Storyboard

Si el número de Reynolds es superior a 2000, el flujo en un tubo se vuelve siempre inestable y termina siendo completamente turbulento. Con esto, ya no es posible usar la aproximación de flujo laminar viscoso que da origen a la ley de Hagen Poiseuille, y es necesario desarrollar un modelo alternativo.

El modelo que describe un flujo en el cual la viscosidad es irrelevante es el que da origen a la ecuación de Bernoulli. Sin embargo, este modelo asume que la densidad de energía se conserva. Una alternativa es asumir que las turbulencias llevan a una mezcla mediante la cual la densidad de energía no se conserva pero permanece constante. En tal caso, el flujo se puede modelar mediante una ecuación similar a la de Bernoulli, pero teniendo en cuenta una corrección debido a la homogeneización causada por la mezcla.

>Modelo

ID:(1970, 0)

Concepto

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Cuando se modela el flujo en un tubo, bajo la suposición de que la densidad de energía se conserva, se obtiene la ecuación de Bernoulli. Esta ecuación describe el flujo mediante la diferencia de presión ($\Delta p$) en términos de la densidad del líquido ($\rho_w$), la velocidad media del fluido ($v$) y la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$):

En el caso de flujo turbulento, el proceso de mezclado actúa como una fricción que reduce el gradiente de velocidad presente en el flujo laminar entre el centro y las paredes del conducto. Si asumimos que este proceso de mezclado puede ser modelado con un simple factor de corrección, llegamos empíricamente a la ecuación de Darcy-Weisbach, que involucra el factor de fricción de Darcy-Weisbach ($f_D$), el largo de tubo ($\Delta L$) y la diámetro hidrodinámico ($D_H$):

El factor el factor de fricción de Darcy-Weisbach ($f_D$) ha sido determinado de forma empírica para diversas condiciones de flujo y se expresa en función de el número de Reynold ($Re$).

ID:(15893, 0)

Imagen

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En 1944, Lewis Ferry Moody realizó mediciones del factor de fricción de Darcy-Weisbach en función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa de la pared, lo que resultó en la creación del siguiente diagrama:

La rugosidad relativa se puede estimar considerando el tamaño de las rugosidades (altura de elementos que sobresalen o profundidades de hendiduras) en relación con el diámetro hidrodinámico.

Se observan dos comportamientos distintos:

• Para números de Reynolds inferiores a 2000, el factor de fricción de Darcy-Weisbach depende solo del número de Reynolds, siguiendo una relación de $64/Re$. Esto corresponde al régimen laminar.

• Para números de Reynolds superiores a 2000, se observa un comportamiento que depende tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa de la superficie del tubo.

ID:(14528, 0)

Concepto

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En el contexto de la ecuación de Darcy-Weisbach, se utiliza una diámetro hidrodinámico ($D_H$), que representa una generalización del diámetro tradicional de un círculo. Esto permite considerar una sección que no sea circular y calcular un diámetro equivalente basado en el área de la sección del tubo ($S$) y su el perímetro ($P$) mediante la siguiente fórmula:

Para una sección circular, recuperamos el diámetro tradicional de un círculo de la siguiente manera:

$D_H = \displaystyle\frac{4 S}{P} = \displaystyle\frac{4 \pi R^2}{2 \pi R} = 2R$

ID:(15894, 0)

Concepto

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En el contexto del factor de fricción de Darcy-Weisbach, se utiliza un radio hidráulico ($R_H$), que es una generalización del radio tradicional de un círculo. De esta forma, es posible calcular un diámetro basado en el área de la sección del tubo ($S$) y su perímetro en contacto con el perímetro hidrodinamico ($P_H$), utilizando la siguiente fórmula:

Para una sección circular, podemos obtener el radio hidráulico tradicional de un círculo de la siguiente manera:

$R_H = \displaystyle\frac{S}{P} = \displaystyle\frac{\pi R^2}{2 \pi R} = \displaystyle\frac{1}{2} R$

