Ao modelar o fluxo em um tubo, assumindo que a densidade de energia conservada, obt m-se a equa o de Bernoulli. Esta equa o descreve o fluxo utilizando la diferença de pressão ($\Delta p$) em termos de la densidade líquida ($\rho_w$), la velocidade média do fluido ($v$) e la diferença de velocidade entre superfícies ($\Delta v$):

No caso de fluxo turbulento, o processo de mistura atua como uma fric o que reduz o gradiente de velocidade presente no fluxo laminar entre o centro e as paredes do tubo. Se assumirmos que este efeito de mistura pode ser modelado com um simples fator de corre o, chegamos empiricamente equa o de Darcy-Weisbach, que envolve o fator de atrito Darcy-Weisbach ($f_D$), o comprimento do tubo ($\Delta L$) e la diâmetro hidrodinâmico ($D_H$):

O fator o fator de atrito Darcy-Weisbach ($f_D$) foi determinado empiricamente para v rias condi es de fluxo e expresso em fun o de o número de Reynolds ($Re$).

(ID 15893)

Em 1944, Lewis Ferry Moody mediu o fator de atrito de Darcy-Weisbach como fun o do n mero de Reynolds e da rugosidade relativa da parede, resultando na cria o do seguinte diagrama:

A rugosidade relativa pode ser estimada considerando o tamanho das irregularidades da superf cie (altura de sali ncias ou profundidade de sulcos) em rela o ao di metro hidr ulico.

S o observados dois comportamentos distintos:

• Para n meros de Reynolds abaixo de 2000, o fator de atrito de Darcy-Weisbach depende apenas do n mero de Reynolds, seguindo uma rela o de $64/Re$. Isso corresponde ao regime de escoamento laminar.

• Para n meros de Reynolds acima de 2000, observa-se um comportamento que depende tanto do n mero de Reynolds quanto da rugosidade relativa da superf cie do tubo.

(ID 14528)

No contexto da equa o de Darcy-Weisbach, utiliza-se uma diâmetro hidrodinâmico ($D_H$), que corresponde a uma generaliza o do di metro tradicional de um c rculo. Isso permite considerar uma se o que n o seja circular e calcular um di metro equivalente com base na rea de la seção de tubo ($S$) e seu o perímetro ($P$) utilizando a seguinte f rmula:

Para uma se o circular, obtemos o di metro tradicional de um c rculo da seguinte maneira:

$D_H = \displaystyle\frac{4 S}{P} = \displaystyle\frac{4 \pi R^2}{2 \pi R} = 2R$

(ID 15894)

No contexto do fator de fric o de Darcy-Weisbach, utiliza-se um raio hidráulico ($R_H$), que uma generaliza o do raio tradicional de um c rculo. Dessa forma, poss vel calcular um di metro com base na rea de la seção de tubo ($S$) e seu per metro em contato com o perímetro hidrodinâmico ($P_H$), utilizando a seguinte f rmula:

Para uma se o circular, podemos obter o raio hidr ulico tradicional de um c rculo da seguinte maneira:

$R_H = \displaystyle\frac{S}{P} = \displaystyle\frac{\pi R^2}{2 \pi R} = \displaystyle\frac{1}{2} R$

(ID 15895)

Em um tubo cil ndrico, a profundidade est relacionada com o fluxo da seguinte maneira:

Ao integrar la seção ou superfície ($S$), podemos calcular como a superf cie varia em fun o de la profundidade em um tubo vazio ($h$) por meio da integral sobre o raio at o raio do tubo ($R$), o que resulta em:

$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$

Para fluxos pequenos, onde a profundidade significativamente menor que o raio, a rela o entre a se o transversal e a profundidade se simplifica consideravelmente. Ao resolver a equa o de profundidade, obtemos:

(ID 15896)

O perímetro hidrodinâmico ($P_H$) em um tubo parcialmente cheio corresponde s bordas da se o que est o em contato com o l quido, ou seja, o arco que toca tanto a parede do tubo quanto a superf cie:

Assim, podemos express -lo geralmente em fun o de o raio do tubo ($R$) e la profundidade em um tubo vazio ($h$) da seguinte forma:

$P_H = 2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right) + 2\sqrt{2Rh-h^2}$

Para fluxos pequenos, onde a profundidade significativamente menor que o raio, isso simplifica a rela o entre a rea da se o transversal e a profundidade para:

(ID 15897)

Se substituirmos o fator de atrito de Darcy-Weisbach no limite laminar, dado por

na equa o de Darcy-Weisbach, representada como

e usarmos a defini o do n mero de Reynolds $Re$, podemos demonstrar que o fluxo governado por

o que corresponde equa o de Hagen-Poiseuille.

