Storyboard

En el caso del resorte la fuerza es proporcional a la elongación del resorte con lo que las ecuaciones de movimiento son lineales y la frecuencia de la oscilación es independiente de la amplitud. Esto es la clave para lograr generar una oscilación que no dependa se que con el roce con el tiempo la amplitud decrezca. Por ello relojes antiguos usaban resortes (circulares) para generar oscilaciones estables para medir el tiempo transcurrido.

>Modelo

ID:(1425, 0)

Iframe

>Top

ID:(15848, 0)

Descripción

>Top

Uno de los sistemas que ilustra es el de un resorte. Este se relaciona con la deformación elástica del material del que está compuesto el resorte. Cuando hablamos de "elástica", nos referimos a una deformación que, al eliminar la tensión aplicada, permite que el sistema recupere completamente su forma original. Se entiende que no sufre una deformación plástica.

Dado que la energía del resorte está dada por

$E=\displaystyle\frac{1}{2}m_i v^2+\displaystyle\frac{1}{2}k x^2$

el período será igual a

$T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m_i}{k}}$

y, por lo tanto, la frecuencia angular es

ID:(15563, 0)

Top

>Top

Parámetros

$x_0$

x_0

Amplitud inicial de la oscilación

m

$k$

k

Constante de Hooke

N/m

$x$

x

Elongación del resorte

m

$K$

K

Energía cinética total

J

$V$

V

Energía potencial

J

$E$

E

Energía total

J

$\omega$

omega

Frecuencia angular del resorte

rad/s

$m_i$

m_i

Masa inercial

kg

$\pi$

pi

Pi

rad

$v$

v

Velocidad del oscilador

m/s

Variables

$\nu$

nu

Frecuencia

Hz

$p$

p

Momento

kg m/s

$T$

T

Período

s

$t$

t

Tiempo

s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estrategia
• 2D
• 3D

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación: a , luego, seleccione la variable: a

---

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable Dado Calcule Objetivo : Ecuación A utilizar

Ecuaciones

ID:(15851, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La energía total corresponde a la suma de la energía cinética total y la energía potencial:

$E = K + V$

Condiciones

Variables

$K$

Energía cinética total

$J$

5314

$V$

Energía potencial

$J$

4981

$E$

Energía total

$J$

5290

Relación

ID:(3687, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La energía cinética de una masa $m$

puede expresarse en función del momento como

$K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$

Condiciones

Variables

$K$

$K$

Energía cinética total

$J$

5314

$m_i$

Masa inercial

$kg$

6290

$p$

Momento

$kg m/s$

8974

Relación

Desarrollo

Dado que la energía cinética es igual a

$K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$

y el momento es

$p = m_i v$

podemos expresarlo como

$K_t=\displaystyle\frac{1}{2} m_i v^2=\displaystyle\frac{1}{2} m_i \left(\displaystyle\frac{p}{m_i}\right)^2=\displaystyle\frac{p^2}{2m_i}$

es decir,

$K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$

ID:(4425, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso elástico (resorte) la fuerza es



la energía

se puede mostrar que en este caso es

$V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$

Condiciones

Variables

$k$

Constante de Hooke

$N/m$

5311

$x$

Elongación del resorte

$m$

5313

$V$

Energía potencial

$J$

4981

Relación

Desarrollo

En el caso elástico (resorte) la fuerza es



con k la constante del resorte y x la elongación/compresión del resorte. La variación de la energía potencial es

$dW = \vec{F} \cdot d\vec{s}$

\\n\\nLa diferencia\\n\\n

$\Delta x = x_2 - x_1$

\\n\\ncorresponde al camino recorrido por lo que\\n\\n

$\Delta W=k,x,\Delta x=k(x_2-x_1)\displaystyle\frac{(x_1+x_2)}{2}=\displaystyle\frac{k}{2}(x_2^2-x_1^2)$

y con ello la energía potencial elástica es

$V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$

ID:(3246, 1)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso elástico (resorte) la fuerza es



la energía

se puede mostrar que en este caso es

$E =\displaystyle\frac{1}{2} k x_0 ^2$

$V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$

Condiciones

Variables

$k$

Constante de Hooke

$N/m$

5311

$x$

$x_0$

Amplitud inicial de la oscilación

$m$

9961

$V$

$E$

Energía total

$J$

5290

Relación

Desarrollo

En el caso elástico (resorte) la fuerza es



con k la constante del resorte y x la elongación/compresión del resorte. La variación de la energía potencial es

