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Rayleigh-Bénard
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Eine der am häufigsten untersuchten Instabilitäten ist die sogenannte Rayleigh-Bernard-Instabilität, die die Struktur von Zellen beschreibt, die sich bilden, wenn eine Flüssigkeit in einem Temperaturgradienten in die Konvektion eintritt.
ID:(1168, 0)
Rayleigh-Bénard-Instabilität
Gleichung
Wenn eine Flüssigkeit einem Gravitationsfeld mit einer Beschleunigung von $g$ ausgesetzt ist und sich zwischen zwei horizontalen Platten mit höheren Temperaturen $T_t$ und niedrigeren Temperaturen $T_b$ befindet, wobei die untere Temperatur höher ist als die obere, entsteht spontan ein Strom, wenn die Rayleigh-Zahl
 $R_c=\displaystyle\frac{g\alpha}{d\nu}(T_b-T_t)L^3$ |
einen kritischen Wert überschreitet. In diesem Fall ist $L$ der Abstand zwischen den Schichten, $d$ die Diffusivität, $\alpha$ die thermische Ausdehnung und $
u$ die kinematische Viskosität.
Weitere Informationen finden Sie unter folgendem Link: http://home.iitk.ac.in/~sghorai/NOTES/benard/benard.html
ID:(9216, 0)
Rayleigh-Bénard-Instabilität, Grenze frei-freier Kanten
Gleichung
Das Eigenwertproblem lautet
$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$
unter der Randbedingung
$W=D^2W=D^4W=0 für
Daraus folgt, dass
$D^{2m}W=0$
für
$z=0,1$
und
$m = 1,2,\cdots$
Daraus ergibt sich, dass die benötigte Lösung sein muss
$W=A\sin(n\pi z)$
mit
$n=1,2,3,\cdots$
wobei A eine Konstante und n eine ganze Zahl ist. Durch Einsetzen von W ergibt sich die Eigenwertbeziehung
$R_a=\frac{(n^2\pi^2+a^2)^3}{a^2}$
Für ein gegebenes
$a^2$
tritt der niedrigste Wert von
$R_c$
auf, wenn
$n=1$
, was dem niedrigsten Modus entspricht:
$R_a=\frac{(\pi^2+a^2)^3}{a^2}$
Der kritische Rayleigh-Wert
$R_c$
wird bestimmt, indem der minimale Wert von
$R_a$
für variierendes
$a^2$
gefunden wird.
$\frac{dR_a}{da^2}=0\rightarrow a_c=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$
und der entsprechende
$R_c$
wird gegeben durch
| $R_c=\displaystyle\frac{27}{4}\pi^4$ |
ID:(9217, 0)
Rayleigh-Bénard-Instabilität, feste-feste Kantengrenze
Gleichung
Wenn wir den Ursprung in der Mitte der Kammer festlegen, wird das zu lösende Problem gegeben durch
$(D^2-a^2)^3W=-a^2R_aW$
unter der Randbedingung
$W=DW=(D^2-a^2)^2W=0$
bei
$z=0,1$
.
Das Problem ist symmetrisch bezüglich der beiden Grenzen, daher werden die Eigenfunktionen in zwei verschiedene Klassen unterteilt: (gerader Modus), der eine vertikale Geschwindigkeitssymmetrie bezüglich der Mittenebene aufweist, und (ungerader Modus), der eine vertikale Geschwindigkeitsantisymmetrie aufweist. Der gerade Modus hat eine einzige Reihe von Zellen entlang der Vertikalen, während der ungerade Modus zwei Reihen von Zellen hat. Nehmen wir an, die Lösung hat die Form
$W=e^{qz}$
wobei die Wurzeln $q$ gegeben sind durch
$(q^2-a^2)^3=-R_a^2$
Sei
$R_a^2=\lambda^3a^6$
dann sind die Wurzeln gegeben durch
$q^2=-a^2(\lambda-1)$
und
$q^2=a^2\left[1+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
Durch erneute Wurzelbildung ergeben sich die Wurzeln als $\pm iq_0$, $\pm q$ und $\pm q^*$, wobei $q_0=a\sqrt{\lambda-1}$ und
