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Turbulente Strömung durch Rohre
Storyboard 
Wenn die Reynoldszahl über 2000 liegt, wird der Fluss in einem Rohr immer instabil und wird schließlich vollständig turbulent. Infolgedessen ist es nicht mehr möglich, die Viskositätsannahme für laminare Strömung zu verwenden, die zur Hagen-Poiseuille-Gesetz führt, und ein alternatives Modell ist erforderlich.
Das Modell, das einen Fluss beschreibt, bei dem die Viskosität irrelevant ist, ist dasjenige, das zur Bernoulli-Gleichung führt. Dieses Modell geht jedoch davon aus, dass die Energiedichte erhalten bleibt. Eine Alternative besteht darin anzunehmen, dass Turbulenzen zu einer Durchmischung führen, bei der die Energiedichte nicht erhalten bleibt, sondern konstant bleibt. In diesem Fall kann der Fluss mit einer Gleichung modelliert werden, die der Bernoulli-Gleichung ähnelt, jedoch eine Korrektur zur Berücksichtigung der Homogenisierung aufgrund von Mischungseffekten enthält.
ID:(1970, 0)
Darcy-Weisbach-Gleichung
Konzept
Wenn der Fluss in einem Rohr modelliert wird und angenommen wird, dass die Energiedichte erhalten bleibt, erhält man die Bernoulli-Gleichung. Diese beschreibt den Fluss unter Verwendung von die Druckunterschied ($\Delta p$) in Abhängigkeit von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) und die Geschwindigkeitsunterschied zwischen Oberflächen ($\Delta v$):
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Im Fall von turbulenter Strömung wirkt der Mischprozess wie eine Reibung, die den Geschwindigkeitsgradienten, der im laminaren Fluss zwischen der Mitte und den Rohrwänden vorhanden ist, verringert. Wenn wir annehmen, dass dieser Mischprozess durch einen einfachen Korrekturfaktor modelliert werden kann, gelangen wir empirisch zur Darcy-Weisbach-Gleichung, die der Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor ($f_D$), der Rohrlänge ($\Delta L$) und die Hydrodynamischer Durchmesser ($D_H$) einbezieht:
| $ \Delta p = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ D_H } f_D \displaystyle\frac{1}{2} \rho_w j_s ^2 $ |
Der Faktor der Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor ($f_D$) wurde empirisch für verschiedene Strömungsbedingungen bestimmt und wird in Abhängigkeit von der Anzahl der Reynold ($Re$) ausgedrückt.
ID:(15893, 0)
Moody Diagramm
Bild
Im Jahr 1944 maß Lewis Ferry Moody den Darcy-Weisbach Reibungsfaktor als Funktion der Reynolds-Zahl und der relativen Rauheit der Wand, was zur Erstellung des folgenden Diagramms führte:
Die relative Rauheit kann geschätzt werden, indem die Größe der Oberflächenrauheit (Höhe der Vorsprünge oder Tiefe der Vertiefungen) im Verhältnis zum hydraulischen Durchmesser berücksichtigt wird.
Es sind zwei unterschiedliche Verhaltensweisen zu beobachten:
• Für Reynolds-Zahlen unter 2000 hängt der Darcy-Weisbach Reibungsfaktor nur von der Reynolds-Zahl ab und folgt einer Beziehung von $64/Re$. Dies entspricht dem laminaren Strömungsregime.
• Für Reynolds-Zahlen über 2000 wird ein Verhalten beobachtet, das sowohl von der Reynolds-Zahl als auch von der relativen Rauheit der Oberfläche des Rohrs abhängt.
