Wenn eine Fl ssigkeit einem Gravitationsfeld mit einer Beschleunigung von $g$ ausgesetzt ist und sich zwischen zwei horizontalen Platten mit h heren Temperaturen $T_t$ und niedrigeren Temperaturen $T_b$ befindet, wobei die untere Temperatur h her ist als die obere, entsteht spontan ein Strom, wenn die Rayleigh-Zahl

einen kritischen Wert berschreitet. In diesem Fall ist $L$ der Abstand zwischen den Schichten, $d$ die Diffusivit t, $\alpha$ die thermische Ausdehnung und $

u$ die kinematische Viskosit t.

Weitere Informationen finden Sie unter folgendem Link: http://home.iitk.ac.in/~sghorai/NOTES/benard/benard.html

(ID 9216)

Das Eigenwertproblem lautet

$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$

unter der Randbedingung

$W=D^2W=D^4W=0 f r z=0,1$

Daraus folgt, dass

$D^{2m}W=0$

f r

$z=0,1$

und

$m = 1,2,\cdots$

Daraus ergibt sich, dass die ben tigte L sung sein muss

$W=A\sin(n\pi z)$

mit

$n=1,2,3,\cdots$

wobei A eine Konstante und n eine ganze Zahl ist. Durch Einsetzen von W ergibt sich die Eigenwertbeziehung

$R_a=\frac{(n^2\pi^2+a^2)^3}{a^2}$

F r ein gegebenes

$a^2$

tritt der niedrigste Wert von

$R_c$

auf, wenn

$n=1$

, was dem niedrigsten Modus entspricht:

$R_a=\frac{(\pi^2+a^2)^3}{a^2}$

Der kritische Rayleigh-Wert

$R_c$

wird bestimmt, indem der minimale Wert von

$R_a$

f r variierendes

$a^2$

gefunden wird.

$\frac{dR_a}{da^2}=0\rightarrow a_c=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$

und der entsprechende

$R_c$

wird gegeben durch

(ID 9217)

Wenn wir den Ursprung in der Mitte der Kammer festlegen, wird das zu l sende Problem gegeben durch

$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$

unter der Randbedingung

$W=DW=(D^2-a^2)^2W=0$

bei

$z=0,1$

.

Das Problem ist symmetrisch bez glich der beiden Grenzen, daher werden die Eigenfunktionen in zwei verschiedene Klassen unterteilt: (gerader Modus), der eine vertikale Geschwindigkeitssymmetrie bez glich der Mittenebene aufweist, und (ungerader Modus), der eine vertikale Geschwindigkeitsantisymmetrie aufweist. Der gerade Modus hat eine einzige Reihe von Zellen entlang der Vertikalen, w hrend der ungerade Modus zwei Reihen von Zellen hat. Nehmen wir an, die L sung hat die Form

$W=e^{qz}$

wobei die Wurzeln $q$ gegeben sind durch

$(q^2-a^2)^3=-R_a^2$

Sei

$R_a^2=\lambda^3a^6$

dann sind die Wurzeln gegeben durch

$q^2=-a^2(\lambda-1)$

und

$q^2=a^2\left[1+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$

Durch erneute Wurzelbildung ergeben sich die Wurzeln als $\pm iq_0$, $\pm q$ und $\pm q^*$, wobei $q_0=a\sqrt{\lambda-1}$ und

$re(q)=q_1=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$

$im(q)=q_2=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}-\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$

Hier bezeichnet $q^*$ das konjugiert komplexe von $q$. Aus diesen Beziehungen ergeben sich

$(q_0^2+a^2)^2=a^4\lambda^2$

$(q^2-a^2)^2=\frac{1}{2}a^4\lambda^2(-1\pm i\sqrt{3})$

L sung f r den geraden Modus

Die L sung f r den geraden Modus wird wie folgt ausgedr ckt:

$W=A\cos(q_0z)+B\cosh(qz)+C\cosh(q^*z)$

Daher haben wir

$DW=-Aq_0\sin(q_0z)+Bq\sinh(qz)+Cq^*\sinh(q^*z)$

$(D^2-a^2)^2W=A(q_0^2+a^2)^2\cos(q_0z)+B(q^2-a^2)+C(q^{*2}-a^2)^2\cosh(q^*z)$

Die Randbedingungen liefern

$\left[\begin{array}{ccc}\cos(q_0/2) & \cosh(q/2) & \cosh(q^/2) \ \sin(q_0/2) & \sinh(q/2) & \sinh(q^/2) \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A \ B \ C\end{array}\right]=0$

F r eine nichttriviale L sung (nach einigen Manipulationen) m ssen wir haben

$\displaystyle\left\vert\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2) \ \frac{1}{2}(i\sqrt{3}+1) & \frac{1}{2}(i\sqrt{3}-1) & -1\end{array}\right\vert=0$

was sich vereinfacht als

$im\left[(\sqrt{3}+i)q\tanh(q/2)\right]+q_0\tan(q_0/2)=0$

schreiben l sst (mit weiterer Vereinfachung)

$-q_0\tan(q_0/2)=\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)+(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)+\cos(q_2)}$

Diese Gleichung muss mit der Methode der Versuch und Irrtum gel st werden: F r einen gegebenen Wert von $a$ m ssen wir den Wert von $\lambda$ finden und dann den Wert von $R_a$ bestimmen. Die kritischen Werte von $a$ und $R_a$ (Reid & Harris, Phys of Fluids, Vol-1) sind gegeben durch

$a_c=3.117 und R_c=1707.762$

Unter Verwendung von $A_0=1$ und $C=B^*$ k nnen wir $W$ und $\Theta$ finden.

Ungerade L sung

Die ungerade L sung wird wie folgt dargestellt:

$W=A\sin(q_0z)+B\sinh(qz)+C\sinh(q^*z)$

Durch hnliche Vorgehensweise erhalten wir

$q_0\cot(q_0/2)=\displaystyle\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)-(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)-\cosh(q_2)}$

In diesem Fall tritt der minimale Rayleigh-Wert bei $a=5.365$ auf, und der entsprechende Wert der Rayleigh-Zahl lautet

.

(ID 9219)

Die L sung f r den Fall, dass die obere Oberfl che frei ist und die untere Oberfl che starr ist, kann aus der ungeraden L sung der starr-starr-Box abgeleitet werden.

Das Problem ist definiert durch:

$\frac{(D^2-a^2)^3}{W}=-a^2R_aW$

unter der Randbedingung:

$W = DW = (D^2-a^2)^2W = 0$

bei

$z = 0$

$W = D^2W = D^4W = 0$

bei

$z = 1$

Die Randbedingungen in der mittleren H he f r die ungerade L sung gelten. Daher liefert eine ungerade L sung f r das starr-starr-Limit in einer Tiefe

$d$

eine L sung f r das starr-frei-Limit in einer Tiefe

$d/2$

. Somit erhalten wir unter Verwendung der Stabilit tsergebnisse aus dem starr-starr-Fall:

$a_c = 5.365 / 2 \approx 2.682$

und

$R_c = 17610.39 / 2^4 \approx 1100.65$

[Hinweis: Aus der dimensionsbehafteten Form von

$\Delta_1^2f + k^2f$

ergibt sich

$a = kL$

(wobei

$L$

die Skalenl nge ist) als dimensionsloser Wellenzahl.]

(ID 9218)