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Aceleración angular constante
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Para que un objeto alcance una velocidad angular determinada, primero debe aumentar su velocidad angular desde el reposo. Este proceso se denomina aceleración angular y se define en función de la variación de la velocidad angular en el tiempo. Por otro lado, si se busca reducir la velocidad angular e incluso detener la rotación del objeto, también se introduce una aceleración angular, pero con el signo opuesto al de la velocidad angular (si la velocidad angular es positiva, la aceleración angular es negativa, y viceversa), lo que se conoce como frenado angular.
ID:(612, 0)
Velocidad angular en el caso de aceleración angular constante
Cita
En el caso de una aceleración angular constante, la velocidad angular sigue una relación lineal en función del tiempo:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
que se representa en el siguiente gráfico:
ID:(11429, 0)
Aceleración angular constante
Descripción
Para que un objeto alcance una velocidad angular determinada, primero debe aumentar su velocidad angular desde el reposo. Este proceso se denomina aceleración angular y se define en función de la variación de la velocidad angular en el tiempo. Por otro lado, si se busca reducir la velocidad angular e incluso detener la rotación del objeto, también se introduce una aceleración angular, pero con el signo opuesto al de la velocidad angular (si la velocidad angular es positiva, la aceleración angular es negativa, y viceversa), lo que se conoce como frenado angular.
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Ecuaciones
La aceleraci n angular media se define como la proporci n del ngulo recorrido
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
y el tiempo transcurrido
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Esta relaci n entre ambos se establece como la aceleraci n angular media
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
durante dicho intervalo de tiempo.
(ID 3234)
Dado que la aceleración media ($\bar{a}$) es igual a la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) seg n
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es igual a la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) conforme a
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
se deduce que
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Si asumimos que la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es igual a la aceleración angular constante ($\alpha_0$)
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
y suponiendo que la aceleración media ($\bar{a}$) es igual a la aceleración constante ($a_0$)
| $ a_0 = \bar{a} $ |
entonces se obtiene la siguiente ecuaci n:
| $ a = r \alpha $ |
(ID 3236)
Si suponemos que la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es constante, equivalente a la aceleración angular constante ($\alpha_0$), entonces se aplica la siguiente ecuaci n:
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
Por lo tanto, al considerar la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) junto con la velocidad angular ($\omega$) y la velocidad angular inicial ($\omega_0$):
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) en relaci n con el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$):
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
la ecuaci n para la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
puede expresarse como:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Despejando esta ltima, obtenemos:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
(ID 3237)
En el caso de la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la velocidad angular ($\omega$) en funci n de el tiempo ($t$) sigue una relaci n lineal con el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad angular inicial ($\omega_0$) de la forma:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Dado que el ngulo recorrido es igual al rea bajo la curva de velocidad angular-tiempo, en este caso se puede sumar la contribuci n del rect ngulo:
$\omega_0(t-t_0)$
y el tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
Esto nos lleva a la expresi n para el ángulo ($\theta$) y el ángulo inicial ($\theta_0$):
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3682)
Si resolvemos la ecuaci n de la velocidad angular ($\omega$) en t rminos de tiempo, que incluye las variables la velocidad angular inicial ($\omega_0$), el tiempo ($t$), el tiempo inicial ($t_0$) y la aceleración angular constante ($\alpha_0$):
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
obtenemos la siguiente expresi n para el tiempo:
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Esta soluci n puede ser sustituida en la ecuaci n para calcular el ángulo ($\theta$) utilizando el ángulo inicial ($\theta_0$) de la siguiente manera:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
Lo que resulta en la siguiente ecuaci n:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
(ID 4386)
Ejemplos
(ID 15413)
Cuando la velocidad angular no es constante, es crucial comprender c mo var a con el tiempo. Para ello, necesitamos conocer la tasa de cambio de la velocidad angular por unidad de tiempo, conocida como aceleraci n angular o desaceleraci n angular, dependiendo de si la velocidad angular est aumentando o disminuyendo.
La aceleraci n angular se determina mediante la medici n de la variaci n de la velocidad angular en relaci n al tiempo.
(ID 12519)
La aceleraci n angular media se define como la proporci n en la que var a la velocidad angular a lo largo del tiempo. Para medir esta magnitud, es necesario cuantificar c mo cambia la velocidad angular en el transcurso del tiempo.
La ecuaci n que describe esta aceleraci n angular media es la siguiente:
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
Es importante tener en cuenta que la aceleraci n angular media es una estimaci n de la aceleraci n angular real. Sin embargo, existe un problema fundamental:
Si la aceleraci n angular var a a lo largo del tiempo, el valor de la aceleraci n angular media puede diferir significativamente de la aceleraci n angular promedio.
Por lo tanto, la clave reside en
Determinar la aceleraci n angular en un intervalo de tiempo lo suficientemente corto para minimizar cualquier variaci n significativa.
(ID 15519)
En el caso de una aceleraci n angular constante, la velocidad angular sigue una relaci n lineal en funci n del tiempo:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
que se representa en el siguiente gr fico:
(ID 11429)
Con la aceleración constante ($a_0$), la función de la velocidad angular ($\omega$) describe una recta cuya pendiente corresponde a la aceleración angular. Junto con la velocidad angular inicial ($\omega_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$), esta relación se expresa mediante la ecuación:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Por lo tanto, el área bajo la curva que representa el desplazamiento angular total se compone de un rectángulo y un triángulo:
El rectángulo tiene una altura igual a la velocidad angular inicial y una base correspondiente al tiempo transcurrido. El triángulo tiene una altura que es el producto de la aceleración angular por el tiempo transcurrido, y su base también es igual al tiempo.
Con esta información, se puede calcular el desplazamiento total el ángulo ($\theta$) utilizando el ángulo inicial ($\theta_0$), como se muestra a continuación:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 11418)
La direcci n de la aceleraci n tangencial puede determinarse utilizando la regla de la mano derecha, donde los dedos se orientan hacia el eje y luego se giran en direcci n al radio:
(ID 11600)
(ID 15424)
ID:(612, 0)