Storyboard

Se o número de Reynolds exceder 2000, o fluxo em um tubo sempre se tornará instável e eventualmente se tornará completamente turbulento. Como resultado, não é mais possível usar a aproximação de fluxo laminar viscoso que dá origem à lei de Hagen-Poiseuille, sendo necessário desenvolver um modelo alternativo.

O modelo que descreve um fluxo no qual a viscosidade é irrelevante é aquele que origina a equação de Bernoulli. No entanto, esse modelo pressupõe que a densidade de energia seja conservada. Uma alternativa é assumir que a turbulência leva a uma mistura de tal forma que a densidade de energia não seja conservada, mas permaneça constante. Nesse caso, o fluxo pode ser modelado usando uma equação semelhante à de Bernoulli, mas com uma correção para levar em consideração a homogeneização devido aos efeitos de mistura.

>Modelo

ID:(1970, 0)

Conceito

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Ao modelar o fluxo em um tubo, assumindo que a densidade de energia é conservada, obtém-se a equação de Bernoulli. Esta equação descreve o fluxo utilizando la diferença de pressão ($\Delta p$) em termos de la densidade líquida ($\rho_w$), la velocidade média do fluido ($v$) e la diferença de velocidade entre superfícies ($\Delta v$):

No caso de fluxo turbulento, o processo de mistura atua como uma fricção que reduz o gradiente de velocidade presente no fluxo laminar entre o centro e as paredes do tubo. Se assumirmos que este efeito de mistura pode ser modelado com um simples fator de correção, chegamos empiricamente à equação de Darcy-Weisbach, que envolve o fator de atrito Darcy-Weisbach ($f_D$), o comprimento do tubo ($\Delta L$) e la diâmetro hidrodinâmico ($D_H$):

O fator o fator de atrito Darcy-Weisbach ($f_D$) foi determinado empiricamente para várias condições de fluxo e é expresso em função de o número de Reynolds ($Re$).

ID:(15893, 0)

Imagem

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Em 1944, Lewis Ferry Moody mediu o fator de atrito de Darcy-Weisbach como função do número de Reynolds e da rugosidade relativa da parede, resultando na criação do seguinte diagrama:

A rugosidade relativa pode ser estimada considerando o tamanho das irregularidades da superfície (altura de saliências ou profundidade de sulcos) em relação ao diâmetro hidráulico.

São observados dois comportamentos distintos:

• Para números de Reynolds abaixo de 2000, o fator de atrito de Darcy-Weisbach depende apenas do número de Reynolds, seguindo uma relação de $64/Re$. Isso corresponde ao regime de escoamento laminar.

• Para números de Reynolds acima de 2000, observa-se um comportamento que depende tanto do número de Reynolds quanto da rugosidade relativa da superfície do tubo.

ID:(14528, 0)

Conceito

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No contexto da equação de Darcy-Weisbach, utiliza-se uma diâmetro hidrodinâmico ($D_H$), que corresponde a uma generalização do diâmetro tradicional de um círculo. Isso permite considerar uma seção que não seja circular e calcular um diâmetro equivalente com base na área de la seção de tubo ($S$) e seu o perímetro ($P$) utilizando a seguinte fórmula:

Para uma seção circular, obtemos o diâmetro tradicional de um círculo da seguinte maneira:

$D_H = \displaystyle\frac{4 S}{P} = \displaystyle\frac{4 \pi R^2}{2 \pi R} = 2R$

ID:(15894, 0)

Conceito

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No contexto do fator de fricção de Darcy-Weisbach, utiliza-se um raio hidráulico ($R_H$), que é uma generalização do raio tradicional de um círculo. Dessa forma, é possível calcular um diâmetro com base na área de la seção de tubo ($S$) e seu perímetro em contato com o perímetro hidrodinâmico ($P_H$), utilizando a seguinte fórmula:

Para uma seção circular, podemos obter o raio hidráulico tradicional de um círculo da seguinte maneira:

