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Accélération angulaire constante
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Pour qu'un objet atteigne une vitesse angulaire spécifique, il doit d'abord augmenter sa vitesse angulaire à partir du repos. Ce processus est appelé accélération angulaire et est défini en fonction de la variation de la vitesse angulaire dans le temps. D'autre part, si l'objectif est de réduire la vitesse angulaire voire d'arrêter la rotation de l'objet, une accélération angulaire est également introduite, mais avec le signe opposé à celui de la vitesse angulaire (si la vitesse angulaire est positive, l'accélération angulaire est négative, et vice-versa), ce qui est connu sous le nom de freinage de la rotation.
ID:(612, 0)
Vitesse angulaire dans le cas d'une accélération angulaire constante
Citation
Dans le cas d'une accélération angulaire constante, la vitesse angulaire suit une relation linéaire en fonction du temps :
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
qui est représentée dans le graphique suivant :
ID:(11429, 0)
Accélération angulaire constante
Description
Pour qu'un objet atteigne une vitesse angulaire spécifique, il doit d'abord augmenter sa vitesse angulaire à partir du repos. Ce processus est appelé accélération angulaire et est défini en fonction de la variation de la vitesse angulaire dans le temps. D'autre part, si l'objectif est de réduire la vitesse angulaire voire d'arrêter la rotation de l'objet, une accélération angulaire est également introduite, mais avec le signe opposé à celui de la vitesse angulaire (si la vitesse angulaire est positive, l'accélération angulaire est négative, et vice-versa), ce qui est connu sous le nom de freinage de la rotation.
Variables
Calculs
à 
,
puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Variable
Donnée
Calculer
Cible :
Équation
À utiliser
Équations
La d finition de l'acc l ration angulaire moyenne repose sur l'angle parcouru
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
et le temps coul
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
La relation entre les deux est d finie comme l'acc l ration angulaire moyenne
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
pendant cet intervalle de temps.
(ID 3234)
tant donn que a accélération moyenne ($\bar{a}$) est gal a différence de vitesse ($\Delta v$) et le temps écoulé ($\Delta t$) selon
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
et que a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) est gal a différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) et le temps écoulé ($\Delta t$) conform ment
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
il en d coule que
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
En supposant que a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) est gal a accélération angulaire constante ($\alpha_0$)
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
et en supposant que a accélération moyenne ($\bar{a}$) est gal a accélération constante ($a_0$)
| $ a_0 = \bar{a} $ |
on obtient l' quation suivante :
| $ a = r \alpha $ |
(ID 3236)
Si nous supposons que a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) est constant, quivalent a accélération angulaire constante ($\alpha_0$), alors l' quation suivante s'applique :
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
Par cons quent, en consid rant a différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) avec a vitesse angulaire ($\omega$) et a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) :
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
et le temps écoulé ($\Delta t$) en relation avec le temps ($t$) et le temps initial ($t_0$) :
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
l' quation pour a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) :
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
peut tre exprim e comme suit :
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
En r solvant cela, nous obtenons :
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
(ID 3237)
Dans le cas de a accélération angulaire constante ($\alpha_0$), a vitesse angulaire ($\omega$) en fonction de le temps ($t$) suit une relation lin aire avec le temps initial ($t_0$) et a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) sous la forme :
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
tant donn que le d placement angulaire est gal l'aire sous la courbe de vitesse angulaire-temps, dans ce cas, on peut ajouter les contributions du rectangle :
$\omega_0(t-t_0)$
et du triangle :
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
Cela nous m ne l'expression pour le angle ($\theta$) et le angle de départ ($\theta_0$) :
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3682)
Si nous r solvons le temps dans l' quation de a vitesse angulaire ($\omega$) qui inclut les variables a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$), le temps ($t$), le temps initial ($t_0$) et a accélération angulaire constante ($\alpha_0$) :
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
nous obtenons l'expression suivante pour le temps :
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Cette solution peut tre substitu e dans l' quation pour calculer le angle ($\theta$) en utilisant le angle de départ ($\theta_0$) de la mani re suivante :
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
ce qui donne la formule suivante :
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
(ID 4386)
Exemples
(ID 15413)
Lorsque la vitesse angulaire n'est pas constante, il est important de comprendre comment elle augmente ou diminue. Pour cela, il est n cessaire de conna tre le taux de variation de la vitesse angulaire par unit de temps, appel acc l ration angulaire ou d c l ration angulaire, selon qu'il s'agisse d'une augmentation ou d'une diminution de la vitesse angulaire.
L'acc l ration angulaire est bas e sur la mesure de la variation de la vitesse angulaire dans le temps.
(ID 12519)
L'acc l ration angulaire moyenne est d finie comme la proportion dans laquelle la vitesse angulaire change au fil du temps. Pour mesurer cette quantit avec pr cision, il est n cessaire de quantifier comment la vitesse angulaire change au cours du temps.
L' quation qui d crit cette acc l ration angulaire moyenne est la suivante:
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
Il est important de noter que l'acc l ration angulaire moyenne est une estimation de l'acc l ration angulaire r elle. Cependant, il y a un probl me fondamental :
Si l'acc l ration angulaire varie au fil du temps, la valeur de l'acc l ration angulaire moyenne peut diff rer significativement de l'acc l ration angulaire moyenne.
Par cons quent, la cl r side dans
D terminer l'acc l ration angulaire dans un intervalle de temps suffisamment court pour minimiser toute variation significative.
(ID 15519)
Dans le cas d'une acc l ration angulaire constante, la vitesse angulaire suit une relation lin aire en fonction du temps :
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
qui est repr sent e dans le graphique suivant :
(ID 11429)
Avec a accélération constante ($a_0$), la fonction de a vitesse angulaire ($\omega$) décrit une droite dont la pente correspond à laccélération angulaire. Associée à A vitesse angulaire initiale ($\omega_0$), le temps ($t$) et le temps initial ($t_0$), cette relation sexprime par léquation suivante :
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Ainsi, laire sous la courbe qui représente le déplacement angulaire total est composée dun rectangle et dun triangle :
Le rectangle a une hauteur correspondant à la vitesse angulaire initiale et une base égale au temps écoulé. Le triangle a une hauteur qui est le produit de laccélération angulaire par le temps écoulé, et sa base est également égale au temps.
Avec ces informations, le déplacement total le angle ($\theta$) peut être calculé en utilisant le angle de départ ($\theta_0$), comme indiqué ci-dessous :
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 11418)
L'orientation de l'acc l ration tangentielle peut tre obtenue en utilisant la r gle de la main droite, o les doigts pointent vers l'axe, puis tournent vers le rayon :
(ID 11600)
(ID 15424)
ID:(612, 0)