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>Modelo

ID:(1659, 0)

Descrição

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Uma técnica para analisar o movimento é representar o momento em função da posição de um corpo em movimento. Essa representação permite estudar como o momento evolui de acordo com a posição alcançada.

A representação do movimento no espaço momento-posição $p-q$ permite analisar a evolução do deslocamento, mostrando extremos na posição e no momento.

No caso de um movimento periódico ou quando consideramos o caminho de ida e volta, isso pode ser representado como:

Além disso, podemos observar que a área circundada pela curva

$\displaystyle\int_{q_1}^{q_2} p dq = \displaystyle\int_{v_1}^{v_2} m v dv = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2^2 - \displaystyle\frac{1}{2} m v_1^2$

corresponde à energia do sistema.

A área circundando a curva no diagrama momento-posição $p-q$ corresponde à energia do sistema.

ID:(1240, 0)

Equação

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A energia cinética de uma massa $m$

pode ser escrita em termos do momento como

$K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$

Condições

Variáveis

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

$p$

Momento

$kg m/s$

8974

Relação

Desenvolvimento

Como a energia cinética é igual a

$K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$

e o momento é

$p = m_i v$

podemos expressá-la como

$K_t=\displaystyle\frac{1}{2} m_i v^2=\displaystyle\frac{1}{2} m_i \left(\displaystyle\frac{p}{m_i}\right)^2=\displaystyle\frac{p^2}{2m_i}$

ou seja

$K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$

ID:(4425, 0)

Equação

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Se isolarmos a energia em relação ao momento, obtemos as expressões para o momento positivo e negativo:

$p =\pm\sqrt{2 m ( E - U )}$

Condições

Variáveis

$V$

Energia potencial

$J$

4981

$E$

Energia total

$J$

5290

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

Relação

Desenvolvimento

Como geralmente a energia é a soma da energia cinética

$K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$

e da energia potencial U, podemos expressá-la da seguinte forma:

$E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+U$

Quando resolvemos para o momento, obtemos a seguinte expressão:

$p =\pm\sqrt{2 m ( E - U )}$

ID:(4429, 0)

Equação

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Para o caso de uma partícula no campo gravitacional da Terra, a energia em função do momento $p$ e posição $q$ é

$E =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+ m_g g q$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$E$

Energia de um sistema com aceleração gravitacional

$J$

9794

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

$p$

Momento

$kg m/s$

8974

Relação

Desenvolvimento

Como a energia cinética em função do momento é

$K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$

e a energia potencial em função da altura é

$V = m_g g z$

portanto, se expressarmos a altura como a posição

$h = q$

obtemos

$E =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+ m_g g q$

A equação pode ser escrita de forma adimensional como

$y=\pm\sqrt{1-x}$

com

$x=\displaystyle\frac{q}{mg/E}$

, e

$y=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}$

que é representada abaixo

ID:(4426, 0)

Equação

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Para o caso de uma massa oscilando com uma mola, a energia em função do momento $p$ e da posição $q$ é

$E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$

Condições

Variáveis

$k$

Constante de Hooke

$N/m$

5311

$E_k$

Energia de um sistema de mola

$J$

9793

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

$p$

Momento

$kg m/s$

8974

$s$

Posição (vector)

$m$

8691

Relação

Desenvolvimento

A energia cinética em função do momento é

$K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$

e a energia potencial em função da altura é



portanto, se expressarmos a elongação como a posição

$x = q$

obtemos

$E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$

A equação pode ser escrita de forma adimensional como

$1=y^2 + x^2$

com

$x=\displaystyle\frac{q}{\sqrt{2E/k}}$

, e

$y=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2m_iE}}$

quando resolvido para y, fica como

$y=\pm\sqrt{1-x^2}$

Sua representação no plano xy é mostrada abaixo

ID:(1187, 0)

Equação

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Para o caso de uma massa no campo gravitacional, a energia em função do momento p e da posição q é dada por:

$E_G = \displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i } - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ q }$

Condições

Variáveis

$G$

Constante gravitacional

6.673e-11

$m^3/kg s^2$

8759

$E_G$

Energia de um sistema com gravidade geral

$J$

9795

$M$

Massa do corpo celeste

$kg$

8756

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

$p$

Momento

$kg m/s$

8974

$\vec{s}$

Posição (vector)

$m$

8691

Relação

Desenvolvimento

Como a energia cinética é

$K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$

e a energia potencial é

$V = - \displaystyle\frac{ G m M }{ r }$

podemos expressar a energia em função do raio representado pela variável $q$ da seguinte forma

$E_G = \displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i } - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ q }$

No caso em que a energia cinética supera a energia potencial no raio inicial e a energia é positiva (indicando que o objeto pode escapar do planeta), a equação pode ser escrita como

$1 = \left(\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}\right)^2 - \displaystyle\frac{GmM}{Eq}$

ou seja,

$y=\pm\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}$

com

$x=\displaystyle\frac{q}{GmM/E}$

, e

$y=\displaystyle\frac{p}{2mE}$

No caso em que a energia cinética não supera a energia potencial (indicando que o objeto não pode escapar da atração do planeta), a energia é negativa e a expressão é escrita como

$1 = -\left(\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}\right)^2 + \displaystyle\frac{GmM}{Eq}$

onde $E$ é o valor absoluto da energia, e com as definições de $x$ e $y", temos

$y=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}-1}$

A equação pode ser escrita de forma adimensional para o caso de energia positiva, como as curvas azul e verde:

$y=\pm\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}$

E para o caso de energia negativa, usando as curvas vermelha e violeta:

$y=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}-1}$

Onde:

$x=\displaystyle\frac{q}{GmM/E}$

, e

$y=\displaystyle\frac{p}{2mE}$

Tudo isso é representado abaixo:

ID:(1185, 0)

0

Video

Vídeo: Espaço de Fase