ID:(15895, 0)

Concepto

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En un tubo cilíndrico, la profundidad está relacionada con el flujo de la siguiente manera:

Si integramos la sección o superficie ($S$), podemos calcular cómo varía la superficie en función de la profundidad en un tubo no lleno ($h$) mediante la integral sobre el radio hasta el radio del tubo ($R$), lo que resulta en:

$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$

Para flujos pequeños, donde la profundidad es significativamente menor que el radio, la relación entre la sección y la profundidad se simplifica considerablemente. Al resolver la ecuación de profundidad, obtenemos:

ID:(15896, 0)

Concepto

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El perímetro hidrodinamico ($P_H$) en un tubo parcialmente lleno corresponde a los bordes de la sección que están en contacto con el líquido, es decir, el arco que toca la pared del tubo y la superficie:

De esta manera, podemos expresarlo en función de el radio del tubo ($R$) y la profundidad en un tubo no lleno ($h$) como:

$P_H = 2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right) + 2\sqrt{2Rh-h^2}$

Para flujos pequeños, donde la profundidad es considerablemente menor que el radio, esta relación se simplifica y establece una conexión más directa entre la sección transversal y la profundidad:

ID:(15897, 0)

Descripción

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Si reemplazamos el factor de fricción de Darcy-Weisbach en el límite laminar, dado por

en la ecuación de Darcy-Weisbach, expresada como

y utilizamos la definición del número de Reynolds $Re$, podemos demostrar que el flujo está gobernado por

que corresponde a la ecuación de Hagen-Poiseuille.

ID:(14530, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La ecuación de Darcy-Weisbach permite calcular la diferencia de presión ($\Delta p$) en función de la densidad del líquido ($\rho_w$), la diámetro hidrodinámico ($D_H$), el factor de fricción de Darcy-Weisbach ($f_D$), el largo de tubo ($\Delta L$) y la velocidad media del fluido ($v$) a través de:

$\Delta p = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ D_H } f_D \displaystyle\frac{1}{2} \rho_w j_s ^2$

Condiciones

Variables

$j_s$

Densidad de flujo

$m/s$

7220

$\rho_w$

Densidad del líquido

$kg/m^3$

5407

$D_H$

Diámetro hidrodinámico

$m$

6612

$\Delta p$

Diferencia de presión

$Pa$

6273

$f_D$

Factor de fricción de Darcy-Weisbach

$-$

5822

$\Delta L$

Largo de tubo

$m$

5430

Relación

ID:(14526, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Se puede representar una densidad de flujo ($j_s$) en términos de el flujo de volumen ($J_V$) utilizando la sección o superficie ($S$) mediante la siguiente fórmula:

$j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

Condiciones

Variables

$j_s$

Densidad de flujo

$m/s$

7220

$J_V$

Flujo de volumen

$m^3/s$

5448

$S$

Sección del flujo

$m^2$

6011

Relación

Desarrollo

El flujo se define como el volumen el elemento de volumen ($\Delta V$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$), lo cual se expresa en la siguiente ecuación:

$J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$

y el volumen es el producto de la sección la sección del tubo ($S$) por el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$):

$\Delta V = S \Delta s$

Dado que el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$) equivale a la velocidad, se representa con:

$j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Por lo tanto, el flujo es una densidad de flujo ($j_s$), que se calcula mediante:

$j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

ID:(4349, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La diámetro hidrodinámico ($D_H$) se puede calcular a partir de la sección del tubo ($S$) y el perímetro ($P$) mediante:

$D_H = \displaystyle\frac{ 4 S }{ P }$

Condiciones

Variables

$D_H$

Diámetro hidrodinámico

$m$

6612

$P$

Perímetro

$m$

5818

$S$

Sección del flujo

$m^2$

6011

Relación

ID:(14527, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El radio hidráulico ($R_H$) se puede calcular a partir de la sección del tubo ($S$) y el perímetro hidrodinamico ($P_H$) mediante:

