Oscillations

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There are different types of oscillators, the most discussed being closed by a spring and the pendulum. Both are relevant to study how we walk.

On the one hand there is the behavior similar to a spring that the muscles are capable of showing. On the other hand, when moving, there are systems such as arms that perform compensatory work oscillating with the same frequency of our steps.

In the case of the pendulum there are two types, the mathematician who considers the oscillation of a point mass and the physicist who considers the shape of the object as such.

>Model

ID:(51, 0)



Conservación en el caso de un Resorte

Equation

>Top, >Model


En el caso de un resorte la energía total E_k, que se conserva, esta conformada por la energía cinética

$ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$



donde m_i es la masa y v la velocidad, y la energía potencial elástica del resorte

$ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$

\\n\\ndonde k es la constante del resorte y x la elongación, de la forma\\n\\n

$E_k=\displaystyle\frac{1}{2}m_iv^2+\displaystyle\frac{1}{2}kx^2$



Si uno reescribe esta expresión como

$\displaystyle\frac{ v ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}+\displaystyle\frac{ x ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}=1$

$E$
Energía del resorte
$J$
9787
$k$
Hooke Constant
$N/m$
5311
$m_i$
Inertial Mass
$kg$
6290
$x$
Posición (vector)
$m$
9773
$v$
Velocidad del resorte
$m/s$
9769

\\n\\nse puede dar cuenta que corresponde a una elipse en el espacio velocidad v y elongación x, con los semiejes\\n\\n

$a=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{k}}=x_0$

, y\\n\\n

$b=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{m_i}}=v_0$

.

Los semiejes corresponde a la vez a la velocidad v_0 y amplitud x_0 máximas respectivamente.

ID:(7101, 0)



Representación de la Elipse

Description

>Top


En el espacio de fase la oscilación se puede representar por una elipse

\\n \\nque en forma matemática se escribe como\\n\\n

$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1$

\\n\\nde semiejes a y b se puede representar mediante un parámetro u que va de 0 a 2\pi mediante dos funciones trigonométricas\\n\\n

$x=a\cos u$

\\n\\ny\\n\\n

$y=b\sin u$

ID:(7105, 0)



Representación de la Amplitud

Equation

>Top, >Model


En el caso de la amplitud, que corresponde a nuestra coordenada x se tiene que el semieje es\\n\\n

$a=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{k}}$

\\n\\ny el tiempo se escala como\\n\\n

$u=\displaystyle\frac{2\pi t}{T}$



por lo que la amplitud será con igual a

$ x =\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}\cos \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$

$E$
Energía del resorte
$J$
9787
$k$
Hooke Constant
$N/m$
5311
$T$
Period
$s$
5078
$\pi$
Pi
3.1415927
$rad$
5057
$x$
Posición (vector)
$m$
9773
$t$
Time
$s$
5264

ID:(7102, 0)



Representación de la Velocidad

Equation

>Top, >Model


En el caso de la velocidad, que corresponde a nuestra coordenada y se tiene que el semieje es\\n\\n

$b=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}$

\\n\\ny el tiempo se escala como\\n\\n

$u=\displaystyle\frac{2\pi t}{T}$



por lo que la velocidad será igual a

$ v =-\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}\sin \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$

$E$
Energía del resorte
$J$
9787
$m_i$
Inertial Mass
$kg$
6290
$T$
Period
$s$
5078
$\pi$
Pi
3.1415927
$rad$
5057
$v$
Speed
$m/s$
6029
$t$
Time
$s$
5264

ID:(7104, 0)



Periodo de la Oscilación

Equation

>Top, >Model


Como la oscilación cumple las leyes físicas se puede hacer uso del hecho que el area debajo de la curva velocidad vs tiempo el camino recorrido para determinar el perido. Como la velocidad es\\n\\n

$\displaystyle\int_0^{T/2}v(t)dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\int_0^{T/2}\cos \displaystyle\frac{2\pi t}{T}dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\frac{T}{\pi}$

\\n\\ny el camino entre un mínimo a un máximo de una elongación, lo que ocurre entre el tiempo 0 y T/2 es igual a\\n\\n

$x_{max}-x_{min}=2\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{k}}$



se tiene que

$ T =2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m_i }{ k }}$

$k$
Hooke Constant
$N/m$
5311
$m_i$
Inertial Mass
$kg$
6290
$T$
Period
$s$
5078
$\pi$
Pi
3.1415927
$rad$
5057

ID:(7106, 0)



Frequency

Equation

>Top, >Model


The frequency ($\nu$) corresponds to the number of times an oscillation occurs within one second. The period ($T$) represents the time it takes for one oscillation to occur. Therefore, the number of oscillations per second is:

$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

$\nu$
Frequency
$Hz$
5077
$T$
Period
$s$
5078

Frequency is indicated in Hertz (Hz).

ID:(4427, 0)



Relación frecuencia angular - frecuencia

Equation

>Top, >Model


Como la frecuencia angular es con igual a

$ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$



y la frecuencia con frequency $Hz$ and period $s$ igual a

$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$



se tiene que con frequency $Hz$ and period $s$ igual a

$ \omega = 2 \pi \nu $

$\omega$
Angular frequency
$rad/s$
9010
$\nu$
Frequency
$Hz$
5077
$\pi$
Pi
3.1415927
$rad$
5057

ID:(12338, 0)