ID:(14528, 0)
Hydraulischer Durchmesser
Konzept
Im Zusammenhang mit der Darcy-Weisbach-Gleichung wird eine Hydrodynamischer Durchmesser ($D_H$) verwendet, was einer Verallgemeinerung des traditionellen Durchmessers eines Kreises entspricht. Dies ermöglicht es, einen nicht kreisförmigen Querschnitt zu betrachten und einen äquivalenten Durchmesser basierend auf der Fläche von die Rohr Sektion ($S$) und der Umfang ($P$) mit der folgenden Formel zu berechnen:
| $ D_H = \displaystyle\frac{ 4 S }{ P }$ |
Für einen kreisförmigen Querschnitt erhalten wir den traditionellen Durchmesser eines Kreises wie folgt:
$D_H = \displaystyle\frac{4 S}{P} = \displaystyle\frac{4 \pi R^2}{2 \pi R} = 2R$
ID:(15894, 0)
Hydraulischer Radius
Konzept
Im Zusammenhang mit dem Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor wird ein Hydraulischer Radius ($R_H$) verwendet, was eine Verallgemeinerung des traditionellen Radius eines Kreises darstellt. Auf diese Weise ist es möglich, einen Durchmesser basierend auf der Fläche von die Rohr Sektion ($S$) und dem Umfang im Kontakt mit der Hydrodynamischer Umfang ($P_H$) mithilfe der folgenden Formel zu berechnen:
| $ R_H = \displaystyle\frac{ S }{ P_H }$ |
Für einen kreisförmigen Querschnitt können wir den traditionellen hydraulischen Radius eines Kreises wie folgt berechnen:
$R_H = \displaystyle\frac{S}{P} = \displaystyle\frac{\pi R^2}{2 \pi R} = \displaystyle\frac{1}{2} R$
ID:(15895, 0)
Tiefe einer ungefüllten Röhre
Konzept
In einem zylindrischen Rohr ist die Tiefe wie folgt mit dem Durchfluss verbunden:
Durch die Integration von die Abschnitt oder Bereich ($S$) können wir berechnen, wie sich die Fläche in Abhängigkeit von die Tiefe in einer ungefüllten Tube ($h$) über das Integral bis zum Radius der Rohrradius ($R$) ändert, was ergibt:
$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$
Bei kleinen Durchflüssen, bei denen die Tiefe deutlich geringer ist als der Radius, vereinfacht sich die Beziehung zwischen Querschnittsfläche und Tiefe erheblich. Durch Lösen der Gleichung für die Tiefe erhalten wir:
| $ h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$ |
ID:(15896, 0)
Hydrodynamischer Umfang im ungefüllten Rohr
Konzept
Der Hydrodynamischer Umfang ($P_H$) in einem teilweise gefüllten Rohr entspricht den Rändern des Querschnitts, die mit der Flüssigkeit in Kontakt stehen, also dem Bogen, der sowohl die Rohrwand als auch die Oberfläche berührt:
Dementsprechend kann es allgemein als Funktion von der Rohrradius ($R$) und die Tiefe in einer ungefüllten Tube ($h$) ausgedrückt werden:
$P_H = 2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right) + 2\sqrt{2Rh-h^2}$
Für kleine Durchflüsse, bei denen die Tiefe deutlich kleiner als der Radius ist, vereinfacht sich diese Beziehung zwischen dem Querschnitt und der Tiefe zu:
| $ P_H = \sqrt{2^5 R h }$ |
ID:(15897, 0)
Strömung an der laminaren Grenze
Beschreibung
Wenn wir den Darcy-Weisbach Reibungsfaktor im laminaren Grenzbereich, wie durch
| $ f_D = \displaystyle\frac{64}{ Re }$ |
gegeben, in die Darcy-Weisbach-Gleichung einsetzen, die wie folgt ausgedrückt wird:
| $ \Delta p = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ D_H } f_D \displaystyle\frac{1}{2} \rho_w j_s ^2 $ |
und die Definition der Reynolds-Zahl $Re$ verwenden, können wir zeigen, dass der Fluss durch
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
geregelt wird, was der Hagen-Poiseuille-Gleichung entspricht.
