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Écoulement turbulent à travers des tubes
Storyboard 
Si le nombre de Reynolds dépasse 2000, l'écoulement dans un tube devient toujours instable et finit par devenir complètement turbulent. Par conséquent, il n'est plus possible d'utiliser l'approximation d'écoulement visqueux laminaire qui donne lieu à la loi de Hagen-Poiseuille, et un modèle alternatif est nécessaire.
Le modèle qui décrit un écoulement où la viscosité est négligeable est celui qui donne naissance à l'équation de Bernoulli. Cependant, ce modèle suppose que la densité d'énergie soit conservée. Une alternative consiste à supposer que les turbulences conduisent à un mélange de telle manière que la densité d'énergie ne soit pas conservée mais reste constante. Dans ce cas, l'écoulement peut être modélisé à l'aide d'une équation similaire à celle de Bernoulli, mais avec une correction pour prendre en compte l'homogénéisation due aux effets de mélange.
ID:(1970, 0)
Équation de Darcy-Weisbach
Concept
Lorsqu'on modélise l'écoulement dans un tube en supposant que la densité d'énergie est conservée, on obtient l'équation de Bernoulli, qui décrit l'écoulement à l'aide de a différence de pression ($\Delta p$) en fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a vitesse moyenne du fluide ($v$) et a différence de vitesse entre les surfaces ($\Delta v$) :
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Dans le cas dun écoulement turbulent, le processus de mélange agit comme une friction qui réduit le gradient de vitesse présent dans lécoulement laminaire entre le centre et les parois du tube. Si lon suppose que cet effet de mélange peut être modélisé par un simple facteur de correction, on arrive empiriquement à léquation de Darcy-Weisbach, qui implique le facteur de frottement Darcy-Weisbach ($f_D$), le longueur du tube ($\Delta L$) et a diamètre hydrodynamique ($D_H$) :
| $ \Delta p = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ D_H } f_D \displaystyle\frac{1}{2} \rho_w j_s ^2 $ |
Le facteur le facteur de frottement Darcy-Weisbach ($f_D$) a été déterminé empiriquement pour différentes conditions d'écoulement et est exprimé en fonction de le le numéro de Reynold ($Re$).
ID:(15893, 0)
Diagramme de Moody
Image
En 1944, Lewis Ferry Moody a mesuré le facteur de frottement de Darcy-Weisbach en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la paroi, ce qui a conduit à la création du diagramme suivant :
La rugosité relative peut être estimée en considérant la taille des irrégularités de surface (hauteur des saillies ou profondeur des rainures) par rapport au diamètre hydraulique.
Deux comportements distincts sont observés :
• Pour des nombres de Reynolds inférieurs à 2000, le facteur de frottement de Darcy-Weisbach dépend uniquement du nombre de Reynolds, suivant une relation de $64/Re$. Cela correspond au régime d'écoulement laminaire.
• Pour des nombres de Reynolds supérieurs à 2000, un comportement est observé qui dépend à la fois du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la surface du tube.
ID:(14528, 0)
Diamètre hydraulique
Concept
Dans le contexte de l'équation de Darcy-Weisbach, on utilise une diamètre hydrodynamique ($D_H$), qui correspond à une généralisation du diamètre traditionnel d'un cercle. Cela permet de considérer une section non circulaire et de calculer un diamètre équivalent basé sur la surface de a section de tube ($S$) et son le périmètre ($P$) à l'aide de la formule suivante :
| $ D_H = \displaystyle\frac{ 4 S }{ P }$ |
Pour une section circulaire, nous obtenons le diamètre traditionnel d'un cercle de la manière suivante :
$D_H = \displaystyle\frac{4 S}{P} = \displaystyle\frac{4 \pi R^2}{2 \pi R} = 2R$
ID:(15894, 0)
Rayon hydraulique
Concept
Dans le contexte du facteur de friction de Darcy-Weisbach, on utilise un rayon hydraulique ($R_H$), qui est une généralisation du rayon traditionnel d'un cercle. Ainsi, il est possible de calculer un diamètre basé sur la surface de a section de tube ($S$) et son périmètre en contact avec le périmètre hydrodynamique ($P_H$) à l'aide de la formule suivante :
| $ R_H = \displaystyle\frac{ S }{ P_H }$ |
Pour une section circulaire, nous pouvons obtenir le rayon hydraulique traditionnel d'un cercle de la manière suivante :
$R_H = \displaystyle\frac{S}{P} = \displaystyle\frac{\pi R^2}{2 \pi R} = \displaystyle\frac{1}{2} R$
ID:(15895, 0)
Profondeur d'un tube non rempli
Concept
Dans un tube cylindrique, la profondeur est liée au débit de la manière suivante :
En intégrant a coupe ou surface ($S$), nous pouvons calculer comment la surface varie en fonction de a profondeur dans un tube non rempli ($h$) à travers l'intégrale sur le rayon jusqu'à Le rayon du tube ($R$), ce qui donne :
$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$
Pour les petits débits, où la profondeur est significativement inférieure au rayon, la relation entre la section transversale et la profondeur se simplifie considérablement. En résolvant l'équation de profondeur, nous obtenons :