$R_H = \displaystyle\frac{ S }{ P_H }$

Condiciones

Variables

$P_H$

Perímetro hidrodinamico

$m$

10088

$R_H$

Radio hidráulico

$m$

5816

$S$

Sección del flujo

$m^2$

6011

Relación

ID:(14531, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La profundidad en un tubo no lleno ($h$) se puede estimar cuando el nivel del líquido es bajo, es decir, cuando dicho nivel es mucho menor que el radio del tubo, en función de la sección o superficie ($S$) y el radio del tubo ($R$):

$h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$

Condiciones

Variables

$h$

Profundidad en un tubo no lleno

$m$

10091

$R$

Radio del tubo

$m$

5417

$S$

Sección del flujo

$m^2$

6011

Relación

Desarrollo

La sección o superficie ($S$) del tubo que contiene el líquido se puede expresar como una función de la profundidad en un tubo no lleno ($h$) integrando sobre el radio hasta el radio del tubo ($R$):

$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$

Si desarrollamos esta expresión en términos del factor $h/R$ en el límite $h\ll R$, obtenemos en primer orden:

$S = \sqrt{\displaystyle\frac{2^3}{3^2} R h ^3}$

Si resolvemos para la profundidad, obtenemos finalmente:

$h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$

ID:(14541, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El perímetro hidrodinamico ($P_H$) se puede estimar a partir de la profundidad en un tubo no lleno ($h$) y el radio del tubo ($R$) mediante:

$P_H = \sqrt{2^5 R h }$

Condiciones

Variables

$P_H$

Perímetro hidrodinamico

$m$

10088

$h$

Profundidad en un tubo no lleno

$m$

10091

$R$

Radio del tubo

$m$

5417

Relación

Desarrollo

Dado que el ángulo entre el radio en el borde de la superficie del líquido y la vertical se puede calcular con la profundidad en un tubo no lleno ($h$) y el radio del tubo ($R$) mediante:

$\phi =\arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$

El arco correspondiente es $R\phi$, por lo tanto, el arco total es:

$2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$

De manera análoga, la mitad de la superficie se puede determinar utilizando el teorema de Pitágoras, lo que resulta en:

$\sqrt{2Rh - h^2}$

Por lo tanto, el perímetro hidrodinamico ($P_H$) se expresa como:

$P_H = 2\sqrt{2Rh - h^2}+2R\arcsin\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$

En el límite de una altura pequeña, donde $h\ll R$, esta expresión se puede desarrollar, resultando en:

$P_H = \sqrt{2^5 R h }$

ID:(14542, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El criterio clave para determinar si un medio es laminar o turbulento es el llamado numero de Reynold que compara la energía asociada a la inercia con aquella asociada a la viscosiadad. La primera depende de la densidad ($\rho$), la velocidad media del fluido ($v$) y la dimensión típica del sistema ($R$) mientras que la segunda de la viscosidad ($\eta$) con lo que se define:

$Re =\displaystyle\frac{ \rho R j_s }{ \eta }$

$Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

Condiciones

Variables

$\rho$

Densidad

$kg/m^3$

5342

$R$

Dimensión típica del sistema

$m$

5433

$Re$

Número de Reynold

$-$

5432

$v$

$j_s$

Densidad de flujo

$m/s$

7220

$\eta$

Viscosidad

$Pa s$

5422

Relación

ID:(3177, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el límite de bajos el número de Reynold ($Re$), el diagrama de Moody muestra que el factor de fricción de Darcy-Weisbach ($f_D$) es igual a:

$f_D = \displaystyle\frac{64}{ Re }$

Condiciones

Variables

$f_D$

Factor de fricción de Darcy-Weisbach

$-$

5822

$Re$

Número de Reynold

$-$

5432

Relación

donde $Re$ es el número de Reynolds. Esto es válido para números de Reynolds hasta 2000. Más allá de este valor, la rugosidad de la pared comienza a influir en la destabilización del flujo y en la formación de turbulencias.

