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Osciladores

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Existen distintos tipos de osciladores siendo los mas discutidos el cerrado por un resorte y el péndulo. Ambos son relevantes para estudiar como caminamos.

Por un lado esta el comportamiento similar a un resorte que son capaces de mostrar los músculos. Por otro lado, al desplazarnos, existen sistemas como los brazos que realizan un trabajo compensatorio oscilando con la misma frecuencia de nuestros pasos.

En el caso del péndulo existen dos tipos, el matemático que considera la oscilación de una masa puntual y el físico que considera la forma del objeto como tal.

>Modelo

ID:(51, 0)



Conservación de energía en el caso de un resorte

Ecuación

>Top, >Modelo


En el caso de un resorte la energía total E_k, que se conserva, esta conformada por la energía cinética

$ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$



donde m_i es la masa y v la velocidad, y la energía potencial elástica del resorte

$ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$

\\n\\ndonde k es la constante del resorte y x la elongación, de la forma\\n\\n

$E_k=\displaystyle\frac{1}{2}m_iv^2+\displaystyle\frac{1}{2}kx^2$



Si uno reescribe esta expresión como

$\displaystyle\frac{ v ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}+\displaystyle\frac{ x ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}=1$

$k$
Constante de Hooke
$N/m$
5311
$E$
Energía del resorte
$J$
9787
$m_i$
Masa inercial
$kg$
6290
$x$
Posición (vector)
$m$
9773
$v$
Velocidad del resorte
$m/s$
9769

\\n\\nse puede dar cuenta que corresponde a una elipse en el espacio velocidad v y elongación x, con los semiejes\\n\\n

$a=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{k}}=x_0$

, y\\n\\n

$b=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{m_i}}=v_0$

.

Los semiejes corresponde a la vez a la velocidad v_0 y amplitud x_0 máximas respectivamente.

ID:(7101, 0)



Representación de la elipse

Descripción

>Top


En el espacio de fase la oscilación se puede representar por una elipse

\\n \\nque en forma matemática se escribe como\\n\\n

$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1$

\\n\\nde semiejes a y b se puede representar mediante un parámetro u que va de 0 a 2\pi mediante dos funciones trigonométricas\\n\\n

$x=a\cos u$

\\n\\ny\\n\\n

$y=b\sin u$

ID:(7105, 0)



Representación de la amplitud

Ecuación

>Top, >Modelo


En el caso de la amplitud, que corresponde a nuestra coordenada x se tiene que el semieje es\\n\\n

$a=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{k}}$

\\n\\ny el tiempo se escala como\\n\\n

$u=\displaystyle\frac{2\pi t}{T}$



por lo que la amplitud será con igual a

$ x =\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}\cos \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$

$k$
Constante de Hooke
$N/m$
5311
$E$
Energía del resorte
$J$
9787
$T$
Período
$s$
5078
$\pi$
Pi
3.1415927
$rad$
5057
$x$
Posición (vector)
$m$
9773
$t$
Tiempo
$s$
5264

ID:(7102, 0)



Representación de la velocidad

Ecuación

>Top, >Modelo


En el caso de la velocidad, que corresponde a nuestra coordenada y se tiene que el semieje es\\n\\n

$b=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}$

\\n\\ny el tiempo se escala como\\n\\n

$u=\displaystyle\frac{2\pi t}{T}$



por lo que la velocidad será igual a

$ v =-\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}\sin \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$

$E$
Energía del resorte
$J$
9787
$m_i$
Masa inercial
$kg$
6290
$T$
Período
$s$
5078
$\pi$
Pi
3.1415927
$rad$
5057
$t$
Tiempo
$s$
5264
$v$
Velocidad
$m/s$
6029

ID:(7104, 0)



Periodo de la oscilación

Ecuación

>Top, >Modelo


Como la oscilación cumple las leyes físicas se puede hacer uso del hecho que el area debajo de la curva velocidad vs tiempo el camino recorrido para determinar el perido. Como la velocidad es\\n\\n

$\displaystyle\int_0^{T/2}v(t)dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\int_0^{T/2}\cos \displaystyle\frac{2\pi t}{T}dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\frac{T}{\pi}$

\\n\\ny el camino entre un mínimo a un máximo de una elongación, lo que ocurre entre el tiempo 0 y T/2 es igual a\\n\\n

$x_{max}-x_{min}=2\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{k}}$



se tiene que

$ T =2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m_i }{ k }}$

$k$
Constante de Hooke
$N/m$
5311
$m_i$
Masa inercial
$kg$
6290
$T$
Período
$s$
5078
$\pi$
Pi
3.1415927
$rad$
5057

ID:(7106, 0)



Frecuencia

Ecuación

>Top, >Modelo


La frecuencia ($\nu$) representa la cantidad de oscilaciones que ocurren en un segundo. Mientras tanto, la período ($T$) es el tiempo que tarda una sola oscilación. Por lo tanto, el número de oscilaciones por segundo es:

$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

$\nu$
Frecuencia
$Hz$
5077
$T$
Período
$s$
5078

La frecuencia se expresa en Hertz (Hz).

ID:(4427, 0)



Relación frecuencia angular - frecuencia

Ecuación

>Top, >Modelo


Como la frecuencia angular es con igual a

$ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$



y la frecuencia con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a

$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$



se tiene que con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a

$ \omega = 2 \pi \nu $

$\nu$
Frecuencia
$Hz$
5077
$\omega$
Frecuencia angular
$rad/s$
9010
$\pi$
Pi
3.1415927
$rad$
5057

ID:(12338, 0)