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Osciladores de un Resorte
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En el caso del resorte la fuerza es proporcional a la elongación del resorte con lo que las ecuaciones de movimiento son lineales y la frecuencia de la oscilación es independiente de la amplitud. Esto es la clave para lograr generar una oscilación que no dependa se que con el roce con el tiempo la amplitud decrezca. Por ello relojes antiguos usaban resortes (circulares) para generar oscilaciones estables para medir el tiempo transcurrido.
ID:(1425, 0)
Oscilaciones con un resorte
Descripción
Uno de los sistemas que ilustra es el de un resorte. Este se relaciona con la deformación elástica del material del que está compuesto el resorte. Cuando hablamos de "elástica", nos referimos a una deformación que, al eliminar la tensión aplicada, permite que el sistema recupere completamente su forma original. Se entiende que no sufre una deformación plástica.
Dado que la energía del resorte está dada por
$E=\displaystyle\frac{1}{2}m_i v^2+\displaystyle\frac{1}{2}k x^2$
el período será igual a
$T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m_i}{k}}$
y, por lo tanto, la frecuencia angular es
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
ID:(15563, 0)
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Cálculos
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, luego, seleccione la variable: 
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Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ E = K + V $
E = K + V
$ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$
K = p ^2/(2 * m_i )
$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$
nu =1/ T
$ \omega = 2 \pi \nu $
omega = 2* pi * nu
$ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$
omega = 2* pi / T
$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$
omega_0 ^2 = k / m_i
$ p = m_i v $
p = m_i * v
$ T =2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m_i }{ k }}$
T =2* pi *sqrt( m_i / k )
$ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $
v = - x_0 * omega_0 *sin( omega_0 * t )
$ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$
V = k * x ^2/2
$ E =\displaystyle\frac{1}{2} k x_0 ^2$
V = k * x ^2/2
$ x = x_0 \cos \omega t $
x = x_0 *cos( omega_0 * t )
ID:(15851, 0)
Energía total
Ecuación
La energía total corresponde a la suma de la energía cinética total y la energía potencial:
| $ E = K + V $ |
ID:(3687, 0)
Energía cinética en función del momento
Ecuación
La energía cinética de una masa $m$
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
puede expresarse en función del momento como
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
Dado que la energía cinética es igual a
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
y el momento es
| $ p = m_i v $ |
podemos expresarlo como
$K_t=\displaystyle\frac{1}{2} m_i v^2=\displaystyle\frac{1}{2} m_i \left(\displaystyle\frac{p}{m_i}\right)^2=\displaystyle\frac{p^2}{2m_i}$
es decir,
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
ID:(4425, 0)
Energía potencial elástica (1)
Ecuación
En el caso elástico (resorte) la fuerza es
la energía
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
se puede mostrar que en este caso es
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
En el caso elástico (resorte) la fuerza es
con
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
\\n\\nLa diferencia\\n\\n
$\Delta x = x_2 - x_1$
\\n\\ncorresponde al camino recorrido por lo que\\n\\n
$\Delta W=k,x,\Delta x=k(x_2-x_1)\displaystyle\frac{(x_1+x_2)}{2}=\displaystyle\frac{k}{2}(x_2^2-x_1^2)$
y con ello la energía potencial elástica es
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
ID:(3246, 1)
Energía potencial elástica (2)
Ecuación
En el caso elástico (resorte) la fuerza es
la energía
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
se puede mostrar que en este caso es
| $ E =\displaystyle\frac{1}{2} k x_0 ^2$ |
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
En el caso elástico (resorte) la fuerza es
con
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
\\n\\nLa diferencia\\n\\n
$\Delta x = x_2 - x_1$
\\n\\ncorresponde al camino recorrido por lo que\\n\\n
$\Delta W=k,x,\Delta x=k(x_2-x_1)\displaystyle\frac{(x_1+x_2)}{2}=\displaystyle\frac{k}{2}(x_2^2-x_1^2)$
y con ello la energía potencial elástica es
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
ID:(3246, 2)
Oscilaciones con un resorte
Ecuación
El producto de la constante de Hooke ($k$) y la masa inercial ($m_i$) se denomina la frecuencia angular del resorte ($\omega$) y se define como:
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
ID:(1242, 0)
Periodo de la oscilación
Ecuación
Como la oscilación cumple las leyes físicas se puede hacer uso del hecho que el area debajo de la curva velocidad vs tiempo el camino recorrido para determinar el perido. Como la velocidad es\\n\\n
$\displaystyle\int_0^{T/2}v(t)dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\int_0^{T/2}\cos \displaystyle\frac{2\pi t}{T}dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\frac{T}{\pi}$
\\n\\ny el camino entre un mínimo a un máximo de una elongación, lo que ocurre entre el tiempo
$x_{max}-x_{min}=2\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{k}}$
se tiene que
| $ T =2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m_i }{ k }}$ |
ID:(7106, 0)
Frecuencia
Ecuación
La frecuencia ($\nu$) representa la cantidad de oscilaciones que ocurren en un segundo. Mientras tanto, la período ($T$) es el tiempo que tarda una sola oscilación. Por lo tanto, el número de oscilaciones por segundo es:
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
La frecuencia se expresa en Hertz (Hz).
ID:(4427, 0)
Frecuencia angular
Ecuación
La frecuencia angular ($\omega$) es con la período ($T$) igual a
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
ID:(12335, 0)
Relación frecuencia angular - frecuencia
Ecuación
Como la frecuencia angular es con frecuencia angular $rad/s$, período $s$ y pi $rad$ igual a
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
y la frecuencia con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
se tiene que con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a
| $ \omega = 2 \pi \nu $ |
ID:(12338, 0)
Amplitud de la oscilación
Ecuación
Con la descripción de la oscilación usando
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
la parte real corresponde a la evolución temporal de la amplitud
| $ x = x_0 \cos \omega t $ |
| $ x = x_0 \cos \omega_0 t $ |
ID:(14074, 0)
Velocidad de la oscilación
Ecuación
Al obtener la parte real de la derivada del número complejo que representa la oscilación
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
cuya parte real se refiere a la velocidad
| $ v = - x_0 \omega \sin \omega t $ |
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
Utilizando el número complejo
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
introducido en
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
obtenemos
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
por lo tanto, la velocidad se obtiene como la parte real
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
ID:(14076, 0)