$dW = \vec{F} \cdot d\vec{s}$

\\n\\nLa diferencia\\n\\n

$\Delta x = x_2 - x_1$

\\n\\ncorresponde al camino recorrido por lo que\\n\\n

$\Delta W=k,x,\Delta x=k(x_2-x_1)\displaystyle\frac{(x_1+x_2)}{2}=\displaystyle\frac{k}{2}(x_2^2-x_1^2)$

y con ello la energía potencial elástica es

$V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$

ID:(3246, 2)

Ecuación

>Top, >Modelo

El producto de la constante de Hooke ($k$) y la masa inercial ($m_i$) se denomina la frecuencia angular del resorte ($\omega$) y se define como:

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$

Condiciones

Variables

$k$

Constante de Hooke

$N/m$

5311

$\omega_0$

Frecuencia angular del resorte

$rad/s$

9798

$m_i$

Masa inercial

$kg$

6290

Relación

ID:(1242, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El momento ($p$) se calcula a partir de la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$) mediante

$p = m_i v$

Condiciones

Variables

$m_i$

Masa inercial

$kg$

6290

$p$

Momento

$kg m/s$

8974

$v$

$v$

Velocidad del oscilador

$m/s$

9965

Relación

ID:(10283, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Como la oscilación cumple las leyes físicas se puede hacer uso del hecho que el area debajo de la curva velocidad vs tiempo el camino recorrido para determinar el perido. Como la velocidad es\\n\\n

$\displaystyle\int_0^{T/2}v(t)dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\int_0^{T/2}\cos \displaystyle\frac{2\pi t}{T}dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\frac{T}{\pi}$

\\n\\ny el camino entre un mínimo a un máximo de una elongación, lo que ocurre entre el tiempo 0 y T/2 es igual a\\n\\n

$x_{max}-x_{min}=2\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{k}}$

se tiene que

$T =2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m_i }{ k }}$

Condiciones

Variables

$k$

Constante de Hooke

$N/m$

5311

$m_i$

Masa inercial

$kg$

6290

$T$

Período

$s$

5078

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

Relación

ID:(7106, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La frecuencia ($\nu$) representa la cantidad de oscilaciones que ocurren en un segundo. Mientras tanto, la período ($T$) es el tiempo que tarda una sola oscilación. Por lo tanto, el número de oscilaciones por segundo es:

$\nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

Condiciones

Variables

$\nu$

Frecuencia

$Hz$

5077

$T$

Período

$s$

5078

Relación

La frecuencia se expresa en Hertz (Hz).

ID:(4427, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La frecuencia angular ($\omega$) es con la período ($T$) igual a

$\omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

Condiciones

Variables

$\omega$

$\omega$

Frecuencia angular del resorte

$rad/s$

9798

$T$

Período

$s$

5078

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

Relación

ID:(12335, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Como la frecuencia angular es con frecuencia angular $rad/s$, período $s$ y pi $rad$ igual a

y la frecuencia con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a

se tiene que con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a

$\omega = 2 \pi \nu$

Condiciones

Variables

$\nu$

Frecuencia

$Hz$

5077

$\omega$

$\omega$

Frecuencia angular del resorte

$rad/s$

9798

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

Relación

ID:(12338, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la descripción de la oscilación usando

la parte real corresponde a la evolución temporal de la amplitud

$x = x_0 \cos \omega t$

$x = x_0 \cos \omega_0 t$

Condiciones

Variables

$x$

$x$

Elongación del resorte

$m$

5313

$x_0$

Amplitud inicial de la oscilación

$m$

9961

$\omega_0$

$\omega$

Frecuencia angular del resorte

$rad/s$

9798

$t$

Tiempo

$s$

5264

Relación

ID:(14074, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Al obtener la parte real de la derivada del número complejo que representa la oscilación

cuya parte real se refiere a la velocidad

$v = - x_0 \omega \sin \omega t$

$v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t$

Condiciones

Variables

$x_0$

Amplitud inicial de la oscilación

$m$

9961

$\omega_0$

Frecuencia angular del resorte

$rad/s$

9798

$t$

Tiempo

$s$

5264

$v$

Velocidad del oscilador

$m/s$

9965

Relación

Desarrollo

Utilizando el número complejo

$z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t$

introducido en

$\dot{z} = i \omega_0 z$

obtenemos

$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$

por lo tanto, la velocidad se obtiene como la parte real

$v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t$

ID:(14076, 0)