Rayleigh-Bénard

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Una de las inestabilidades ampliamente estudiadas es la llamada inestabilidad de Rayleigh Bernard que describe la estructura de celdas que se forma cuando un liquido entra en convección en un gradiente de temperatura.

>Modelo

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Inestabilidad de Rayleigh-Bénard

Ecuación

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Cuando un líquido está expuesto a un campo gravitacional de aceleración $g$ y se encuentra entre dos placas horizontales con temperaturas superiores $T_t$ e inferiores $T_b$, siendo la temperatura inferior mayor que la superior, se genera espontáneamente una corriente si el número de Rayleigh

supera un valor crítico. En este caso, $L$ es la distancia entre las capas, $d$ es la difusividad, $\alpha$ es la expansión térmica y $

u$ es la viscosidad cinemática.

Puede encontrar más información en este enlace: http://home.iitk.ac.in/~sghorai/NOTES/benard/benard.html

ID:(9216, 0)

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Inestabilidad de Rayleigh-Bénard, limite bordes libre-libre

Ecuación

>Top, >Modelo

El problema de autovalor se transforma en

$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$

sujeto a la condición de borde

$W=D^2W=D^4W=0 con z=0,1$

En vista de esto, podemos demostrar que

$D^{2m}W=0$

para

$z=0,1$

y

$m = 1,2,\cdots$

De ello se sigue que la solución requerida debe ser

$W=A\sin(n\pi z)$

con

$n=1,2,3,\cdots$

donde $A$ es una constante y $n$ es un entero. La sustitución de $W$ conduce a la relación de valores propios

$R_a=\frac{(n^2\pi^2+a^2)^3}{a^2}$

Para un valor dado de $a^2$, el valor más bajo de $R_c$ ocurre cuando $n=1$, que es el modo más bajo:

$R_a=\frac{(\pi^2+a^2)^3}{a^2}$

El número crítico de Rayleigh $R_c$ se obtiene encontrando el valor mínimo de $R_a$ cuando $a^2$ varía.

$\frac{dR_a}{da^2}=0\rightarrow a_c=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$

y el correspondiente $R_c$ es dado por

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Inestabilidad de Rayleigh-Bénard, limite bordes fijo-fijo

Ecuación

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Se estabelecermos a origem na altura média da câmara, o problema a ser resolvido é dado por

$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$

sujeito à condição de contorno

$W=DW=(D^2-a^2)^2W=0 em z=0,1$

O problema é simétrico em relação aos dois limites, portanto, as funções próprias são divididas em duas classes distintas: (modo par), com simetria de velocidade vertical em relação ao plano médio, e (modo ímpar), com antissimetria de velocidade vertical. O modo par possui uma fileira de células ao longo da vertical, enquanto o modo ímpar possui duas fileiras de células. Suponhamos que a solução esteja na forma

$W=e^{qz}$

onde as raízes $q$ são dadas por

$(q^2-a^2)^3=-R_a^2$

Seja

$R_a^2=\lambda^3a^6$

então as raízes são dadas por

$q^2=-a^2(\lambda-1)$

e

$q^2=a^2\left[1+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$

Tomando a raiz quadrada novamente, as raízes são $\pm iq_0$, $\pm q$ e $\pm q^*$, onde $q_0=a\sqrt{\lambda-1}$ e

$re(q)=q_1=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$

$im(q)=q_2=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}-\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$

Aqui, $q^*$ denota o complexo conjugado de $q$. A partir dessas relações, temos

$(q_0^2+a^2)^2=a^4\lambda^2$

$(q^2-a^2)^2=\frac{1}{2}a^4\lambda^2(-1\pm i\sqrt{3})$

Solución par

La solución par se expresa como

$W=A\cos(q_0z)+B\cosh(qz)+C\cosh(q^*z)$

Por lo tanto, tenemos

$DW=-Aq_0\sin(q_0z)+Bq\sinh(qz)+Cq^*\sinh(q^*z)$

$(D^2-a^2)^2W=A(q_0^2+a^2)^2\cos(q_0z)+B(q^2-a^2)+C(q^{*2}-a^2)^2\cosh(q^*z)$

Las condiciones proporcionan

$\left[\begin{array}{ccc}\cos(q_0/2) & \cosh(q/2) & \cosh(q^/2) \ \sin(q_0/2) & \sinh(q/2) & \sinh(q^/2) \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A \ B \ C\end{array}\right]=0$

Para una solución no trivial (después de algunas manipulaciones), debemos tener

$\displaystyle\left\vert\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2) \ \displaystyle\frac{1}{2}(i\sqrt{3}+1) & \displaystyle\frac{1}{2}(i\sqrt{3}-1) & -1\end{array}\right\vert=0$

que, en términos simplificados,

$im\left[(\sqrt{3}+i)q\tanh(q/2)\right]+q_0\tan(q_0/2)=0$

que se puede escribir como (con más simplificación)

$-q_0\tan(q_0/2)=\displaystyle\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)+(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)+\cos(q_2)}$

Esta ecuación debe resolverse mediante el método de prueba y error: para un valor dado de $a$, necesitamos encontrar el valor de $\lambda$ y luego encontrar el valor de $R_a$. El valor de $a_c$ y $R_c$ (Reid & Harris, Phys of Fluids, Vol-1) se da por

$a_c=3.117 y R_c=1707.762$

Tomando $A_0=1$ y $C=B^*$, podemos encontrar $W$ y $\Theta$.

Solución impar

La solución impar se representa como

$W=A\sin(q_0z)+B\sinh(qz)+C\sinh(q^*z)$

Procediendo de manera similar, obtenemos

$q_0\cot(q_0/2)=\displaystyle\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)-(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)-\cosh(q_2)}$

En este caso, el valor mínimo de Rayleigh ocurre en $a=5.365$ y el valor correspondiente del número de Rayleigh es

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Inestabilidad de Rayleigh-Bénard, limite bordes fijo-libre

Ecuación

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La solución para el caso en que la superficie superior está libre y la superficie inferior es rígida puede deducirse de la solución impar de la caja rígida-rígida.

El problema se define como:

$\frac{(D^2-a^2)^3}{W}=-a^2R_aW$

sujeto a la condición de frontera:

$W = DW = (D^2-a^2)^2W = 0$

en

$z = 0$

$W = D^2W = D^4W = 0$

en

$z = 1$

Las condiciones de contorno en la altura media para la solución impar son las mismas. En consecuencia, una solución impar para el límite rígido-rígido a una profundidad de

$d$

proporciona una solución para el límite rígido-libre a una profundidad de

$d/2$

. Por lo tanto, utilizando los resultados de estabilidad del caso rígido-rígido, tenemos:

$a_c = 5.365 / 2 \approx 2.682$

y

$R_c = 17610.39 / 2^4 \approx 1100.65$

[Nota: A partir de la forma dimensional de $\Delta_1^2f + k^2f$, tenemos que

$a = kL$

(donde

$L$

es la longitud de escala) como el número de onda adimensional.]

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