| $ h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$ |
ID:(15896, 0)
Périmètre hydrodynamique en tube non rempli
Concept
Le périmètre hydrodynamique ($P_H$) dans un tube partiellement rempli correspond aux bords de la section en contact avec le liquide, cest-à-dire larc qui touche à la fois la paroi du tube et la surface :
Ainsi, on peut lexprimer en fonction de le rayon du tube ($R$) et a profondeur dans un tube non rempli ($h$) de la manière suivante :
$P_H = 2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right) + 2\sqrt{2Rh-h^2}$
Pour les faibles débits, lorsque la profondeur est nettement inférieure au rayon, cela simplifie la relation entre la section transversale et la profondeur :
| $ P_H = \sqrt{2^5 R h }$ |
ID:(15897, 0)
Écoulement à la limite laminaire
Description
Si nous remplaçons le facteur de frottement de Darcy-Weisbach dans la limite laminaire, donné par
| $ f_D = \displaystyle\frac{64}{ Re }$ |
dans l'équation de Darcy-Weisbach, exprimée comme
| $ \Delta p = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ D_H } f_D \displaystyle\frac{1}{2} \rho_w j_s ^2 $ |
et utilisons la définition du nombre de Reynolds $Re$, nous pouvons démontrer que l'écoulement est régi par
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
ce qui correspond à l'équation de Hagen-Poiseuille.
ID:(14530, 0)
Équation de Darcy-Weisbach
Équation
L'équation de Darcy-Weisbach permet de calculer a différence de pression ($\Delta p$) en fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a diamètre hydrodynamique ($D_H$), le facteur de frottement Darcy-Weisbach ($f_D$), le longueur du tube ($\Delta L$) et a vitesse moyenne du fluide ($v$) à travers :
 $ \Delta p = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ D_H } f_D \displaystyle\frac{1}{2} \rho_w j_s ^2 $ |
ID:(14526, 0)
Flux volumique et sa vitesse
Équation
Une densité de flux ($j_s$) peut être exprimé en termes de le volumique flux ($J_V$) à l'aide de a coupe ou surface ($S$) par la formule suivante :
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Le flux est défini comme le volume le élément de volume ($\Delta V$) divisé par le temps le temps écoulé ($\Delta t$), ce qui est exprimé dans l'équation suivante :
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
et le volume est égal à la section transversale a section de tube ($S$) multipliée par la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) :
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
Étant donné que la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) par unité de temps le temps écoulé ($\Delta t$) correspond à la vitesse, elle est représentée par :
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Ainsi, le flux est une densité de flux ($j_s$), qui est calculé à l'aide de :
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
ID:(4349, 0)
Diamètre hydraulique
Équation
A diamètre hydrodynamique ($D_H$) peut être calculé à partir de a section de tube ($S$) et le périmètre ($P$) via :
| $ D_H = \displaystyle\frac{ 4 S }{ P }$ |
ID:(14527, 0)
Rayon hydraulique
Équation
Le rayon hydraulique ($R_H$) peut être calculé à l'aide de a section de tube ($S$) et le périmètre hydrodynamique ($P_H$) via :
| $ R_H = \displaystyle\frac{ S }{ P_H }$ |
ID:(14531, 0)
Profondeur d'un tube non rempli
Équation
A profondeur dans un tube non rempli ($h$) peut être estimé lorsque le niveau du liquide est bas, c'est-à-dire lorsque ce niveau est bien inférieur au rayon du tube, en fonction de a coupe ou surface ($S$) et le rayon du tube ($R$) :
| $ h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$ |
A coupe ou surface ($S$) du tube contenant le liquide peut être exprimé en fonction de a profondeur dans un tube non rempli ($h$) en intégrant sur le rayon jusqu'à Le rayon du tube ($R$) :
$S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)$
Si nous développons cette expression en fonction du facteur $h/R$ dans la limite $h\ll R$, nous obtenons, au premier ordre :
$S = \sqrt{\displaystyle\frac{2^3}{3^2} R h ^3}$
Si nous résolvons pour la profondeur, nous obtenons finalement:
| $ h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$ |
ID:(14541, 0)
Périmètre hydrodynamique en tube non rempli
Équation
Le périmètre hydrodynamique ($P_H$) peut être estimé à partir de a profondeur dans un tube non rempli ($h$) et le rayon du tube ($R$) en utilisant :
| $ P_H = \sqrt{2^5 R h }$ |
Étant donné que l'angle entre le rayon au bord de la surface du liquide et la verticale peut être calculé avec a profondeur dans un tube non rempli ($h$) et le rayon du tube ($R$) via :
$\phi =\arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$
L'arc correspondant est $R\phi$, donc l'arc total est :
$2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$
De manière analogue, la moitié de la surface peut être déterminée en utilisant le théorème de Pythagore, ce qui donne :
$\sqrt{2Rh - h^2}$
Ainsi, le périmètre hydrodynamique ($P_H$) s'exprime comme suit :
