Rayleigh-Bénard

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ID:(1168, 0)

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Instabilidade Rayleigh-Bénard

Equação

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Quando um líquido está exposto a um campo gravitacional de aceleração $g$ e se encontra entre duas placas horizontais com temperaturas superiores $T_t$ e inferiores $T_b$, sendo a temperatura inferior maior que a superior, gera-se espontaneamente uma corrente se o número de Rayleigh

ultrapassa um valor crítico. Nesse caso, $L$ é a distância entre as camadas, $d$ é a difusividade, $\alpha$ é a expansão térmica e $

u$ é a viscosidade cinemática.

Você pode encontrar mais informações neste link: http://home.iitk.ac.in/~sghorai/NOTES/benard/benard.html

ID:(9216, 0)

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Instabilidade de Rayleigh-Bénard, limite de arestas livres

Equação

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O problema de autovalor se torna

$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$

sujeito à condição de contorno

$W=D^2W=D^4W=0 em z=0,1$

A partir disso, podemos mostrar que

$D^{2m}W=0$

para

$z=0,1$

e

$m = 1,2,\cdots$

Segue-se que a solução necessária deve ser

$W=A\sin(n\pi z)$

com

$n=1,2,3,\cdots$

onde A é uma constante e n é um número inteiro. Substituindo W, obtemos a relação de autovalores

$R_a=\frac{(n^2\pi^2+a^2)^3}{a^2}$

Para um

$a^2$

dado, o valor mais baixo de

$R_c$

ocorre quando

$n=1$

, que é o modo mais baixo:

$R_a=\frac{(\pi^2+a^2)^3}{a^2}$

O número crítico de Rayleigh

$R_c$

é obtido encontrando o valor mínimo de

$R_a$

à medida que

$a^2$

varia.

$\frac{dR_a}{da^2}=0\rightarrow a_c=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$

e o correspondente

$R_c$

é dado por

ID:(9217, 0)

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Instabilidade de Rayleigh-Bénard, limite de aresta fixo-fixo

Equação

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Se estabelecermos a origem no meio da câmara, o problema a ser resolvido é dado por

$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$

sujeito à condição de contorno

$W=DW=(D^2-a^2)^2W=0 em z=0,1$

O problema é simétrico em relação às duas fronteiras, portanto, as funções próprias são divididas em duas classes distintas: (modo par), com simetria de velocidade vertical em relação ao plano médio, e (modo ímpar), com antissimetria de velocidade vertical. O modo par tem uma fileira de células ao longo da vertical, enquanto o modo ímpar tem duas fileiras de células. Suponhamos que a solução esteja na forma

$W=e^{qz}$

onde as raízes $q$ são dadas por

$(q^2-a^2)^3=-R_a^2$

Seja

$R_a^2=\lambda^3a^6$

então as raízes são dadas por

$q^2=-a^2(\lambda-1)$

e

$q^2=a^2\left[1+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$

Tomando a raiz quadrada novamente, as raízes são $\pm iq_0$, $\pm q$ e $\pm q^*$, onde $q_0=a\sqrt{\lambda-1}$ e

$re(q)=q_1=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$

$im(q)=q_2=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}-\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$

Aqui, $q^*$ denota o conjugado complexo de $q$. A partir dessas relações, temos

$(q_0^2+a^2)^2=a^4\lambda^2$

$(q^2-a^2)^2=\frac{1}{2}a^4\lambda^2(-1\pm i\sqrt{3})$

Solução para o modo par

A solução para o modo par é expressa como

$W=A\cos(q_0z)+B\cosh(qz)+C\cosh(q^*z)$

Portanto, temos

$DW=-Aq_0\sin(q_0z)+Bq\sinh(qz)+Cq^*\sinh(q^*z)$

$(D^2-a^2)^2W=A(q_0^2+a^2)^2\cos(q_0z)+B(q^2-a^2)+C(q^{*2}-a^2)^2\cosh(q^*z)$

As condições fornecem

$\left[\begin{array}{ccc}\cos(q_0/2) & \cosh(q/2) & \cosh(q^/2) \ \sin(q_0/2) & \sinh(q/2) & \sinh(q^/2) \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A \ B \ C\end{array}\right]=0$

Para uma solução não trivial (após algumas manipulações), devemos ter

$\displaystyle\left\vert\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2) \ \frac{1}{2}(i\sqrt{3}+1) & \frac{1}{2}(i\sqrt{3}-1) & -1\end{array}\right\vert=0$

que, em termos simplificados,

$im\left[(\sqrt{3}+i)q\tanh(q/2)\right]+q_0\tan(q_0/2)=0$

que pode ser escrito como (com mais simplificação)

$-q_0\tan(q_0/2)=\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)+(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)+\cos(q_2)}$

Essa equação deve ser resolvida usando o método de tentativa e erro: para um valor dado de $a$, precisamos encontrar o valor de $\lambda$ e, em seguida, encontrar o valor de $R_a$. Os valores críticos de $a$ e $R_a$ (Reid & Harris, Phys of Fluids, Vol-1) são dados por

$a_c=3.117 e R_c=1707.762$

Tomando $A_0=1$ e $C=B^*$, podemos encontrar $W$ e $\Theta$.

Solução ímpar

A solução ímpar é representada como

$W=A\sin(q_0z)+B\sinh(qz)+C\sinh(q^*z)$

Procedendo de maneira similar, obtemos

$q_0\cot(q_0/2)=\displaystyle\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)-(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)-\cosh(q_2)}$

Neste caso, o valor mínimo de Rayleigh ocorre em $a=5.365$, e o valor correspondente do número de Rayleigh é

.

ID:(9219, 0)

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Instabilidade de Rayleigh-Bénard, limite de borda livre fixo

Equação

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A solução para o caso em que a superfície superior é livre e a superfície inferior é rígida pode ser deduzida a partir da solução ímpar da caixa rígida-rígida.

O problema é definido por:

$\frac{(D^2-a^2)^3}{W}=-a^2R_aW$

sujeito à condição de contorno:

$W = DW = (D^2-a^2)^2W = 0$

em

$z = 0$

$W = D^2W = D^4W = 0$

em

$z = 1$

As condições de contorno na altura média para a solução ímpar são válidas. Portanto, uma solução ímpar para o limite rígido-rígido em uma profundidade

$d$

fornece uma solução para o limite rígido-livre em uma profundidade

$d/2$

. Assim, utilizando os resultados de estabilidade do caso rígido-rígido, temos:

$a_c = 5.365 / 2 \approx 2.682$

e

$R_c = 17610.39 / 2^4 \approx 1100.65$

[Nota: A partir da forma dimensional de

$\Delta_1^2f + k^2f$

, temos

$a = kL$

(onde

$L$

é a escala de comprimento) como o número de onda adimensional.]

ID:(9218, 0)

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