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Aceleração angular constante
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Para que um objeto atinja uma velocidade angular específica, primeiro ele deve aumentar sua velocidade angular a partir do repouso. Esse processo é chamado de aceleração angular e é definido em termos da variação da velocidade angular no tempo. Por outro lado, se o objetivo for reduzir a velocidade angular e até mesmo parar a rotação do objeto, também é introduzida uma aceleração angular, mas com o sinal oposto ao da velocidade angular (se a velocidade angular for positiva, a aceleração angular é negativa, e vice-versa), o que é conhecido como frenagem da rotação.
ID:(612, 0)
Velocidade angular no caso de aceleração angular constante
Citar
No caso de aceleração angular constante, a velocidade angular segue uma relação linear em função do tempo:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
que é representada no seguinte gráfico:
ID:(11429, 0)
Aceleração angular constante
Descrição
Para que um objeto atinja uma velocidade angular específica, primeiro ele deve aumentar sua velocidade angular a partir do repouso. Esse processo é chamado de aceleração angular e é definido em termos da variação da velocidade angular no tempo. Por outro lado, se o objetivo for reduzir a velocidade angular e até mesmo parar a rotação do objeto, também é introduzida uma aceleração angular, mas com o sinal oposto ao da velocidade angular (se a velocidade angular for positiva, a aceleração angular é negativa, e vice-versa), o que é conhecido como frenagem da rotação.
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Cálculos
Variáve
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Calcular
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Equação
A ser usado
Equações
A defini o da acelera o angular m dia baseada no ngulo percorrido
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
e no tempo decorrido
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
A rela o entre os dois definida como a acelera o angular m dia
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
dentro desse intervalo de tempo.
(ID 3234)
Dado que la aceleração média ($\bar{a}$) igual a la diferença de velocidade ($\Delta v$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) conforme
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
e la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) igual a la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) conforme
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
deduz-se que
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Assumindo que la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) igual a la aceleração angular constante ($\alpha_0$)
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
e supondo que la aceleração média ($\bar{a}$) igual a la aceleração constante ($a_0$)
| $ a_0 = \bar{a} $ |
obt m-se a seguinte equa o:
| $ a = r \alpha $ |
(ID 3236)
Se assumirmos que la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) constante, equivalente a la aceleração angular constante ($\alpha_0$), ent o a seguinte equa o se aplica:
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
Portanto, considerando la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) junto com la velocidade angular ($\omega$) e la velocidade angular inicial ($\omega_0$):
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
e o tempo decorrido ($\Delta t$) em rela o a o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$):
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
a equa o para la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
pode ser expressa como:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Resolvendo isso, obtemos:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
(ID 3237)
No caso de la aceleração angular constante ($\alpha_0$), la velocidade angular ($\omega$) como fun o de o tempo ($t$) segue uma rela o linear com o tempo inicial ($t_0$) e la velocidade angular inicial ($\omega_0$) na forma:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Dado que o deslocamento angular igual rea sob a curva de velocidade angular-tempo, neste caso, pode-se adicionar as contribui es do ret ngulo:
$\omega_0(t-t_0)$
e do tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
Isso nos leva express o para o ângulo ($\theta$) e o ângulo inicial ($\theta_0$):
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3682)
Se resolvermos o tempo na equa o de la velocidade angular ($\omega$) que inclui as vari veis la velocidade angular inicial ($\omega_0$), o tempo ($t$), o tempo inicial ($t_0$) e la aceleração angular constante ($\alpha_0$):
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
obtemos a seguinte express o para o tempo:
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Esta solu o pode ser substitu da na equa o para calcular o ângulo ($\theta$) usando o ângulo inicial ($\theta_0$) da seguinte forma:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
o que resulta na seguinte equa o:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
(ID 4386)
Exemplos
(ID 15413)
Quando a velocidade angular n o constante, importante entender como ela est aumentando ou diminuindo. Para isso, necess rio conhecer a taxa de mudan a da velocidade angular por unidade de tempo, conhecida como acelera o angular ou desacelera o angular, dependendo se um aumento ou uma diminui o na velocidade angular.
A acelera o angular baseada na medi o da varia o da velocidade angular ao longo do tempo.
(ID 12519)
A acelera o angular m dia definida como a propor o em que a velocidade angular muda ao longo do tempo. Para medir essa quantidade com precis o, necess rio quantificar como a velocidade angular muda durante o curso do tempo.
A equa o que descreve essa acelera o angular m dia a seguinte:
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
importante observar que a acelera o angular m dia uma estimativa da acelera o angular real. No entanto, h um problema fundamental:
Se a acelera o angular variar ao longo do tempo, o valor da acelera o angular m dia pode diferir significativamente da acelera o angular m dia.
Portanto, a chave est em
Determinar a acelera o angular dentro de um intervalo de tempo suficientemente curto para minimizar qualquer varia o significativa.
(ID 15519)
No caso de acelera o angular constante, a velocidade angular segue uma rela o linear em fun o do tempo:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
que representada no seguinte gr fico:
(ID 11429)
Com la aceleração constante ($a_0$), a função de la velocidade angular ($\omega$) descreve uma linha reta cuja inclinação corresponde à aceleração angular. Juntamente com la velocidade angular inicial ($\omega_0$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$), essa relação é expressa pela equação:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Portanto, a área sob a curva que representa o deslocamento angular total é composta por um retângulo e um triângulo:
O retângulo tem uma altura correspondente à velocidade angular inicial e uma base igual ao tempo decorrido. O triângulo tem uma altura que é o produto da aceleração angular pelo tempo, e sua base também é igual ao tempo.
Com essas informações, o deslocamento total o ângulo ($\theta$) pode ser calculado utilizando o ângulo inicial ($\theta_0$), como mostrado a seguir:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 11418)
A orienta o da acelera o tangencial pode ser obtida utilizando a regra da m o direita, onde os dedos apontam em dire o ao eixo e depois giram em dire o ao raio:
(ID 11600)
(ID 15424)
ID:(612, 0)