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Bei der Feder ist die Kraft proportional zur Dehnung der Feder, so dass die Bewegungsgleichungen linear sind und die Frequenz der Schwingung von der Amplitude unabhängig ist. Dies ist der Schlüssel zur Erzeugung einer Schwingung, die nicht davon abhängt, dass die Reibung mit der Zeit abnimmt. Aus diesem Grund verwendeten alte Uhren (kreisförmige) Federn, um stabile Schwingungen zur Messung der verstrichenen Zeit zu erzeugen.

>Modell

ID:(1425, 0)

Iframe

>Top

ID:(15848, 0)

Beschreibung

>Top

Eines der dargestellten Systeme ist das eines Federpendels. Dieses ist mit der elastischen Verformung des Materials verbunden, aus dem die Feder besteht. Wenn wir von "elastischer Verformung" sprechen, meinen wir eine Verformung, die nach Entfernen der aufgebrachten Spannung das System ermöglicht, seine ursprüngliche Form vollständig wiederzuerlangen. Dabei gehen wir davon aus, dass keine plastische Verformung auftritt.

Da die Energie des Federpendels gegeben ist durch

$E=\displaystyle\frac{1}{2}m_i v^2+\displaystyle\frac{1}{2}k x^2$

wird die Schwingungsdauer gleich sein zu

$T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m_i}{k}}$

und somit ist die Winkelgeschwindigkeit

ID:(15563, 0)

Top

>Top

Parameter

$x_0$

x_0

Anfangsamplitude der Schwingung

m

$\omega$

omega

Frecuencia angular del resorte

rad/s

$K$

K

Gesamte kinetische Energie

J

$k$

k

Hookes Konstante

N/m

$v$

v

Oszillatorgeschwindigkeit

m/s

$\pi$

pi

Pi

rad

$V$

V

Potenzielle Energie

J

$E$

E

Totale Energie

J

$m_i$

m_i

Träge Masse

kg

$x$

x

Verlängerung der Feder

m

Variablen

$\nu$

nu

Frequenz

Hz

$p$

p

Moment

kg m/s

$T$

T

Zeit

s

$t$

t

Zeit

s

Berechnungen

• Alternative Methode
• Traditionelle Methode
• Strategie
• 2D
• 3D

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen: zu , dann die Variable auswählen: zu

---

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable Gegeben Berechnen Ziel : Gleichung Zu verwenden

Gleichungen

ID:(15851, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Gesamtenergie entspricht der Summe aus der Gesamtkinetischen Energie und der potenziellen Energie:

$E = K + V$

Bedingungen

Variablen

$K$

Gesamte kinetische Energie

$J$

5314

$V$

Potenzielle Energie

$J$

4981

$E$

Totale Energie

$J$

5290

Beziehung

ID:(3687, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die kinetische Energie einer Masse $m$

kann in Abhängigkeit vom Impuls ausgedrückt werden als

$K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$

Bedingungen

Variablen

$p$

Moment

$kg m/s$

8974

$K$

$K$

Gesamte kinetische Energie

$J$

5314

$m_i$

Träge Masse

$kg$

6290

Beziehung

Entwicklung

Da die kinetische Energie gleich ist

$K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$

und der Impuls

$p = m_i v$

können wir es ausdrücken als

$K_t=\displaystyle\frac{1}{2} m_i v^2=\displaystyle\frac{1}{2} m_i \left(\displaystyle\frac{p}{m_i}\right)^2=\displaystyle\frac{p^2}{2m_i}$

oder

$K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$

ID:(4425, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

En el caso elástico (resorte) la fuerza es



la energía

se puede mostrar que en este caso es

$V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$

Bedingungen

Variablen

$k$

Hookes Konstante

$N/m$

5311

$V$

Potenzielle Energie

$J$

4981

$x$

Verlängerung der Feder

$m$

5313

Beziehung

Entwicklung

En el caso elástico (resorte) la fuerza es



con k la constante del resorte y x la elongación/compresión del resorte. La variación de la energía potencial es

$dW = \vec{F} \cdot d\vec{s}$

\\n\\nLa diferencia\\n\\n

$\Delta x = x_2 - x_1$

\\n\\ncorresponde al camino recorrido por lo que\\n\\n

$\Delta W=k,x,\Delta x=k(x_2-x_1)\displaystyle\frac{(x_1+x_2)}{2}=\displaystyle\frac{k}{2}(x_2^2-x_1^2)$

y con ello la energía potencial elástica es

$V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$

ID:(3246, 1)

Gleichung

>Top, >Modell

En el caso elástico (resorte) la fuerza es



la energía

se puede mostrar que en este caso es

$E =\displaystyle\frac{1}{2} k x_0 ^2$

$V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$

Bedingungen

Variablen

$k$

Hookes Konstante

$N/m$

5311

$V$

$E$

Totale Energie

$J$

5290

$x$

$x_0$

Anfangsamplitude der Schwingung

$m$

9961

Beziehung

Entwicklung

En el caso elástico (resorte) la fuerza es



con k la constante del resorte y x la elongación/compresión del resorte. La variación de la energía potencial es