ID:(14530, 0)
Darcy-Weisbach-Gleichung
Gleichung
Die Darcy-Weisbach-Gleichung ermöglicht die Berechnung von die Druckunterschied ($\Delta p$) in Abhängigkeit von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Hydrodynamischer Durchmesser ($D_H$), der Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor ($f_D$), der Rohrlänge ($\Delta L$) und die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) durch:
 $ \Delta p = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ D_H } f_D \displaystyle\frac{1}{2} \rho_w j_s ^2 $ |
ID:(14526, 0)
Volumenstrom und seine Geschwindigkeit
Gleichung
Eine Flussdichte ($j_s$) kann in Bezug auf der Volumenstrom ($J_V$) durch die Abschnitt oder Bereich ($S$) mit der folgenden Formel dargestellt werden:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Der Fluss wird als das Volumen der Volumenelement ($\Delta V$) geteilt durch die Zeit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) definiert, was durch die folgende Gleichung ausgedrückt wird:
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
und das Volumen ist das Produkt der Querschnittsfläche die Rohr Sektion ($S$) mit dem zurückgelegten Weg der Rohrelement ($\Delta s$):
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
Da der zurückgelegte Weg der Rohrelement ($\Delta s$) pro Zeiteinheit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) der Geschwindigkeit entspricht, wird dies durch die folgende Gleichung dargestellt:
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Somit ist der Fluss eine Flussdichte ($j_s$), der mit der folgenden Gleichung berechnet wird:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
ID:(4349, 0)
Hydraulischer Durchmesser
Gleichung
Die Hydrodynamischer Durchmesser ($D_H$) kann aus die Rohr Sektion ($S$) und der Umfang ($P$) berechnet werden mittels:
| $ D_H = \displaystyle\frac{ 4 S }{ P }$ |
ID:(14527, 0)
Hydraulischer Radius
Gleichung
Der Hydraulischer Radius ($R_H$) kann mithilfe von die Rohr Sektion ($S$) und der Hydrodynamischer Umfang ($P_H$) berechnet werden durch:
| $ R_H = \displaystyle\frac{ S }{ P_H }$ |
ID:(14531, 0)
Tiefe einer ungefüllten Röhre
Gleichung
Die Tiefe in einer ungefüllten Tube ($h$) kann geschätzt werden, wenn der Flüssigkeitsstand niedrig ist, also deutlich kleiner als der Radius des Rohrs, in Abhängigkeit von die Abschnitt oder Bereich ($S$) und der Rohrradius ($R$):
| $ h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$ |
Die Abschnitt oder Bereich ($S$) des Rohrs, das die Flüssigkeit enthält, kann als Funktion von die Tiefe in einer ungefüllten Tube ($h$) durch Integration über den Radius bis der Rohrradius ($R$) ausgedrückt werden:
$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$
Wenn wir diesen Ausdruck in Bezug auf den Faktor $h/R$ im Grenzwert $h\ll R$ entwickeln, erhalten wir im ersten Grad:
$S = \sqrt{\displaystyle\frac{2^3}{3^2} R h ^3}$
Wenn wir dies nach der Tiefe auflösen, erhalten wir schließlich:
| $ h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$ |
ID:(14541, 0)
Hydrodynamischer Umfang im ungefüllten Rohr
Gleichung
Der Hydrodynamischer Umfang ($P_H$) kann aus die Tiefe in einer ungefüllten Tube ($h$) und der Rohrradius ($R$) berechnet werden mittels:
| $ P_H = \sqrt{2^5 R h }$ |
Da der Winkel zwischen dem Radius am Rand der Flüssigkeitsoberfläche und der Vertikalen mit die Tiefe in einer ungefüllten Tube ($h$) und der Rohrradius ($R$) berechnet werden kann, gilt:
$\phi =\arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$
Der entsprechende Bogen ist $R\phi$, also beträgt der gesamte Bogen:
$2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$
Analog dazu kann die halbe Oberfläche mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden, was zu folgendem Ergebnis führt:
$\sqrt{2Rh - h^2}$
Daher lässt sich der Hydrodynamischer Umfang ($P_H$) wie folgt ausdrücken:
$P_H = 2\sqrt{2Rh - h^2}+2R\arcsin\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$
Im Grenzfall einer kleinen Höhe, wo $h\ll R$, kann diese Gleichung entwickelt werden und führt zu:
| $ P_H = \sqrt{2^5 R h }$ |
ID:(14542, 0)
Reynold Zahl
Gleichung
Das entscheidende Kriterium zur Bestimmung, ob ein Medium laminar oder turbulent ist, ist die sogenannte Reynolds-Zahl, die die Energie, die mit der Trägheit verbunden ist, mit derjenigen vergleicht, die mit der Viskosität verbunden ist. Erstere hängt von die Dichte ($\rho$), die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) und die Typische Abmessungen des Systems ($R$) ab, während letztere von die Viskosität ($\eta$) abhängt. Sie wird definiert als:
| $ Re =\displaystyle\frac{ \rho R j_s }{ \eta }$ |
 $ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$ |
ID:(3177, 0)
Laminare Grenze
Gleichung
Im Grenzbereich niedriger der Anzahl der Reynold ($Re$) zeigt das Moody-Diagramm, dass der Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor ($f_D$) gleich ist:
| $ f_D = \displaystyle\frac{64}{ Re }$ |
wobei $Re$ die Reynoldszahl ist. Dies gilt für Reynoldszahlen bis zu 2000. Über diesem Wert beginnt die Wandrauheit den Strömungsverlauf zu beeinflussen und die Bildung von Turbulenzen zu fördern.
