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Pêndulo físico

Storyboard

No caso de um pêndulo composto com uma massa real, a energia potencial é gerada ao elevar o centro de massa contra o campo gravitacional à medida que o pêndulo se desvia por um determinado ângulo.

>Modelo

ID:(1421, 0)

Mecanismos

Iframe

>Top

Conhecimento

Código

Conceito

Mecanismos

ID:(15850, 0)

Oscilações com um pêndulo físico

Descrição

>Top

Ao contrário do pêndulo matemático, o pêndulo físico trabalha com uma massa real, não puntual. Enquanto o comprimento $l$ é definido como a distância entre o eixo e o centro de massa do corpo, a energia potencial de ambos os pêndulos coincide. No entanto, a energia cinética não pode mais ser aproximada usando expressões que dependem apenas de $l$ e $m$ ; é necessário conhecer o momento de inércia real do corpo.

ID:(7097, 0)

Pêndulo físico

Descrição

>Top

Diferentemente do pêndulo matemático, o pêndulo físico trabalha com uma massa real, não uma massa pontual. À medida que definimos o comprimento $l$ como a distância entre o eixo e o centro de massa do corpo, a energia potencial de ambos os pêndulos coincide. No entanto, a energia cinética não pode mais ser aproximada pela expressão que depende de $l$ e $m$ ; em vez disso, ela deve incluir o momento de inércia real do corpo.

ID:(1188, 0)

Modelo

Top

>Top

Parâmetros

Símbolo

Texto

Variáve

Valor

Unidades

Calcular

Valeur MKS

Unidades MKS

$g$

Aceleração gravitacional

m/s^2

$\theta$

theta

ângulo de balanço

rad

$\theta_0$

theta_0

ângulo inicial

rad

$L$

Comprimento do pêndulo

$K_r$

K_r

Energia cinética rotacional

$V$

Energia potencial do pêndulo, para pequenos ângulos

$E$

Energia total

$\omega_0$

omega_0

Frequência angular do pêndulo físico

rad/s

$m_g$

m_g

Massa gravitacional

$I$

Momento de inércia do eixo que não passa pelo CM

kg m^2

$\pi$

rad

Variáveis

Símbolo

Texto

Variáve

Valor

Unidades

Calcular

Valeur MKS

Unidades MKS

$\nu$

Frequência

$T$

Período

$t$

Tempo

$\omega$

omega

Velocidade angular

rad/s

Cálculos

Equação

Primeiro, selecione a equação:

para

, depois, selecione a variável:

para

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve

Dado

Calcular

Objetivo :

Equação

A ser usado

Equações

Equação

$E = K_r + V$

E = K + V

$K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$

K_r = I * omega ^2/2

$\nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

nu =1/ T

$\omega_0 = 2 \pi \nu$

omega = 2* pi * nu

$\omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

omega = 2* pi / T

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ m g L }{ I }$

omega_0 ^2 = m * g * L / I

$\omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t$

v = - x_0 * omega_0 *sin( omega_0 * t )

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

V = m_g * g * L * theta ^2/2

$E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$

V = m_g * g * L * theta ^2/2

$\theta = \theta_0 \cos \omega_0 t$

x = x_0 *cos( omega_0 * t )

ID:(15853, 0)

Energia total

Equação

>Top, >Modelo

A energia total corresponde à soma da energia cinética total e da energia potencial:

$E = K_r + V$

$E = K + V$

$K$

$K_r$

Energia cinética rotacional

$J$

5289

$V$

Energia potencial do pêndulo, para pequenos ângulos

$J$

6285

$E$

Energia total

$J$

5290

ID:(3687, 0)

Energia cinética rotacional

Equação

>Top, >Modelo

No caso em que se estuda a translação, a definição de energia

$\Delta W = T \Delta\theta$

é aplicada à segunda lei de Newton

$T = I \alpha$

resultando na expressão

$K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$

$K_r$

Energia cinética rotacional

$J$

5289

$I$

Momento de inércia do eixo que não passa pelo CM

$kg m^2$

5315

$\omega$

Velocidade angular

$rad/s$

6068

A energia necessária para que um objeto passe da velocidade angular $\omega_1$ para a velocidade angular $\omega_2$ pode ser calculada usando a definição

$\Delta W = T \Delta\theta$

Com a segunda lei de Newton, podemos reescrever essa expressão como

$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$

Usando a definição de velocidade angular

$\bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

obtemos

$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$

A diferença entre as velocidades angulares é

$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$

Por outro lado, a própria velocidade angular pode ser aproximada pela velocidade angular média

$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$

Usando ambas as expressões, obtemos a equação

$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$

Assim, a energia varia de acordo com

$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Podemos usar isso para definir a energia cinética

$K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$

ID:(3255, 0)

Energia potencial de um pêndulo matemático para ângulos pequenos (1)

Equação

>Top, >Modelo

A energia potencial gravitacional de um pêndulo é

$U = m g L (1-\cos \theta )$

que pode ser aproximada para ângulos pequenos como:

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\theta$

ângulo de balanço

$rad$

6283

$L$

Comprimento do pêndulo

$m$

6282

$V$

Energia potencial do pêndulo, para pequenos ângulos

$J$

6285

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

A energia potencial gravitacional de um pêndulo com massa m, suspenso por um fio de comprimento L e desviado por um ângulo \theta é dada por

$U = m g L (1-\cos \theta )$

onde g é a aceleração devida à gravidade.

