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Instabilité de Rayleigh-Bénard
Équation 
Lorsqu\'un liquide est exposé à un champ gravitationnel d\'accélération $g$ et qu\'il se trouve entre deux plaques horizontales avec des températures supérieures $T_t$ et inférieures $T_b$, la température inférieure étant plus élevée que la supérieure, un courant se forme spontanément si le nombre de Rayleigh
 $R_c=\displaystyle\frac{g\alpha}{d\nu}(T_b-T_t)L^3$ |
dépasse une valeur critique. Dans ce cas, $L$ représente la distance entre les couches, $d$ est la diffusivité, $\alpha$ est l\'expansion thermique et $
u$ est la viscosité cinématique.
Vous pouvez trouver plus d\'informations sur ce lien : http://home.iitk.ac.in/~sghorai/NOTES/benard/benard.html
ID:(9216, 0)
Instabilité de Rayleigh-Bénard, limite bords libres-libres
Équation
Le problème des valeurs propres devient
$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$
soumis à la condition aux limites
$W=D^2W=D^4W=0 pour
À partir de cela, nous pouvons montrer que
$D^{2m}W=0$
pour
$z=0,1$
et
$m = 1,2,\cdots$
Il en découle que la solution requise doit être
$W=A\sin(n\pi z)$
avec
$n=1,2,3,\cdots$
où A est une constante et n est un entier. En substituant W, on obtient la relation des valeurs propres
$R_a=\frac{(n^2\pi^2+a^2)^3}{a^2}$
Pour une valeur donnée de
$a^2$
, la valeur la plus basse de
$R_c$
se produit lorsque
$n=1$
, qui est le mode le plus bas :
$R_a=\frac{(\pi^2+a^2)^3}{a^2}$
Le nombre critique de Rayleigh
$R_c$
est obtenu en trouvant la valeur minimale de
$R_a$
lorsque
$a^2$
varie.
$\frac{dR_a}{da^2}=0\rightarrow a_c=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$
et le
$R_c$
correspondant est donné par
| $R_c=\displaystyle\frac{27}{4}\pi^4$ |
ID:(9217, 0)
Instabilité de Rayleigh-Bénard, limite de bord fixe-fixe
Équation
Si nous fixons l\'origine au milieu de la chambre, le problème à résoudre est donné par
$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$
soumis à la condition aux limites
$W=DW=(D^2-a^2)^2W=0 à
Le problème est symétrique par rapport aux deux limites, donc les fonctions propres sont divisées en deux classes distinctes : le mode pair, qui a une symétrie de vitesse verticale par rapport au plan médian, et le mode impair, qui a une antisymétrie de vitesse verticale. Le mode pair a une rangée de cellules le long de la verticale, tandis que le mode impair a deux rangées de cellules. Supposons que la solution soit de la forme
$W=e^{qz}$
où les racines $q$ sont données par
$(q^2-a^2)^3=-R_a^2$
Soit
$R_a^2=\lambda^3a^6$
alors les racines sont données par
$q^2=-a^2(\lambda-1)$
et
$q^2=a^2\left[1+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
En prenant à nouveau la racine carrée, les racines sont $\pm iq_0$, $\pm q$ et $\pm q^*$, où $q_0=a\sqrt{\lambda-1}$ et
$re(q)=q_1=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$
$im(q)=q_2=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}-\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$
Ici, $q^*$ désigne le conjugué complexe de $q$. À partir de ces relations, nous avons
$(q_0^2+a^2)^2=a^4\lambda^2$
$(q^2-a^2)^2=\frac{1}{2}a^4\lambda^2(-1\pm i\sqrt{3})$
Solution pour le mode pair
La solution pour le mode pair est exprimée comme suit :
$W=A\cos(q_0z)+B\cosh(qz)+C\cosh(q^*z)$
Par conséquent, nous avons
$DW=-Aq_0\sin(q_0z)+Bq\sinh(qz)+Cq^*\sinh(q^*z)$
$(D^2-a^2)^2W=A(q_0^2+a^2)^2\cos(q_0z)+B(q^2-a^2)+C(q^{*2}-a^2)^2\cosh(q^*z)$
Les conditions aux limites fournissent
$\left[\begin{array}{ccc}\cos(q_0/2) & \cosh(q/2) & \cosh(q^/2) \ \sin(q_0/2) & \sinh(q/2) & \sinh(q^/2) \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A \ B \ C\end{array}\right]=0$
Pour une solution non triviale (après quelques manipulations), nous devons avoir
$\displaystyle\left\vert\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2) \ \frac{1}{2}(i\sqrt{3}+1) & \frac{1}{2}(i\sqrt{3}-1) & -1\end{array}\right\vert=0$
ce qui se simplifie en
$im\left[(\sqrt{3}+i)q\tanh(q/2)\right]+q_0\tan(q_0/2)=0$
qui peut s\'écrire comme (avec une simplification supplémentaire)
$-q_0\tan(q_0/2)=\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)+(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)+\cos(q_2)}$
Cette équation doit être résolue en utilisant la méthode des essais et des erreurs : pour une valeur donnée de $a$, nous devons trouver la valeur de $\lambda$ puis trouver la valeur de $R_a$. Les valeurs critiques de $a$ et $R_a$ (Reid & Harris, Phys of Fluids, Vol-1) sont données par
$a_c=3.117 et
En prenant $A_0=1$ et $C=B^*$, nous pouvons trouver $W$ et $\Theta$.
Solution impaire
La solution impaire est représentée comme suit :
$W=A\sin(q_0z)+B\sinh(qz)+C\sinh(q^*z)$
En procédant de manière similaire, on obtient
$q_0\cot(q_0/2)=\displaystyle\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)-(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)-\cosh(q_2)}$
Dans ce cas, la valeur minimale du nombre de Rayleigh se produit à $a=5.365$, et la valeur correspondante du nombre de Rayleigh est
| $R=17610.39$ |
.
ID:(9219, 0)
Instabilité de Rayleigh-Bénard, limite fixe-bord libre
Équation
La solution pour le cas où la surface supérieure est libre et la surface inférieure est rigide peut être déduite de la solution impaire de la boîte rigide-rigide.
Le problème est défini par :
$\frac{(D^2-a^2)^3}{W}=-a^2R_aW$
sous la condition aux limites :
$W = DW = (D^2-a^2)^2W = 0$
à
$z = 0$
$W = D^2W = D^4W = 0$
à
$z = 1$
Les conditions aux limites au milieu de la hauteur pour la solution impaire sont valables. Ainsi, une solution impaire pour la limite rigide-rigide à une profondeur
$d$
fournit une solution pour la limite rigide-libre à une profondeur
$d/2$
. Par conséquent, en utilisant les résultats de stabilité du cas rigide-rigide, nous avons :
$a_c = 5.365 / 2 \approx 2.682$
et
$R_c = 17610.39 / 2^4 \approx 1100.65$
[Note : À partir de la forme dimensionnelle de
$\Delta_1^2f + k^2f$
, nous avons
$a = kL$
(où
$L$
est l\'échelle de longueur) comme le nombre d\'onde sans dimension.]
| $$ |
ID:(9218, 0)