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Quando assumimos o fluxo laminar de um fluido viscoso através de um tubo, observamos um padrão em que a velocidade é máxima no centro e diminui para zero nas bordas. O fluxo total depende do perfil cilíndrico e é inversamente proporcional à viscosidade do fluido, com uma relação à quarta potência em relação ao raio.

>Modelo

ID:(876, 0)

Conceito

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ID:(15491, 0)

Conceito

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Quando um tubo preenchido com líquido de viscosidade viscosidade ($\eta$) é exposto a la pressão na posição inicial ($p_i$) em o posição no início do tubo ($L_i$) e la pressão na posição final (e) ($p_e$) em o posição na extremidade do tubo ($L_e$), gera-se uma diferença de pressão ($\Delta p$) ao longo de o comprimento do tubo ($\Delta L$), resultando no perfil de la velocidade em um raio do cilindro ($v$):

Em fluxos com valores baixos de o número de Reynolds ($Re$), onde a viscosidade é mais relevante do que a inércia do líquido, o fluxo se desenvolve de forma laminar, ou seja, sem a presença de turbulência.

ID:(2218, 0)

Conceito

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No fluxo laminar, camadas adjacentes se movem e existe uma força gerada pela viscosidade entre elas. A camada mais rápida arrasta sua vizinha mais lenta, enquanto a mais lenta restringe o avanço da mais rápida.

Portanto, a força la força viscosa ($F_v$) gerada por ($$) sobre a outra é uma função de ($$), ($$) e ($$), como mostrado na seguinte equação:

ilustrado no seguinte diagrama:

ID:(7053, 0)

Conceito

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O fluxo laminar ao redor de um cilindro pode ser representado como múltiplas camadas cilíndricas deslizando sob a influência das camadas adjacentes. Nesse caso, la força viscosa ($F_v$) com o comprimento do tubo ($\Delta L$), la viscosidade ($\eta$) e as variáveis la posição radial no cilindro ($r$) e la velocidade em um raio do cilindro ($v$) é expresso como:

A camada na borda em ($$) permanece estacionária devido ao efeito de borda e, através de la viscosidade ($\eta$), retarda a camada adjacente que possui velocidade.

O centro é a parte que se move em la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$), arrastando a camada circundante. Por sua vez, essa camada arrasta a próxima e assim por diante até atingir a camada em contato com a parede do cilindro, que está estacionária.

Dessa forma, o sistema transfere energia do centro para a parede, gerando um perfil de velocidade representado por:

com:

ID:(7057, 0)

Conceito

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Durante um tempo infinitesimal ($dt$), o fluido com uma velocidade média do fluido ($v$) se desloca uma distância infinitesimal ($ds$). Se la seção ($S$) for a quantidade de fluido que passa através de la seção ($S$) em o tempo infinitesimal ($dt$), ela é calculada da seguinte forma:

$dV = S ds = Sv dt$

Esta equação indica que o volume de fluido que flui através de la seção ($S$) em um tempo infinitesimal ($dt$) é igual ao produto da área da seção transversal e da distância percorrida pelo fluido nesse tempo. Isso permite o cálculo da quantidade de líquido que flui pelo canal dentro de um intervalo de tempo específico.

ID:(2212, 0)

Conceito

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O perfil de la velocidade em um raio do cilindro ($v$) em o raio de posição em um tubo ($r$) nos permite calcular o fluxo de volume ($J_V$) em um tubo através da integração de toda a superfície, o que nos leva à conhecida lei de Hagen-Poiseuille.

O resultado é uma equação que depende de raio do cilindro ($R$) elevado à quarta potência. No entanto, é fundamental observar que este perfil de fluxo só é válido no caso de um fluxo laminar.

Assim, com isso, deduz-se de la viscosidade ($\eta$) que o fluxo de volume ($J_V$) diante de um comprimento do tubo ($\Delta L$) e ($$), a expressão:

ID:(2216, 0)

Conceito

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A inércia de um líquido pode ser entendida como proporcional à densidade de energia cinética, dada por

$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$

onde la densidade líquida ($\rho_w$) e la velocidade média do fluido ($v$).

Se considerarmos la força viscosa ($F_v$) como

$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

onde la seção ou superfície ($S$), la viscosidade ($\eta$), la velocidade média do fluido ($v$) e la dimensão típica do sistema ($R$) são propriedades do líquido.