Para ângulos pequenos, a função cosseno pode ser aproximada pela expansão em série de Taylor até a segunda ordem

$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$

Essa aproximação resulta em uma simplificação da energia potencial para

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

É importante observar que o ângulo deve estar em radianos.

ID:(4514, 1)

Energia potencial de um pêndulo matemático para ângulos pequenos (2)

Equação

>Top, >Modelo

A energia potencial gravitacional de um pêndulo é

$U = m g L (1-\cos \theta )$

que pode ser aproximada para ângulos pequenos como:

$E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\theta$

$\theta_0$

ângulo inicial

$rad$

5296

$L$

Comprimento do pêndulo

$m$

6282

$V$

$E$

Energia total

$J$

5290

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

A energia potencial gravitacional de um pêndulo com massa m, suspenso por um fio de comprimento L e desviado por um ângulo \theta é dada por

$U = m g L (1-\cos \theta )$

onde g é a aceleração devida à gravidade.

Para ângulos pequenos, a função cosseno pode ser aproximada pela expansão em série de Taylor até a segunda ordem

$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$

Essa aproximação resulta em uma simplificação da energia potencial para

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

É importante observar que o ângulo deve estar em radianos.

ID:(4514, 2)

Frequência angular para um pêndulo físico

Equação

>Top, >Modelo

No caso do pêndulo físico:

A energia é dada por:

$E=\displaystyle\frac{1}{2}I\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$

Consequentemente, a frequência angular é:

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ m g L }{ I }$

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$L$

Comprimento do pêndulo

$m$

6282

$\omega_0$

Frequência angular do pêndulo físico

$rad/s$

6288

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

$I$

Momento de inércia do eixo que não passa pelo CM

$kg m^2$

5315

Dado que a energia cinética do pêndulo físico com momento de inércia $I$ e velocidade angular $\omega$ é representada por

$K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$

e a energia potencial gravitacional é dada por

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

onde $m$ é a massa, $l$ é o comprimento da corda, $\theta$ é o ângulo e $g$ é a aceleração angular, a equação de energia pode ser expressa como

$E=\displaystyle\frac{1}{2}I\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$

Como o período é definido como

$T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{I}{mgl}}$

podemos determinar a frequência angular da seguinte forma:

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ m g L }{ I }$

ID:(4517, 0)

Frequência angular

Equação

>Top, >Modelo

La frequência angular ( $\omega$ ) é com la período ( $T$ ) igual a

$\omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

$\omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

$\omega$

$\omega_0$

Frequência angular do pêndulo físico

$rad/s$

6288

$T$

Período

$s$

5078

$\pi$

3.1415927

$rad$

5057

ID:(12335, 0)

Frequência

Equação

>Top, >Modelo

La frequência ( $\nu$ ) corresponde ao número de vezes que ocorre uma oscilação em um segundo. Já La período ( $T$ ) é o tempo que uma única oscilação leva. Portanto, o número de oscilações por segundo é:

$\nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

$\nu$

Frequência

$Hz$

5077

$T$

Período

$s$

5078

A frequência é indicada em Hertz (Hz).

ID:(4427, 0)

Amplitude de oscilação

Equação

>Top, >Modelo

Com a descrição da oscilação usando

$z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t$

a parte real corresponde à evolução temporal da amplitude

$\theta = \theta_0 \cos \omega_0 t$

$x = x_0 \cos \omega_0 t$

$x$

$\theta$

ângulo de balanço

$m$

6283

$x_0$

$\theta_0$

ângulo inicial

$m$

5296

$\omega_0$

Frequência angular do pêndulo físico

$rad/s$

6288

$t$

Tempo

$s$

5264

ID:(14074, 0)

Velocidade de oscilação

Equação

>Top, >Modelo

Ao obtermos a parte real da derivada do número complexo que representa a oscilação

$\dot{z} = i \omega_0 z$

cuja parte real corresponde à velocidade

$\omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t$

$v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t$

$x_0$

$\theta_0$

ângulo inicial

$m$

5296

$\omega_0$

Frequência angular do pêndulo físico

$rad/s$

6288

$t$

Tempo

$s$

5264

$v$

$\omega$

Velocidade angular

$m/s$

6068

Usando o número complexo

$z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t$

introduzido em

$\dot{z} = i \omega_0 z$

obtemos

$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$

assim, a velocidade é obtida como a parte real

$v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t$

ID:(14076, 0)