$R_H = \displaystyle\frac{S}{P} = \displaystyle\frac{\pi R^2}{2 \pi R} = \displaystyle\frac{1}{2} R$

ID:(15895, 0)

Conceito

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Em um tubo cilíndrico, a profundidade está relacionada com o fluxo da seguinte maneira:

Ao integrar la seção ou superfície ($S$), podemos calcular como a superfície varia em função de la profundidade em um tubo vazio ($h$) por meio da integral sobre o raio até O raio do tubo ($R$), o que resulta em:

$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$

Para fluxos pequenos, onde a profundidade é significativamente menor que o raio, a relação entre a seção transversal e a profundidade se simplifica consideravelmente. Ao resolver a equação de profundidade, obtemos:

ID:(15896, 0)

Conceito

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O perímetro hidrodinâmico ($P_H$) em um tubo parcialmente cheio corresponde às bordas da seção que estão em contato com o líquido, ou seja, o arco que toca tanto a parede do tubo quanto a superfície:

Assim, podemos expressá-lo geralmente em função de o raio do tubo ($R$) e la profundidade em um tubo vazio ($h$) da seguinte forma:

$P_H = 2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right) + 2\sqrt{2Rh-h^2}$

Para fluxos pequenos, onde a profundidade é significativamente menor que o raio, isso simplifica a relação entre a área da seção transversal e a profundidade para:

ID:(15897, 0)

Descrição

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Se substituirmos o fator de atrito de Darcy-Weisbach no limite laminar, dado por

na equação de Darcy-Weisbach, representada como

e usarmos a definição do número de Reynolds $Re$, podemos demonstrar que o fluxo é governado por

o que corresponde à equação de Hagen-Poiseuille.

ID:(14530, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A equação de Darcy-Weisbach permite calcular la diferença de pressão ($\Delta p$) em função de la densidade líquida ($\rho_w$), la diâmetro hidrodinâmico ($D_H$), o fator de atrito Darcy-Weisbach ($f_D$), o comprimento do tubo ($\Delta L$) e la velocidade média do fluido ($v$) através de:

$\Delta p = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ D_H } f_D \displaystyle\frac{1}{2} \rho_w j_s ^2$

Condições

Variáveis

$\Delta L$

Comprimento do tubo

$m$

5430

$j_s$

Densidade de fluxo

$m/s$

7220

$\rho_w$

Densidade líquida

$kg/m^3$

5407

$D_H$

Diâmetro hidrodinâmico

$m$

6612

$\Delta p$

Diferença de pressão

$Pa$

6273

$f_D$

Fator de atrito Darcy-Weisbach

$-$

5822

Relação

ID:(14526, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Uma densidade de fluxo ($j_s$) pode ser expresso em termos de o fluxo de volume ($J_V$) utilizando la seção ou superfície ($S$) através da seguinte fórmula:

$j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

Condições

Variáveis

$j_s$

Densidade de fluxo

$m/s$

7220

$J_V$

Fluxo de volume

$m^3/s$

5448

$S$

Seção de poros

$m^2$

6011

Relação

Desenvolvimento

O fluxo é definido como o volume o elemento de volume ($\Delta V$) dividido pelo tempo o tempo decorrido ($\Delta t$), conforme expresso na seguinte equação:

$J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$

e o volume é igual à área da seção la seção de tubo ($S$) multiplicada pela distância percorrida o elemento de tubo ($\Delta s$):

$\Delta V = S \Delta s$

Como a distância percorrida o elemento de tubo ($\Delta s$) por unidade de tempo o tempo decorrido ($\Delta t$) corresponde à velocidade, ela é representada por:

$j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Assim, o fluxo é Uma densidade de fluxo ($j_s$), que é calculado usando:

$j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

ID:(4349, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La diâmetro hidrodinâmico ($D_H$) pode ser calculado a partir de la seção de tubo ($S$) e o perímetro ($P$) por meio de:

