Cuando un l quido est expuesto a un campo gravitacional de aceleraci n $g$ y se encuentra entre dos placas horizontales con temperaturas superiores $T_t$ e inferiores $T_b$, siendo la temperatura inferior mayor que la superior, se genera espont neamente una corriente si el n mero de Rayleigh

supera un valor cr tico. En este caso, $L$ es la distancia entre las capas, $d$ es la difusividad, $\alpha$ es la expansi n t rmica y $

u$ es la viscosidad cinem tica.

Puede encontrar m s informaci n en este enlace: http://home.iitk.ac.in/~sghorai/NOTES/benard/benard.html

(ID 9216)

El problema de autovalor se transforma en

$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$

sujeto a la condici n de borde

$W=D^2W=D^4W=0 con z=0,1$

En vista de esto, podemos demostrar que

$D^{2m}W=0$

para

$z=0,1$

y

$m = 1,2,\cdots$

De ello se sigue que la soluci n requerida debe ser

$W=A\sin(n\pi z)$

con

$n=1,2,3,\cdots$

donde $A$ es una constante y $n$ es un entero. La sustituci n de $W$ conduce a la relaci n de valores propios

$R_a=\frac{(n^2\pi^2+a^2)^3}{a^2}$

Para un valor dado de $a^2$, el valor m s bajo de $R_c$ ocurre cuando $n=1$, que es el modo m s bajo:

$R_a=\frac{(\pi^2+a^2)^3}{a^2}$

El n mero cr tico de Rayleigh $R_c$ se obtiene encontrando el valor m nimo de $R_a$ cuando $a^2$ var a.

$\frac{dR_a}{da^2}=0\rightarrow a_c=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$

y el correspondiente $R_c$ es dado por

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Se estabelecermos a origem na altura m dia da c mara, o problema a ser resolvido dado por

$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$

sujeito condi o de contorno

$W=DW=(D^2-a^2)^2W=0 em z=0,1$

O problema sim trico em rela o aos dois limites, portanto, as fun es pr prias s o divididas em duas classes distintas: (modo par), com simetria de velocidade vertical em rela o ao plano m dio, e (modo mpar), com antissimetria de velocidade vertical. O modo par possui uma fileira de c lulas ao longo da vertical, enquanto o modo mpar possui duas fileiras de c lulas. Suponhamos que a solu o esteja na forma

$W=e^{qz}$

onde as ra zes $q$ s o dadas por

$(q^2-a^2)^3=-R_a^2$

Seja

$R_a^2=\lambda^3a^6$

ent o as ra zes s o dadas por

$q^2=-a^2(\lambda-1)$

e

$q^2=a^2\left[1+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$

Tomando a raiz quadrada novamente, as ra zes s o $\pm iq_0$, $\pm q$ e $\pm q^*$, onde $q_0=a\sqrt{\lambda-1}$ e

$re(q)=q_1=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$

$im(q)=q_2=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}-\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$

Aqui, $q^*$ denota o complexo conjugado de $q$. A partir dessas rela es, temos

$(q_0^2+a^2)^2=a^4\lambda^2$

$(q^2-a^2)^2=\frac{1}{2}a^4\lambda^2(-1\pm i\sqrt{3})$

Soluci n par

La soluci n par se expresa como

$W=A\cos(q_0z)+B\cosh(qz)+C\cosh(q^*z)$

Por lo tanto, tenemos

$DW=-Aq_0\sin(q_0z)+Bq\sinh(qz)+Cq^*\sinh(q^*z)$

$(D^2-a^2)^2W=A(q_0^2+a^2)^2\cos(q_0z)+B(q^2-a^2)+C(q^{*2}-a^2)^2\cosh(q^*z)$

Las condiciones proporcionan

$\left[\begin{array}{ccc}\cos(q_0/2) & \cosh(q/2) & \cosh(q^/2) \ \sin(q_0/2) & \sinh(q/2) & \sinh(q^/2) \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A \ B \ C\end{array}\right]=0$

Para una soluci n no trivial (despu s de algunas manipulaciones), debemos tener

$\displaystyle\left\vert\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2) \ \displaystyle\frac{1}{2}(i\sqrt{3}+1) & \displaystyle\frac{1}{2}(i\sqrt{3}-1) & -1\end{array}\right\vert=0$

que, en t rminos simplificados,

$im\left[(\sqrt{3}+i)q\tanh(q/2)\right]+q_0\tan(q_0/2)=0$

que se puede escribir como (con m s simplificaci n)

$-q_0\tan(q_0/2)=\displaystyle\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)+(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)+\cos(q_2)}$

Esta ecuaci n debe resolverse mediante el m todo de prueba y error: para un valor dado de $a$, necesitamos encontrar el valor de $\lambda$ y luego encontrar el valor de $R_a$. El valor de $a_c$ y $R_c$ (Reid & Harris, Phys of Fluids, Vol-1) se da por

$a_c=3.117 y R_c=1707.762$

Tomando $A_0=1$ y $C=B^*$, podemos encontrar $W$ y $\Theta$.

Soluci n impar

La soluci n impar se representa como

$W=A\sin(q_0z)+B\sinh(qz)+C\sinh(q^*z)$

Procediendo de manera similar, obtenemos

$q_0\cot(q_0/2)=\displaystyle\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)-(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)-\cosh(q_2)}$

En este caso, el valor m nimo de Rayleigh ocurre en $a=5.365$ y el valor correspondiente del n mero de Rayleigh es

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La soluci n para el caso en que la superficie superior est libre y la superficie inferior es r gida puede deducirse de la soluci n impar de la caja r gida-r gida.

El problema se define como:

$\frac{(D^2-a^2)^3}{W}=-a^2R_aW$

sujeto a la condici n de frontera:

$W = DW = (D^2-a^2)^2W = 0$

en

$z = 0$

$W = D^2W = D^4W = 0$

en

$z = 1$

Las condiciones de contorno en la altura media para la soluci n impar son las mismas. En consecuencia, una soluci n impar para el l mite r gido-r gido a una profundidad de

$d$

proporciona una soluci n para el l mite r gido-libre a una profundidad de

$d/2$

. Por lo tanto, utilizando los resultados de estabilidad del caso r gido-r gido, tenemos:

$a_c = 5.365 / 2 \approx 2.682$

y

$R_c = 17610.39 / 2^4 \approx 1100.65$

[Nota: A partir de la forma dimensional de $\Delta_1^2f + k^2f$, tenemos que

$a = kL$

(donde

$L$

es la longitud de escala) como el n mero de onda adimensional.]

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