(ID 14530)

A equa o de Darcy-Weisbach permite calcular la diferença de pressão ($\Delta p$) em fun o de la densidade líquida ($\rho_w$), la diâmetro hidrodinâmico ($D_H$), o fator de atrito Darcy-Weisbach ($f_D$), o comprimento do tubo ($\Delta L$) e la velocidade média do fluido ($v$) atrav s de:

(ID 14526)

Uma densidade de fluxo ($j_s$) pode ser expresso em termos de o fluxo de volume ($J_V$) utilizando la seção ou superfície ($S$) atrav s da seguinte f rmula:

(ID 4349)

La diâmetro hidrodinâmico ($D_H$) pode ser calculado a partir de la seção de tubo ($S$) e o perímetro ($P$) por meio de:

(ID 14527)

O raio hidráulico ($R_H$) pode ser calculado usando la seção de tubo ($S$) e o perímetro hidrodinâmico ($P_H$) por meio de:

(ID 14531)

La profundidade em um tubo vazio ($h$) pode ser estimado quando o n vel do l quido baixo, ou seja, quando esse n vel muito menor que o raio do tubo, em fun o de la seção ou superfície ($S$) e o raio do tubo ($R$):

(ID 14541)

O perímetro hidrodinâmico ($P_H$) pode ser estimado a partir de la profundidade em um tubo vazio ($h$) e o raio do tubo ($R$) utilizando:

(ID 14542)

O crit rio chave para determinar se um meio laminar ou turbulento o chamado n mero de Reynolds, que compara a energia associada in rcia com aquela associada viscosidade. A primeira depende de la densidade ($\rho$), la velocidade média do fluido ($v$) e la dimensão típica do sistema ($R$), enquanto a segunda depende de la viscosidade ($\eta$), definindo-o como:

(ID 3177)

No limite de baixos o número de Reynolds ($Re$), o diagrama de Moody mostra que o fator de atrito Darcy-Weisbach ($f_D$) igual a:

onde $Re$ o n mero de Reynolds. Isso v lido para n meros de Reynolds at 2000. Al m desse valor, a rugosidade da parede come a a afetar a desestabiliza o do fluxo e a forma o de turbul ncias.

(ID 14529)

A equa o de Colebrook-White para o caso de um tubo fechado:

uma equa o impl cita utilizada para determinar o fator de atrito de Darcy-Weisbach ($f_D$). Para resolver esta equa o, foram desenvolvidas v rias aproxima es que variam em complexidade e precis o. Uma das aproxima es mais eficazes, que abrange uma ampla faixa de n meros de Reynolds $Re$, a proposta por S.E. Haaland:

(ID 14535)

A equa o de Colebrook-White para o caso de um tubo fechado:

uma equa o impl cita utilizada para determinar o fator de atrito de Darcy-Weisbach ($f_D$). Para resolver esta equa o, foram desenvolvidas v rias aproxima es que variam em complexidade e precis o. Uma das aproxima es mais eficazes, que abrange uma ampla faixa de n meros de Reynolds $Re$, a proposta por S.E. Haaland:

(ID 14534)

A diferen a de altura, representada por la diferença de altura ($\Delta h$), implica que a press o em ambas as colunas diferente. Em particular, la diferença de pressão ($\Delta p$) uma fun o de la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la diferença de altura ($\Delta h$), da seguinte forma:

(ID 4345)

A equa o de Darcy-Weisbach permite calcular la diferença de pressão ($\Delta p$) em fun o de la densidade líquida ($\rho_w$), la diâmetro hidrodinâmico ($D_H$), o fator de atrito Darcy-Weisbach ($f_D$), o comprimento do tubo ($\Delta L$) e la velocidade média do fluido ($v$) atrav s de:

(ID 15958)