$D_H = \displaystyle\frac{ 4 S }{ P }$

Condições

Variáveis

$D_H$

Diâmetro hidrodinâmico

$m$

6612

$P$

Perímetro

$m$

5818

$S$

Seção de poros

$m^2$

6011

Relação

ID:(14527, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O raio hidráulico ($R_H$) pode ser calculado usando la seção de tubo ($S$) e o perímetro hidrodinâmico ($P_H$) por meio de:

$R_H = \displaystyle\frac{ S }{ P_H }$

Condições

Variáveis

$P_H$

Perímetro hidrodinâmico

$m$

10088

$R_H$

Raio hidráulico

$m$

5816

$S$

Seção de poros

$m^2$

6011

Relação

ID:(14531, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La profundidade em um tubo vazio ($h$) pode ser estimado quando o nível do líquido é baixo, ou seja, quando esse nível é muito menor que o raio do tubo, em função de la seção ou superfície ($S$) e o raio do tubo ($R$):

$h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$

Condições

Variáveis

$h$

Profundidade em um tubo vazio

$m$

10091

$R$

Raio do tubo

$m$

5417

$S$

Seção de poros

$m^2$

6011

Relação

Desenvolvimento

La seção ou superfície ($S$) do tubo que contém o líquido pode ser expressa como uma função de la profundidade em um tubo vazio ($h$) integrando sobre o raio até O raio do tubo ($R$):

$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$

Se expandirmos essa expressão em termos do fator $h/R$ no limite $h\ll R$, obtemos, em primeira ordem:

$S = \sqrt{\displaystyle\frac{2^3}{3^2} R h ^3}$

Se resolvermos para a profundidade, obtemos finalmente:

$h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$

ID:(14541, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O perímetro hidrodinâmico ($P_H$) pode ser estimado a partir de la profundidade em um tubo vazio ($h$) e o raio do tubo ($R$) utilizando:

$P_H = \sqrt{2^5 R h }$

Condições

Variáveis

$P_H$

Perímetro hidrodinâmico

$m$

10088

$h$

Profundidade em um tubo vazio

$m$

10091

$R$

Raio do tubo

$m$

5417

Relação

Desenvolvimento

Como o ângulo entre o raio na borda da superfície do líquido e a vertical pode ser calculado usando la profundidade em um tubo vazio ($h$) e o raio do tubo ($R$) por meio de:

$\phi =\arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$

O arco correspondente é $R\phi$, portanto, o arco total é:

$2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$

De maneira análoga, metade da área pode ser determinada utilizando o teorema de Pitágoras, resultando em:

$\sqrt{2Rh - h^2}$

Portanto, o perímetro hidrodinâmico ($P_H$) é expresso como:

$P_H = 2\sqrt{2Rh - h^2}+2R\arcsin\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$

No limite de uma pequena altura, onde $h\ll R$, essa expressão pode ser expandida, resultando em:

$P_H = \sqrt{2^5 R h }$

ID:(14542, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O critério chave para determinar se um meio é laminar ou turbulento é o chamado número de Reynolds, que compara a energia associada à inércia com aquela associada à viscosidade. A primeira depende de la densidade ($\rho$), la velocidade média do fluido ($v$) e la dimensão típica do sistema ($R$), enquanto a segunda depende de la viscosidade ($\eta$), definindo-o como:

$Re =\displaystyle\frac{ \rho R j_s }{ \eta }$

$Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

Condições

Variáveis

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

5342

$R$

Dimensão típica do sistema

$m$

5433

$Re$

Número de Reynolds

$-$

5432

$v$

$j_s$

Densidade de fluxo

$m/s$

7220

$\eta$

Viscosidade

$Pa s$

5422

Relação

ID:(3177, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No limite de baixos o número de Reynolds ($Re$), o diagrama de Moody mostra que o fator de atrito Darcy-Weisbach ($f_D$) é igual a:

$f_D = \displaystyle\frac{64}{ Re }$

Condições

Variáveis

$f_D$

Fator de atrito Darcy-Weisbach

$-$

5822

$Re$

Número de Reynolds

$-$

5432

Relação

onde $Re$ é o número de Reynolds. Isso é válido para números de Reynolds até 2000. Além desse valor, a rugosidade da parede começa a afetar a desestabilização do fluxo e a formação de turbulências.

