stokes, o arrasto viscoso la constante de força viscosa ($b$), que depende de ERROR:6690 e la viscosidade ambiental ($\eta$), calculado com

$ b \equiv 6 \pi \eta r $

resulta em la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$) e la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$) assumindo valores iguais la tempo de adaptação ($\tau$), calculados com la densidade ($\rho$) atrav s de

$\tau = \displaystyle\frac{2 r ^2 \rho }{9 \eta }$

(ID 14465)

No cen rio de movimento horizontal, a esfera enfrenta resist ncia apenas da viscosidade do meio circundante, que pode ser quantificada pela equa o envolvendo la velocidade ($v$) com la velocidade inicial ($v_0$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$) e o tempo ($t$):

$ v = v_0 e^{- t / \tau_i }$

Consequentemente, a intera o entre esses elementos leva observa o de que la componente x da velocidade ($v_x$) com la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):

$ v_x = v_{0x} e^{- t / \tau }$

(ID 6844)

Dentro do contexto do movimento horizontal, a posi o obtida integrando a velocidade, o que resulta em uma equa o em la posição ($s$) com la velocidade ($s_0$), la velocidade inicial ($v_0$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):

$ s = s_0 + v_0 \tau_i (1 - e^{- t / \tau_i })$

A partir desta equa o, chegamos equa o do deslocamento horizontal para la posição no eixo x ($x$) com la posição inicial no eixo x ($x_0$), la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):

$ x = x_0 + v_{0x} \tau (1 - e^{- t / \tau })$

(ID 14467)

Com a equa o de movimento de um corpo em um meio viscoso, temos a derivada de la velocidade ($v$) em o tempo ($t$) com la constante de força viscosa ($b$) e la aceleração gravitacional ($g$):

$ m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = - b v $

Isso define la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$) como:

$ \tau \equiv \displaystyle\frac{ m_i }{ b }$

(ID 15548)

No contexto do movimento vertical, a esfera enfrenta uma resist ncia dupla: de um lado, a viscosidade do meio circundante e, de outro, a gravidade que a impulsiona para baixo. Esta ltima pode ser quantificada pela equa o em la velocidade ($v$) com la velocidade inicial ($v_0$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):

$ v = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$

Assumimos que a massa gravitacional e a massa inercial s o id nticas, ent o obtemos a fun o para la componente y da velocidade ($v_y$) com la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$), la tempo de adaptação ($\tau$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):

$ v_y = g \tau + ( v_{0y} - g \tau )e^{- t / \tau }$

(ID 14466)

Dentro do cen rio de movimento vertical, a posi o obtida pela integra o da velocidade, o que nos d uma equa o em la posição ($s$) com la velocidade ($s_0$), la velocidade inicial ($v_0$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):

$ s = s_0 + g \tau_g t +( v_0 - g \tau_g ) \tau_i (1 - e^{- t / \tau_i })$

A partir desta equa o, chegamos equa o de deslocamento vertical para la posição no eixo y ($y$) com la posição inicial no eixo y ($y_0$), la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):

$ y = y_0 + \tau g t + \tau ( v_{0y} - g \tau )(1 - e^{- t / \tau })$

(ID 14468)