$P_H = 2\sqrt{2Rh - h^2}+2R\arcsin\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)$
Dans le cas d'une petite hauteur, où $h\ll R$, cette expression peut être développée, aboutissant à :
| $ P_H = \sqrt{2^5 R h }$ |
ID:(14542, 0)
Le numéro de Reynold
Équation
Le critère clé pour déterminer si un milieu est laminé ou turbulent est le numéro de Reynolds, qui compare l'énergie associée à l'inertie à celle associée à la viscosité. La première dépend de a densité ($\rho$), a vitesse moyenne du fluide ($v$) et a dimension typique du système ($R$), tandis que la seconde dépend de a viscosité ($\eta$), le définissant ainsi :
| $ Re =\displaystyle\frac{ \rho R j_s }{ \eta }$ |
 $ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$ |
ID:(3177, 0)
Limite laminaire
Équation
Dans la limite de faibles le le numéro de Reynold ($Re$), le diagramme de Moody indique que le facteur de frottement Darcy-Weisbach ($f_D$) est égal à :
| $ f_D = \displaystyle\frac{64}{ Re }$ |
où $Re$ est le nombre de Reynolds. Ceci s'applique pour les nombres de Reynolds jusqu'à 2000. Au-delà de cette valeur, la rugosité de la paroi commence à influencer la déstabilisation de l'écoulement et la formation de turbulences.
ID:(14529, 0)
Solution pour tube fermé
Équation
L'équation de Colebrook-White pour le cas d'un tube fermé :
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ f_D }}=-2\log\left(\displaystyle\frac{\epsilon}{3.7 D_H}+\displaystyle\frac{2.51}{ Re \sqrt{ f_D }}\right)$ |
est une équation implicite utilisée pour déterminer le coefficient de friction de Darcy-Weisbach ($f_D$). Pour résoudre cette équation, plusieurs approximations ont été développées, variant en termes de complexité et de précision. L'une des approximations les plus efficaces couvrant une large gamme de nombres de Reynolds $Re$ est celle proposée par S.E. Haaland :
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{3.7 D_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
La solution originale de S.E. Haaland est la suivante:
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/D_H}{3.7}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)$
Elle peut être réorganisée pour obtenir l'expression du facteur de friction de Darcy-Weisbach $f_D$ comme suit :
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{3.7 D_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
ID:(14535, 0)
Solution pour tube ouvert
Équation
L'équation de Colebrook-White pour le cas d'un tube fermé :
| $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ f_D }}=-2\log\left(\displaystyle\frac{\epsilon}{12 R_H}+\displaystyle\frac{2.51}{ Re \sqrt{ f_D }}\right)$ |
est une équation implicite utilisée pour déterminer le coefficient de friction de Darcy-Weisbach ($f_D$). Pour résoudre cette équation, plusieurs approximations ont été développées, variant en termes de complexité et de précision. L'une des approximations les plus efficaces couvrant une large gamme de nombres de Reynolds $Re$ est celle proposée par S.E. Haaland :
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{12 R_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
La solution originale de S.E. Haaland est la suivante:
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/R_H}{12}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)$
Elle peut être réorganisée pour obtenir l'expression du facteur de friction de Darcy-Weisbach $f_D$ comme suit :
| $ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{12 R_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$ |
ID:(14534, 0)
Différence de pression entre les colonnes
Équation
La différence de hauteur, représentée par a différence de hauteur ($\Delta h$), implique que la pression dans les deux colonnes est différente. En particulier, a différence de pression ($\Delta p$) est une fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), et a différence de hauteur ($\Delta h$), comme suit :
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
S'il existe a différence de pression ($\Delta p$) entre deux points, comme le détermine l'équation :
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
nous pouvons utiliser a pression de la colonne d'eau ($p$), qui est définie comme suit :
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Cela donne :
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Comme a différence de hauteur ($\Delta h$) est définie comme suit :
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
a différence de pression ($\Delta p$) peut être exprimée comme suit :
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
ID:(4345, 0)
Perte d'énergie due aux turbulences et aux frottements
Équation
L'équation de Darcy-Weisbach permet de calculer a différence de pression ($\Delta p$) en fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a diamètre hydrodynamique ($D_H$), le facteur de frottement Darcy-Weisbach ($f_D$), le longueur du tube ($\Delta L$) et a vitesse moyenne du fluide ($v$) à travers :
| $ \Delta h_d = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ 2 g D_H } f_D j_s ^2 $ |
ID:(15958, 0)