Utilizador:
Pêndulo matemático
Storyboard 
No caso de um pêndulo com massa pontual, a energia potencial é gerada ao elevar a massa contra o campo gravitacional à medida que o pêndulo se desvia por um determinado ângulo.
ID:(1420, 0)
Oscilações com um pêndulo matemático
Descrição
Um pêndulo é descrito como uma massa pontual $m$ pendurada por um fio que está ligado a um ponto de pivô e tem um comprimento $l$. É chamado de pêndulo matemático porque é uma abstração de um pêndulo físico, com a diferença de que sua massa é tratada como uma massa pontual.
ID:(7098, 0)
Pêndulo matemático
Descrição
Um pêndulo é definido por uma massa pontual $m$ pendurada em um fio preso a um pino de comprimento $l$. Ele é chamado de pêndulo matemático porque é uma abstração de um pêndulo físico, no qual a massa é considerada concentrada em um único ponto.
ID:(1180, 0)
Modelo
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Variáveis
Cálculos
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, depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Cálculos
Variáve 
Dado Calcular 
Objetivo : Equação A ser usado 
Equações
$ E = K + V $
E = K + V
$ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$
K = m_i * L ^2* omega ^2/2
$ m_g = m_i $
m_g = m_i
$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$
nu =1/ T
$ \omega_0 = 2 \pi \nu $
omega = 2* pi * nu
$ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$
omega = 2* pi / T
$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$
omega_0 ^2 = g / L
$ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $
v = - x_0 * omega_0 *sin( omega_0 * t )
$ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$
V = m_g * g * L * theta ^2/2
$ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$
V = m_g * g * L * theta ^2/2
$ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $
x = x_0 *cos( omega_0 * t )
ID:(15852, 0)
Energia total
Equação
A energia total corresponde à soma da energia cinética total e da energia potencial:
| $ E = K + V $ |
ID:(3687, 0)
Energia cinética de um pêndulo matemático
Equação
A energia cinética de um corpo em rotação é dada por
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
onde $I$ é o momento de inércia e $\omega$ é a velocidade angular. O momento de inércia de uma massa pontual $m$ que gira a uma distância $L$ de um eixo é
| $ I = m L ^2$ |
então temos
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
ID:(4515, 0)
Energia potencial de um pêndulo matemático para ângulos pequenos (1)
Equação
A energia potencial gravitacional de um pêndulo é
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
que pode ser aproximada para ângulos pequenos como:
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
A energia potencial gravitacional de um pêndulo com massa
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
onde
Para ângulos pequenos, a função cosseno pode ser aproximada pela expansão em série de Taylor até a segunda ordem
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Essa aproximação resulta em uma simplificação da energia potencial para
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
É importante observar que o ângulo deve estar em radianos.
ID:(4514, 1)
Energia potencial de um pêndulo matemático para ângulos pequenos (2)
Equação
A energia potencial gravitacional de um pêndulo é
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
que pode ser aproximada para ângulos pequenos como:
| $ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$ |
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
A energia potencial gravitacional de um pêndulo com massa
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
onde
Para ângulos pequenos, a função cosseno pode ser aproximada pela expansão em série de Taylor até a segunda ordem
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Essa aproximação resulta em uma simplificação da energia potencial para
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
É importante observar que o ângulo deve estar em radianos.
ID:(4514, 2)
Igualdade das massas inercial e gravitacional
Equação
As massas que Newton utilizou em seus princípios estão relacionadas à inércia dos corpos, o que leva ao conceito de la massa inercial ($m_i$).
A lei de Newton, que está ligada à força entre corpos devido às suas massas, está relacionada à gravidade, sendo conhecida como la massa gravitacional ($m_g$).
Empiricamente, concluiu-se que ambas as massas são equivalentes, e, portanto, definimos
| $ m_g = m_i $ |
Einstein foi quem questionou essa igualdade e, a partir dessa dúvida, compreendeu por que ambas 'aparecem' iguais em sua teoria da gravidade. Em seu argumento, Einstein explicou que as massas deformam o espaço, e essa deformação do espaço causa uma mudança no comportamento dos corpos. Assim, as massas acabam sendo equivalentes. O conceito revolucionário da curvatura do espaço implica que até mesmo a luz, que não tem massa, é afetada por corpos celestes, contradizendo a teoria da gravitação de Newton. Isso foi demonstrado experimentalmente ao estudar o comportamento da luz durante um eclipse solar. Nessa situação, os feixes de luz são desviados devido à presença do sol, permitindo a observação de estrelas que estão atrás dele.
ID:(12552, 0)
Frequência angular de um pêndulo matemático
Equação
No caso do pêndulo matemático
a energia pode ser expressa como
$E=\displaystyle\frac{1}{2}ml^2\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$
e a partir dessa expressão podemos obter a frequência angular
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
A energia cinética do pêndulo matemático com massa $m$, comprimento da corda $r$ e velocidade angular $\omega$ é
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
e a energia potencial gravitacional é
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Com $\theta$ representando o ângulo e $g$ a aceleração angular, a equação para a energia total é expressa como
$E=\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \frac{1}{2}m g r \theta^2$
Dado que o período é igual a
$T=2\pi\sqrt{\frac{m r^2}{m g r}}=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$
podemos relacionar a frequência angular como
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
ID:(4516, 0)
Frequência angular
Equação
La frequência angular ($\omega$) é com la período ($T$) igual a
| $ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
ID:(12335, 0)
Frequência
Equação
La frequência ($\nu$) corresponde ao número de vezes que ocorre uma oscilação em um segundo. Já La período ($T$) é o tempo que uma única oscilação leva. Portanto, o número de oscilações por segundo é:
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
A frequência é indicada em Hertz (Hz).
ID:(4427, 0)
Amplitude de oscilação
Equação
Com a descrição da oscilação usando
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
a parte real corresponde à evolução temporal da amplitude
| $ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $ |
| $ x = x_0 \cos \omega_0 t $ |
ID:(14074, 0)
Velocidade de oscilação
Equação
Ao obtermos a parte real da derivada do número complexo que representa a oscilação
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
cuja parte real corresponde à velocidade
| $ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
Usando o número complexo
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
introduzido em
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
obtemos
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
assim, a velocidade é obtida como a parte real
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
ID:(14076, 0)