Utilizador:
Instabilidade Rayleigh-Bénard
Equação
Quando um líquido está exposto a um campo gravitacional de aceleração $g$ e se encontra entre duas placas horizontais com temperaturas superiores $T_t$ e inferiores $T_b$, sendo a temperatura inferior maior que a superior, gera-se espontaneamente uma corrente se o número de Rayleigh
 $R_c=\displaystyle\frac{g\alpha}{d\nu}(T_b-T_t)L^3$ |
ultrapassa um valor crítico. Nesse caso, $L$ é a distância entre as camadas, $d$ é a difusividade, $\alpha$ é a expansão térmica e $
u$ é a viscosidade cinemática.
Você pode encontrar mais informações neste link: http://home.iitk.ac.in/~sghorai/NOTES/benard/benard.html
ID:(9216, 0)
Instabilidade de Rayleigh-Bénard, limite de arestas livres
Equação
O problema de autovalor se torna
$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$
sujeito à condição de contorno
$W=D^2W=D^4W=0 em
A partir disso, podemos mostrar que
$D^{2m}W=0$
para
$z=0,1$
e
$m = 1,2,\cdots$
Segue-se que a solução necessária deve ser
$W=A\sin(n\pi z)$
com
$n=1,2,3,\cdots$
onde A é uma constante e n é um número inteiro. Substituindo W, obtemos a relação de autovalores
$R_a=\frac{(n^2\pi^2+a^2)^3}{a^2}$
Para um
$a^2$
dado, o valor mais baixo de
$R_c$
ocorre quando
$n=1$
, que é o modo mais baixo:
$R_a=\frac{(\pi^2+a^2)^3}{a^2}$
O número crítico de Rayleigh
$R_c$
é obtido encontrando o valor mínimo de
$R_a$
à medida que
$a^2$
varia.
$\frac{dR_a}{da^2}=0\rightarrow a_c=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$
e o correspondente
$R_c$
é dado por
| $R_c=\displaystyle\frac{27}{4}\pi^4$ |
ID:(9217, 0)
Instabilidade de Rayleigh-Bénard, limite de aresta fixo-fixo
Equação
Se estabelecermos a origem no meio da câmara, o problema a ser resolvido é dado por
$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$
sujeito à condição de contorno
$W=DW=(D^2-a^2)^2W=0 em
O problema é simétrico em relação às duas fronteiras, portanto, as funções próprias são divididas em duas classes distintas: (modo par), com simetria de velocidade vertical em relação ao plano médio, e (modo ímpar), com antissimetria de velocidade vertical. O modo par tem uma fileira de células ao longo da vertical, enquanto o modo ímpar tem duas fileiras de células. Suponhamos que a solução esteja na forma
$W=e^{qz}$
onde as raízes $q$ são dadas por
$(q^2-a^2)^3=-R_a^2$
Seja
$R_a^2=\lambda^3a^6$
então as raízes são dadas por
$q^2=-a^2(\lambda-1)$
e
$q^2=a^2\left[1+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
Tomando a raiz quadrada novamente, as raízes são $\pm iq_0$, $\pm q$ e $\pm q^*$, onde $q_0=a\sqrt{\lambda-1}$ e
$re(q)=q_1=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$
$im(q)=q_2=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}-\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$
Aqui, $q^*$ denota o conjugado complexo de $q$. A partir dessas relações, temos
$(q_0^2+a^2)^2=a^4\lambda^2$
$(q^2-a^2)^2=\frac{1}{2}a^4\lambda^2(-1\pm i\sqrt{3})$
Solução para o modo par
A solução para o modo par é expressa como
$W=A\cos(q_0z)+B\cosh(qz)+C\cosh(q^*z)$
Portanto, temos
$DW=-Aq_0\sin(q_0z)+Bq\sinh(qz)+Cq^*\sinh(q^*z)$
$(D^2-a^2)^2W=A(q_0^2+a^2)^2\cos(q_0z)+B(q^2-a^2)+C(q^{*2}-a^2)^2\cosh(q^*z)$
As condições fornecem
$\left[\begin{array}{ccc}\cos(q_0/2) & \cosh(q/2) & \cosh(q^/2) \ \sin(q_0/2) & \sinh(q/2) & \sinh(q^/2) \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A \ B \ C\end{array}\right]=0$
Para uma solução não trivial (após algumas manipulações), devemos ter
$\displaystyle\left\vert\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2) \ \frac{1}{2}(i\sqrt{3}+1) & \frac{1}{2}(i\sqrt{3}-1) & -1\end{array}\right\vert=0$
que, em termos simplificados,
$im\left[(\sqrt{3}+i)q\tanh(q/2)\right]+q_0\tan(q_0/2)=0$
que pode ser escrito como (com mais simplificação)
$-q_0\tan(q_0/2)=\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)+(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)+\cos(q_2)}$
Essa equação deve ser resolvida usando o método de tentativa e erro: para um valor dado de $a$, precisamos encontrar o valor de $\lambda$ e, em seguida, encontrar o valor de $R_a$. Os valores críticos de $a$ e $R_a$ (Reid & Harris, Phys of Fluids, Vol-1) são dados por
$a_c=3.117 e
Tomando $A_0=1$ e $C=B^*$, podemos encontrar $W$ e $\Theta$.
Solução ímpar
A solução ímpar é representada como
$W=A\sin(q_0z)+B\sinh(qz)+C\sinh(q^*z)$
Procedendo de maneira similar, obtemos
$q_0\cot(q_0/2)=\displaystyle\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)-(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)-\cosh(q_2)}$
Neste caso, o valor mínimo de Rayleigh ocorre em $a=5.365$, e o valor correspondente do número de Rayleigh é
| $R=17610.39$ |
.
ID:(9219, 0)
Instabilidade de Rayleigh-Bénard, limite de borda livre fixo
Equação
A solução para o caso em que a superfície superior é livre e a superfície inferior é rígida pode ser deduzida a partir da solução ímpar da caixa rígida-rígida.
O problema é definido por:
$\frac{(D^2-a^2)^3}{W}=-a^2R_aW$
sujeito à condição de contorno:
$W = DW = (D^2-a^2)^2W = 0$
em
$z = 0$
$W = D^2W = D^4W = 0$
em
$z = 1$
As condições de contorno na altura média para a solução ímpar são válidas. Portanto, uma solução ímpar para o limite rígido-rígido em uma profundidade
$d$
fornece uma solução para o limite rígido-livre em uma profundidade
$d/2$
. Assim, utilizando os resultados de estabilidade do caso rígido-rígido, temos:
$a_c = 5.365 / 2 \approx 2.682$
e
$R_c = 17610.39 / 2^4 \approx 1100.65$
[Nota: A partir da forma dimensional de
$\Delta_1^2f + k^2f$
, temos
$a = kL$
(onde
$L$
é a escala de comprimento) como o número de onda adimensional.]
| $$ |
ID:(9218, 0)