$dW = \vec{F} \cdot d\vec{s}$

\\n\\nLa diferencia\\n\\n

$\Delta x = x_2 - x_1$

\\n\\ncorresponde al camino recorrido por lo que\\n\\n

$\Delta W=k,x,\Delta x=k(x_2-x_1)\displaystyle\frac{(x_1+x_2)}{2}=\displaystyle\frac{k}{2}(x_2^2-x_1^2)$

y con ello la energía potencial elástica es

$V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$

ID:(3246, 2)

Gleichung

>Top, >Modell

Das Produkt von die Hookes Konstante ($k$) und die Träge Masse ($m_i$) wird als die Frecuencia angular del resorte ($\omega$) bezeichnet und wie folgt definiert:

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$

Bedingungen

Variablen

$\omega_0$

Frecuencia angular del resorte

$rad/s$

9798

$k$

Hookes Konstante

$N/m$

5311

$m_i$

Träge Masse

$kg$

6290

Beziehung

ID:(1242, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Moment ($p$) wird aus die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) berechnet durch

$p = m_i v$

Bedingungen

Variablen

$v$

$v$

Oszillatorgeschwindigkeit

$m/s$

9965

$p$

Moment

$kg m/s$

8974

$m_i$

Träge Masse

$kg$

6290

Beziehung

ID:(10283, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Como la oscilación cumple las leyes físicas se puede hacer uso del hecho que el area debajo de la curva velocidad vs tiempo el camino recorrido para determinar el perido. Como la velocidad es\\n\\n

$\displaystyle\int_0^{T/2}v(t)dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\int_0^{T/2}\cos \displaystyle\frac{2\pi t}{T}dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\frac{T}{\pi}$

\\n\\ny el camino entre un mínimo a un máximo de una elongación, lo que ocurre entre el tiempo 0 y T/2 es igual a\\n\\n

$x_{max}-x_{min}=2\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{k}}$

se tiene que

$T =2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m_i }{ k }}$

Bedingungen

Variablen

$k$

Hookes Konstante

$N/m$

5311

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$m_i$

Träge Masse

$kg$

6290

$T$

Zeit

$s$

5078

Beziehung

ID:(7106, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Frequenz ($\nu$) entspricht der Anzahl der Schwingungen, die innerhalb einer Sekunde auftreten. Die Zeit ($T$) repräsentiert die Zeit, die für eine einzelne Schwingung benötigt wird. Daher ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde:

$\nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

Bedingungen

Variablen

$\nu$

Frequenz

$Hz$

5077

$T$

Zeit

$s$

5078

Beziehung

Die Frequenz wird in Hertz (Hz) angegeben.

ID:(4427, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Winkelfrequenz ($\omega$) ist mit die Zeit ($T$) gleich

$\omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

Bedingungen

Variablen

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$\omega$

$\omega$

Frecuencia angular del resorte

$rad/s$

9798

$T$

Zeit

$s$

5078

Beziehung

ID:(12335, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Como la frecuencia angular es con pi $rad$, winkelfrequenz $rad/s$ und zeit $s$ igual a

y la frecuencia con frequenz $Hz$ und zeit $s$ igual a

se tiene que con frequenz $Hz$ und zeit $s$ igual a

$\omega = 2 \pi \nu$

Bedingungen

Variablen

$\nu$

Frequenz

$Hz$

5077

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$\omega$

$\omega$

Frecuencia angular del resorte

$rad/s$

9798

Beziehung

ID:(12338, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Mit der Beschreibung der Schwingung mittels

entspricht der Realteil der zeitlichen Entwicklung der Amplitude

$x = x_0 \cos \omega t$

$x = x_0 \cos \omega_0 t$

Bedingungen

Variablen

$x_0$

Anfangsamplitude der Schwingung

$m$

9961

$x$

$x$

Verlängerung der Feder

$m$

5313

$\omega_0$

$\omega$

Frecuencia angular del resorte

$rad/s$

9798

$t$

Zeit

$s$

5264

Beziehung

ID:(14074, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir den Realteil der Ableitung der komplexen Zahl extrahieren, die die Schwingung repräsentiert

deren Realteil der Geschwindigkeit entspricht

$v = - x_0 \omega \sin \omega t$

$v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t$

Bedingungen

Variablen

$x_0$

Anfangsamplitude der Schwingung

$m$

9961

$\omega_0$

Frecuencia angular del resorte

$rad/s$

9798

$v$

Oszillatorgeschwindigkeit

$m/s$

9965

$t$

Zeit

$s$

5264

Beziehung

Entwicklung

Mit der komplexen Zahl

$z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t$

eingeführt in

$\dot{z} = i \omega_0 z$

erhalten wir

$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$

daher wird die Geschwindigkeit als der Realteil erhalten

$v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t$

ID:(14076, 0)