Quando um l quido est exposto a um campo gravitacional de acelera o $g$ e se encontra entre duas placas horizontais com temperaturas superiores $T_t$ e inferiores $T_b$, sendo a temperatura inferior maior que a superior, gera-se espontaneamente uma corrente se o n mero de Rayleigh

ultrapassa um valor cr tico. Nesse caso, $L$ a dist ncia entre as camadas, $d$ a difusividade, $\alpha$ a expans o t rmica e $
u$ a viscosidade cinem tica.

Voc pode encontrar mais informa es neste link: http://home.iitk.ac.in/~sghorai/NOTES/benard/benard.html

(ID 9216)

O problema de autovalor se torna

$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$

sujeito condi o de contorno

$W=D^2W=D^4W=0 em z=0,1$

A partir disso, podemos mostrar que

$D^{2m}W=0$

para

$z=0,1$

e

$m = 1,2,\cdots$

Segue-se que a solu o necess ria deve ser

$W=A\sin(n\pi z)$

com

$n=1,2,3,\cdots$

onde A uma constante e n um n mero inteiro. Substituindo W, obtemos a rela o de autovalores

$R_a=\frac{(n^2\pi^2+a^2)^3}{a^2}$

Para um

$a^2$

dado, o valor mais baixo de

$R_c$

ocorre quando

$n=1$

, que o modo mais baixo:

$R_a=\frac{(\pi^2+a^2)^3}{a^2}$

O n mero cr tico de Rayleigh

$R_c$

obtido encontrando o valor m nimo de

$R_a$

medida que

$a^2$

varia.

$\frac{dR_a}{da^2}=0\rightarrow a_c=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$

e o correspondente

$R_c$

dado por

(ID 9217)

Se estabelecermos a origem no meio da c mara, o problema a ser resolvido dado por

$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$

sujeito condi o de contorno

$W=DW=(D^2-a^2)^2W=0 em z=0,1$

O problema sim trico em rela o s duas fronteiras, portanto, as fun es pr prias s o divididas em duas classes distintas: (modo par), com simetria de velocidade vertical em rela o ao plano m dio, e (modo mpar), com antissimetria de velocidade vertical. O modo par tem uma fileira de c lulas ao longo da vertical, enquanto o modo mpar tem duas fileiras de c lulas. Suponhamos que a solu o esteja na forma

$W=e^{qz}$

onde as ra zes $q$ s o dadas por

$(q^2-a^2)^3=-R_a^2$

Seja

$R_a^2=\lambda^3a^6$

ent o as ra zes s o dadas por

$q^2=-a^2(\lambda-1)$

e

$q^2=a^2\left[1+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$

Tomando a raiz quadrada novamente, as ra zes s o $\pm iq_0$, $\pm q$ e $\pm q^*$, onde $q_0=a\sqrt{\lambda-1}$ e

$re(q)=q_1=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$

$im(q)=q_2=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}-\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$

Aqui, $q^*$ denota o conjugado complexo de $q$. A partir dessas rela es, temos

$(q_0^2+a^2)^2=a^4\lambda^2$

$(q^2-a^2)^2=\frac{1}{2}a^4\lambda^2(-1\pm i\sqrt{3})$

Solu o para o modo par

A solu o para o modo par expressa como

$W=A\cos(q_0z)+B\cosh(qz)+C\cosh(q^*z)$

Portanto, temos

$DW=-Aq_0\sin(q_0z)+Bq\sinh(qz)+Cq^*\sinh(q^*z)$

$(D^2-a^2)^2W=A(q_0^2+a^2)^2\cos(q_0z)+B(q^2-a^2)+C(q^{*2}-a^2)^2\cosh(q^*z)$

As condi es fornecem

$\left[\begin{array}{ccc}\cos(q_0/2) & \cosh(q/2) & \cosh(q^/2) \ \sin(q_0/2) & \sinh(q/2) & \sinh(q^/2) \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A \ B \ C\end{array}\right]=0$

Para uma solu o n o trivial (ap s algumas manipula es), devemos ter

$\displaystyle\left\vert\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2) \ \frac{1}{2}(i\sqrt{3}+1) & \frac{1}{2}(i\sqrt{3}-1) & -1\end{array}\right\vert=0$

que, em termos simplificados,

$im\left[(\sqrt{3}+i)q\tanh(q/2)\right]+q_0\tan(q_0/2)=0$

que pode ser escrito como (com mais simplifica o)

$-q_0\tan(q_0/2)=\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)+(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)+\cos(q_2)}$

Essa equa o deve ser resolvida usando o m todo de tentativa e erro: para um valor dado de $a$, precisamos encontrar o valor de $\lambda$ e, em seguida, encontrar o valor de $R_a$. Os valores cr ticos de $a$ e $R_a$ (Reid & Harris, Phys of Fluids, Vol-1) s o dados por

$a_c=3.117 e R_c=1707.762$

Tomando $A_0=1$ e $C=B^*$, podemos encontrar $W$ e $\Theta$.

Solu o mpar

A solu o mpar representada como

$W=A\sin(q_0z)+B\sinh(qz)+C\sinh(q^*z)$

Procedendo de maneira similar, obtemos

$q_0\cot(q_0/2)=\displaystyle\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)-(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)-\cosh(q_2)}$

Neste caso, o valor m nimo de Rayleigh ocorre em $a=5.365$, e o valor correspondente do n mero de Rayleigh

.

(ID 9219)

A solu o para o caso em que a superf cie superior livre e a superf cie inferior r gida pode ser deduzida a partir da solu o mpar da caixa r gida-r gida.

O problema definido por:

$\frac{(D^2-a^2)^3}{W}=-a^2R_aW$

sujeito condi o de contorno:

$W = DW = (D^2-a^2)^2W = 0$

em

$z = 0$

$W = D^2W = D^4W = 0$

em

$z = 1$

As condi es de contorno na altura m dia para a solu o mpar s o v lidas. Portanto, uma solu o mpar para o limite r gido-r gido em uma profundidade

$d$

fornece uma solu o para o limite r gido-livre em uma profundidade

$d/2$

. Assim, utilizando os resultados de estabilidade do caso r gido-r gido, temos:

$a_c = 5.365 / 2 \approx 2.682$

e

$R_c = 17610.39 / 2^4 \approx 1100.65$

[Nota: A partir da forma dimensional de

$\Delta_1^2f + k^2f$

, temos

$a = kL$

(onde

$L$

a escala de comprimento) como o n mero de onda adimensional.]

(ID 9218)