ID:(14529, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La ecuación de Colebrook-White para el caso de un tubo cerrado:

es una ecuación implícita utilizada para determinar el factor de fricción de Darcy-Weisbach ($f_D$). Para resolver esta ecuación, se han desarrollado diversas aproximaciones que varían en complejidad y precisión. Una de las aproximaciones más efectivas, que abarca un amplio rango de números de Reynolds $Re$, es la propuesta por S.E. Haaland:

$f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{3.7 D_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$

Condiciones

Variables

$\epsilon$

Desniveles

$m$

5410

$D_H$

Diámetro hidrodinámico

$m$

6612

$f_D$

Factor de fricción de Darcy-Weisbach

$-$

5822

$Re$

Número de Reynold

$-$

5432

Relación

Desarrollo

La solución original de S.E. Haaland es la siguiente:

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/D_H}{3.7}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)$

Puede resolverse para obtener la expresión del factor de fricción $f_D$ de la siguiente manera:

$f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{3.7 D_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$

ID:(14535, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La ecuación de Colebrook-White para el caso de un tubo cerrado:

es una ecuación implícita utilizada para determinar el factor de fricción de Darcy-Weisbach ($f_D$). Para resolver esta ecuación, se han desarrollado diversas aproximaciones que varían en complejidad y precisión. Una de las aproximaciones más efectivas, que abarca un amplio rango de números de Reynolds $Re$, es la propuesta por S.E. Haaland:

$f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{12 R_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$

Condiciones

Variables

$\epsilon$

Desniveles

$m$

5410

$f_D$

Factor de fricción de Darcy-Weisbach

$-$

5822

$Re$

Número de Reynold

$-$

5432

$R_H$

Radio hidráulico

$m$

5816

Relación

Desarrollo

La solución original de S.E. Haaland es la siguiente:

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/R_H}{12}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)$

Puede resolverse para obtener la expresión del factor de fricción $f_D$ de la siguiente manera:

$f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{12 R_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$

ID:(14534, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La diferencia de alturas, representada por la diferencia de altura ($\Delta h$), implica que la presión en ambas columnas es diferente. En particular, la diferencia de presión ($\Delta p$) es una función de la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la diferencia de altura ($\Delta h$), de la siguiente manera:

$\Delta p = \rho_w g \Delta h$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\Delta h$

Altura de la columna del liquido

$m$

5819

$\rho_w$

Densidad del líquido

$kg/m^3$

5407

$\Delta p$

Diferencial de la presión

$Pa$

6673

Relación

Desarrollo

Si hay la diferencia de presión ($\Delta p$) entre dos puntos, como lo indica la ecuación:

$\Delta p = p_2 - p_1$

podemos usar la presión de la columna de agua ($p$), que es:

$p_t = p_0 + \rho_w g h$

Esto nos da:

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Dado que la diferencia de altura ($\Delta h$) es:

$\Delta h = h_2 - h_1$

la diferencia de presión ($\Delta p$) se puede expresar como:

$\Delta p = \rho_w g \Delta h$

ID:(4345, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La ecuación de Darcy-Weisbach permite calcular la diferencia de presión ($\Delta p$) en función de la densidad del líquido ($\rho_w$), la diámetro hidrodinámico ($D_H$), el factor de fricción de Darcy-Weisbach ($f_D$), el largo de tubo ($\Delta L$) y la velocidad media del fluido ($v$) a través de:

$\Delta h_d = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ 2 g D_H } f_D j_s ^2$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\Delta h_d$

Altura para suplir perdida de energía

$m$

10464

$j_s$

Densidad de flujo

$m/s$

7220

$D_H$

Diámetro hidrodinámico

$m$

6612

$f_D$

Factor de fricción de Darcy-Weisbach

$-$

5822

$\Delta L$

Largo de tubo

$m$

5430

Relación

ID:(15958, 0)