ID:(14529, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A equação de Colebrook-White para o caso de um tubo fechado:

é uma equação implícita utilizada para determinar o fator de atrito de Darcy-Weisbach ($f_D$). Para resolver esta equação, foram desenvolvidas várias aproximações que variam em complexidade e precisão. Uma das aproximações mais eficazes, que abrange uma ampla faixa de números de Reynolds $Re$, é a proposta por S.E. Haaland:

$f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{3.7 D_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$

Condições

Variáveis

$\epsilon$

Desigualdade

$m$

5410

$D_H$

Diâmetro hidrodinâmico

$m$

6612

$f_D$

Fator de atrito Darcy-Weisbach

$-$

5822

$Re$

Número de Reynolds

$-$

5432

Relação

Desenvolvimento

A solução original de S.E. Haaland é a seguinte:

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/D_H}{3.7}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)$

Pode ser rearranjada para obter a expressão do fator de atrito de Darcy-Weisbach $f_D$ da seguinte forma:

$f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{3.7 D_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$

ID:(14535, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A equação de Colebrook-White para o caso de um tubo fechado:

é uma equação implícita utilizada para determinar o fator de atrito de Darcy-Weisbach ($f_D$). Para resolver esta equação, foram desenvolvidas várias aproximações que variam em complexidade e precisão. Uma das aproximações mais eficazes, que abrange uma ampla faixa de números de Reynolds $Re$, é a proposta por S.E. Haaland:

$f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{12 R_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$

Condições

Variáveis

$\epsilon$

Desigualdade

$m$

5410

$f_D$

Fator de atrito Darcy-Weisbach

$-$

5822

$Re$

Número de Reynolds

$-$

5432

$R_H$

Raio hidráulico

$m$

5816

Relação

Desenvolvimento

A solução original de S.E. Haaland é a seguinte:

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/R_H}{12}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)$

Pode ser rearranjada para obter a expressão do fator de atrito de Darcy-Weisbach $f_D$ da seguinte forma:

$f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{12 R_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$

ID:(14534, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A diferença de altura, representada por la diferença de altura ($\Delta h$), implica que a pressão em ambas as colunas é diferente. Em particular, la diferença de pressão ($\Delta p$) é uma função de la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la diferença de altura ($\Delta h$), da seguinte forma:

$\Delta p = \rho_w g \Delta h$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\Delta h$

Altura da coluna líquida

$m$

5819

$\rho_w$

Densidade líquida

$kg/m^3$

5407

Relação

Desenvolvimento

Se houver la diferença de pressão ($\Delta p$) entre dois pontos, conforme determinado pela equação:

$\Delta p = p_2 - p_1$

podemos usar la pressão da coluna de água ($p$), que é definida como:

$p_t = p_0 + \rho_w g h$

Isso resulta em:

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Como la diferença de altura ($\Delta h$) é:

$\Delta h = h_2 - h_1$

la diferença de pressão ($\Delta p$) pode ser expressa como:

$\Delta p = \rho_w g \Delta h$

ID:(4345, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A equação de Darcy-Weisbach permite calcular la diferença de pressão ($\Delta p$) em função de la densidade líquida ($\rho_w$), la diâmetro hidrodinâmico ($D_H$), o fator de atrito Darcy-Weisbach ($f_D$), o comprimento do tubo ($\Delta L$) e la velocidade média do fluido ($v$) através de:

$\Delta h_d = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ 2 g D_H } f_D j_s ^2$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\Delta h_d$

Altura para compensar a perda de energia

$m$

10464

$\Delta L$

Comprimento do tubo

$m$

5430

$j_s$

Densidade de fluxo

$m/s$

7220

$D_H$

Diâmetro hidrodinâmico

$m$

6612

$f_D$

Fator de atrito Darcy-Weisbach

$-$

5822

Relação

ID:(15958, 0)