ID:(14529, 0)
Lösung für geschlossene Röhren
Gleichung
Die Colebrook-White-Gleichung für den Fall eines geschlossenen Rohres:
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ f_D }}=-2\log\left(\displaystyle\frac{\epsilon}{3.7 D_H}+\displaystyle\frac{2.51}{ Re \sqrt{ f_D }}\right)$ |
ist eine implizite Gleichung, die zur Bestimmung des Darcy-Weisbach-Reibungsfaktors ($f_D$) verwendet wird. Zur Lösung dieser Gleichung wurden verschiedene Näherungsverfahren entwickelt, die in Bezug auf Komplexität und Genauigkeit variieren. Eine der effektivsten Näherungen, die einen weiten Bereich von Reynolds-Zahlen $Re$ abdeckt, stammt von S.E. Haaland:
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{3.7 D_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
Die ursprüngliche Lösung von S.E. Haaland lautet wie folgt:
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/D_H}{3.7}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)$
Sie kann umgestellt werden, um den Ausdruck für den Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor $f_D$ wie folgt zu erhalten:
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{3.7 D_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
ID:(14535, 0)
Lösung für offene Röhren
Gleichung
Die Colebrook-White-Gleichung für den Fall eines geschlossenen Rohres:
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ f_D }}=-2\log\left(\displaystyle\frac{\epsilon}{12 R_H}+\displaystyle\frac{2.51}{ Re \sqrt{ f_D }}\right)$ |
ist eine implizite Gleichung, die zur Bestimmung des Darcy-Weisbach-Reibungsfaktors ($f_D$) verwendet wird. Zur Lösung dieser Gleichung wurden verschiedene Näherungsverfahren entwickelt, die in Bezug auf Komplexität und Genauigkeit variieren. Eine der effektivsten Näherungen, die einen weiten Bereich von Reynolds-Zahlen $Re$ abdeckt, stammt von S.E. Haaland:
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{12 R_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
Die ursprüngliche Lösung von S.E. Haaland lautet wie folgt:
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/R_H}{12}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)$
Sie kann umgestellt werden, um den Ausdruck für den Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor $f_D$ wie folgt zu erhalten:
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{12 R_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
ID:(14534, 0)
Druckunterschied zwischen Säulen
Gleichung
Der Höhenunterschied, dargestellt durch die Höhendifferenz ($\Delta h$), bedeutet, dass der Druck in beiden Säulen unterschiedlich ist. Insbesondere ist die Druckunterschied ($\Delta p$) eine Funktion von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhendifferenz ($\Delta h$), wie folgt:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Wenn zwischen zwei Punkten die Druckunterschied ($\Delta p$) existiert, wie durch die Gleichung bestimmt:
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
können wir die Druck der Wassersäule ($p$) verwenden, definiert als:
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Dies ergibt:
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Da die Höhendifferenz ($\Delta h$) wie folgt definiert ist:
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
kann die Druckunterschied ($\Delta p$) wie folgt ausgedrückt werden:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
ID:(4345, 0)
Energieverlust durch Turbulenzen und Reibung
Gleichung
Die Darcy-Weisbach-Gleichung ermöglicht die Berechnung von die Druckunterschied ($\Delta p$) in Abhängigkeit von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Hydrodynamischer Durchmesser ($D_H$), der Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor ($f_D$), der Rohrlänge ($\Delta L$) und die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) durch:
| $ \Delta h_d = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ 2 g D_H } f_D j_s ^2 $ |
ID:(15958, 0)