Lorsqu\'un liquide est expos un champ gravitationnel d\'acc l ration $g$ et qu\'il se trouve entre deux plaques horizontales avec des temp ratures sup rieures $T_t$ et inf rieures $T_b$, la temp rature inf rieure tant plus lev e que la sup rieure, un courant se forme spontan ment si le nombre de Rayleigh

$R_c=\displaystyle\frac{g\alpha}{d\nu}(T_b-T_t)L^3$

d passe une valeur critique. Dans ce cas, $L$ repr sente la distance entre les couches, $d$ est la diffusivit , $\alpha$ est l\'expansion thermique et $
u$ est la viscosit cin matique.

Vous pouvez trouver plus d\'informations sur ce lien : http://home.iitk.ac.in/~sghorai/NOTES/benard/benard.html

(ID 9216)

Le probl me des valeurs propres devient

$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$

soumis la condition aux limites

$W=D^2W=D^4W=0 pour z=0,1$

partir de cela, nous pouvons montrer que

$D^{2m}W=0$

pour

$z=0,1$

et

$m = 1,2,\cdots$

Il en d coule que la solution requise doit tre

$W=A\sin(n\pi z)$

avec

$n=1,2,3,\cdots$

o A est une constante et n est un entier. En substituant W, on obtient la relation des valeurs propres

$R_a=\frac{(n^2\pi^2+a^2)^3}{a^2}$

Pour une valeur donn e de

$a^2$

, la valeur la plus basse de

$R_c$

se produit lorsque

$n=1$

, qui est le mode le plus bas :

$R_a=\frac{(\pi^2+a^2)^3}{a^2}$

Le nombre critique de Rayleigh

$R_c$

est obtenu en trouvant la valeur minimale de

$R_a$

lorsque

$a^2$

varie.

$\frac{dR_a}{da^2}=0\rightarrow a_c=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$

et le

$R_c$

correspondant est donn par

$R_c=\displaystyle\frac{27}{4}\pi^4$

(ID 9217)

Si nous fixons l\'origine au milieu de la chambre, le probl me r soudre est donn par

$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$

soumis la condition aux limites

$W=DW=(D^2-a^2)^2W=0 z=0,1$

Le probl me est sym trique par rapport aux deux limites, donc les fonctions propres sont divis es en deux classes distinctes : le mode pair, qui a une sym trie de vitesse verticale par rapport au plan m dian, et le mode impair, qui a une antisym trie de vitesse verticale. Le mode pair a une rang e de cellules le long de la verticale, tandis que le mode impair a deux rang es de cellules. Supposons que la solution soit de la forme

$W=e^{qz}$

o les racines $q$ sont donn es par

$(q^2-a^2)^3=-R_a^2$

Soit

$R_a^2=\lambda^3a^6$

alors les racines sont donn es par

$q^2=-a^2(\lambda-1)$

et

$q^2=a^2\left[1+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$

En prenant nouveau la racine carr e, les racines sont $\pm iq_0$, $\pm q$ et $\pm q^*$, o $q_0=a\sqrt{\lambda-1}$ et

$re(q)=q_1=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$

$im(q)=q_2=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}-\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$

Ici, $q^*$ d signe le conjugu complexe de $q$. partir de ces relations, nous avons

$(q_0^2+a^2)^2=a^4\lambda^2$

$(q^2-a^2)^2=\frac{1}{2}a^4\lambda^2(-1\pm i\sqrt{3})$

Solution pour le mode pair

La solution pour le mode pair est exprim e comme suit :

$W=A\cos(q_0z)+B\cosh(qz)+C\cosh(q^*z)$

Par cons quent, nous avons

$DW=-Aq_0\sin(q_0z)+Bq\sinh(qz)+Cq^*\sinh(q^*z)$

$(D^2-a^2)^2W=A(q_0^2+a^2)^2\cos(q_0z)+B(q^2-a^2)+C(q^{*2}-a^2)^2\cosh(q^*z)$

Les conditions aux limites fournissent

$\left[\begin{array}{ccc}\cos(q_0/2) & \cosh(q/2) & \cosh(q^/2) \ \sin(q_0/2) & \sinh(q/2) & \sinh(q^/2) \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A \ B \ C\end{array}\right]=0$

Pour une solution non triviale (apr s quelques manipulations), nous devons avoir

$\displaystyle\left\vert\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2) \ \frac{1}{2}(i\sqrt{3}+1) & \frac{1}{2}(i\sqrt{3}-1) & -1\end{array}\right\vert=0$

ce qui se simplifie en

$im\left[(\sqrt{3}+i)q\tanh(q/2)\right]+q_0\tan(q_0/2)=0$

qui peut s\' crire comme (avec une simplification suppl mentaire)

$-q_0\tan(q_0/2)=\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)+(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)+\cos(q_2)}$

Cette quation doit tre r solue en utilisant la m thode des essais et des erreurs : pour une valeur donn e de $a$, nous devons trouver la valeur de $\lambda$ puis trouver la valeur de $R_a$. Les valeurs critiques de $a$ et $R_a$ (Reid & Harris, Phys of Fluids, Vol-1) sont donn es par

$a_c=3.117 et R_c=1707.762$

En prenant $A_0=1$ et $C=B^*$, nous pouvons trouver $W$ et $\Theta$.

Solution impaire

La solution impaire est repr sent e comme suit :

$W=A\sin(q_0z)+B\sinh(qz)+C\sinh(q^*z)$

En proc dant de mani re similaire, on obtient

$q_0\cot(q_0/2)=\displaystyle\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)-(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)-\cosh(q_2)}$

Dans ce cas, la valeur minimale du nombre de Rayleigh se produit $a=5.365$, et la valeur correspondante du nombre de Rayleigh est

$R=17610.39$

.

(ID 9219)

La solution pour le cas o la surface sup rieure est libre et la surface inf rieure est rigide peut tre d duite de la solution impaire de la bo te rigide-rigide.

Le probl me est d fini par :

$\frac{(D^2-a^2)^3}{W}=-a^2R_aW$

sous la condition aux limites :

$W = DW = (D^2-a^2)^2W = 0$

$z = 0$

$W = D^2W = D^4W = 0$

$z = 1$

Les conditions aux limites au milieu de la hauteur pour la solution impaire sont valables. Ainsi, une solution impaire pour la limite rigide-rigide une profondeur

$d$

fournit une solution pour la limite rigide-libre une profondeur

$d/2$

. Par cons quent, en utilisant les r sultats de stabilit du cas rigide-rigide, nous avons :

$a_c = 5.365 / 2 \approx 2.682$

et

$R_c = 17610.39 / 2^4 \approx 1100.65$

[Note : partir de la forme dimensionnelle de

$\Delta_1^2f + k^2f$

, nous avons

$a = kL$

(o

$L$

est l\' chelle de longueur) comme le nombre d\'onde sans dimension.]

$$

(ID 9218)