$re(q)=q_1=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$
$im(q)=q_2=a\left[\frac{1}{2}\sqrt{1+\lambda+\lambda^2}-\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{\lambda}{2}}\right]^{1/2}$
Hier bezeichnet $q^*$ das konjugiert komplexe von $q$. Aus diesen Beziehungen ergeben sich
$(q_0^2+a^2)^2=a^4\lambda^2$
$(q^2-a^2)^2=\frac{1}{2}a^4\lambda^2(-1\pm i\sqrt{3})$
Lösung für den geraden Modus
Die Lösung für den geraden Modus wird wie folgt ausgedrückt:
$W=A\cos(q_0z)+B\cosh(qz)+C\cosh(q^*z)$
Daher haben wir
$DW=-Aq_0\sin(q_0z)+Bq\sinh(qz)+Cq^*\sinh(q^*z)$
$(D^2-a^2)^2W=A(q_0^2+a^2)^2\cos(q_0z)+B(q^2-a^2)+C(q^{*2}-a^2)^2\cosh(q^*z)$
Die Randbedingungen liefern
$\left[\begin{array}{ccc}\cos(q_0/2) & \cosh(q/2) & \cosh(q^/2) \ \sin(q_0/2) & \sinh(q/2) & \sinh(q^/2) \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A \ B \ C\end{array}\right]=0$
Für eine nichttriviale Lösung (nach einigen Manipulationen) müssen wir haben
$\displaystyle\left\vert\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ -q_0\tan(q_0/2) & q\tanh(q/2) & q^\tanh(q^/2) \ \frac{1}{2}(i\sqrt{3}+1) & \frac{1}{2}(i\sqrt{3}-1) & -1\end{array}\right\vert=0$
was sich vereinfacht als
$im\left[(\sqrt{3}+i)q\tanh(q/2)\right]+q_0\tan(q_0/2)=0$
schreiben lässt (mit weiterer Vereinfachung)
$-q_0\tan(q_0/2)=\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)+(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)+\cos(q_2)}$
Diese Gleichung muss mit der Methode der Versuch und Irrtum gelöst werden: Für einen gegebenen Wert von $a$ müssen wir den Wert von $\lambda$ finden und dann den Wert von $R_a$ bestimmen. Die kritischen Werte von $a$ und $R_a$ (Reid & Harris, Phys of Fluids, Vol-1) sind gegeben durch
$a_c=3.117 und
Unter Verwendung von $A_0=1$ und $C=B^*$ können wir $W$ und $\Theta$ finden.
Ungerade Lösung
Die ungerade Lösung wird wie folgt dargestellt:
$W=A\sin(q_0z)+B\sinh(qz)+C\sinh(q^*z)$
Durch ähnliche Vorgehensweise erhalten wir
$q_0\cot(q_0/2)=\displaystyle\frac{(q_1+q_2\sqrt{3})\sinh(q_1)-(q_1\sqrt{3}-q_2)\sin(q_2)}{\cosh(q_1)-\cosh(q_2)}$
In diesem Fall tritt der minimale Rayleigh-Wert bei $a=5.365$ auf, und der entsprechende Wert der Rayleigh-Zahl lautet
| $R=17610.39$ |
.
ID:(9219, 0)
Rayleigh-Bénard-Instabilität, feste-freie Kantengrenze
Gleichung
Die Lösung für den Fall, dass die obere Oberfläche frei ist und die untere Oberfläche starr ist, kann aus der ungeraden Lösung der starr-starr-Box abgeleitet werden.
Das Problem ist definiert durch:
$\frac{(D^2-a^2)^3}{W}=-a^2R_aW$
unter der Randbedingung:
$W = DW = (D^2-a^2)^2W = 0$
bei
$z = 0$
$W = D^2W = D^4W = 0$
bei
$z = 1$
Die Randbedingungen in der mittleren Höhe für die ungerade Lösung gelten. Daher liefert eine ungerade Lösung für das starr-starr-Limit in einer Tiefe
$d$
eine Lösung für das starr-frei-Limit in einer Tiefe
$d/2$
. Somit erhalten wir unter Verwendung der Stabilitätsergebnisse aus dem starr-starr-Fall:
$a_c = 5.365 / 2 \approx 2.682$
und
$R_c = 17610.39 / 2^4 \approx 1100.65$
[Hinweis: Aus der dimensionsbehafteten Form von
$\Delta_1^2f + k^2f$
ergibt sich
$a = kL$
(wobei
$L$
die Skalenlänge ist) als dimensionsloser Wellenzahl.]
| $$ |
ID:(9218, 0)