Lembrando que a energia é igual a la força viscosa ($F_v$) multiplicada por o distância percorrida ($l$). A densidade de energia perdida devido à viscosidade será igual à força multiplicada pela distância dividida pelo volume $S l$:

$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

Portanto, a relação entre a densidade de energia cinética e a densidade de energia viscosa é igual a um número adimensional conhecido como o número de Reynolds ($Re$). Quando o número de Reynolds ($Re$) é muito maior do que um, a inércia domina sobre a força viscosa e o fluxo se torna turbulento. Por outro lado, se o número de Reynolds ($Re$) for pequeno, a força viscosa domina e o fluxo se torna laminar.

Em resumo, o número de Reynolds ($Re$) é um parâmetro adimensional que indica a relação entre a inércia e a força viscosa em um fluxo. Se o número de Reynolds for muito menor do que um ($Re\ll 1$), a viscosidade domina e o fluxo é laminar. Se o número de Reynolds for maior do que um ($Re\gg 1$), a inércia domina e o fluxo é turbulento.

O artigo original em que Osborne Reynolds introduz o número que leva o seu nome é:

Investigação Experimental das Circunstâncias que Determinam se o Movimento da Água Deve Ser Direto ou Sinuoso, e da Lei da Resistência em Canais Paralelos ("An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels"), escrito por Osborne Reynolds e publicado em Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. 174, pp. 935-982 (1883).

ID:(15507, 0)

Conceito

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Parâmetro selecionado

Cálculos

ID:(15493, 0)

Equação

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Quando la pressão na posição inicial ($p_i$) e la pressão na posição final (e) ($p_e$) são conectados, uma la diferença de pressão ($\Delta p$) é criada, a qual é calculada usando a seguinte fórmula:

$ \Delta p = p_e - p_i $

Condições

Variáveis

$\Delta p$

Diferença de pressão

$Pa$

$p_e$

Pressão na posição final (e)

$Pa$

$p_i$

Pressão na posição inicial

$Pa$

Relação

la diferença de pressão ($\Delta p$) representa a diferença de pressão que fará o líquido fluir da coluna mais alta para a coluna mais baixa.

ID:(14459, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Para descrever o fluxo, é definido um sistema de coordenadas no qual o líquido flui de o posição no início do tubo ($L_i$) para o posição na extremidade do tubo ($L_e$), indicando que a pressão em la pressão na posição inicial ($p_i$) é maior do que em la pressão na posição final (e) ($p_e$). Este movimento depende de o comprimento do tubo ($\Delta L$), que é calculado da seguinte forma:

$ \Delta L = L_e - L_i $

Condições

Variáveis

$\Delta L$

Comprimento do corpo

$m$

$L_e$

Posição na extremidade do tubo

$m$

$L_i$

Posição no início do tubo

$m$

Relação

ID:(3802, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Quando um líquido de viscosidade $\eta$ flui entre duas superfícies $S$ a uma distância $dz$ com uma diferença de velocidade $dv_x$, ele experimenta uma força de viscosidade $F_v$ dada pela lei de Newton da viscosidade:

$ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$

Condições

Variáveis

$\Delta v$

Diferença de velocidade entre superfícies

$m/s$

$\Delta z$

Distância entre superfícies

$m$

$F_v$

Força viscosa

$N$

$S$

Seção

$m^2$

$\eta$

Viscosidade

$Pa s$

Relação

ID:(3622, 0)

Equação

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Uma força viscosa ($F_v$) gerada por um líquido com viscosidade ($\eta$) entre algumas superfícies paralelas ($S$) e uma distância entre superfícies ($\Delta z$), juntamente com uma diferença de velocidade entre superfícies ($\Delta v$) e la velocidade em um raio do cilindro ($v$), é calculada da seguinte forma:

No caso de um cilindro, a superfície é definida por comprimento do tubo ($\Delta L$) e pelo perímetro de cada um dos cilindros internos, que é calculado multiplicando $2\pi$ por o raio de posição em um tubo ($r$). Com isso, la força de resistência no cilindro ($F_v$) é calculada usando la viscosidade ($\eta$) e la variação de velocidade entre dois raios ($dv$) para a largura do cilindro o variação do raio em um tubo ($dr$), resultando em:

$ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$

Condições

Variáveis

$\Delta L$

Comprimento do tubo

$m$

$F_v$

Força viscosa

$N$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$r$

Posição radial no cilindro

$m$

$R$

Raio do cilindro

$m$

$v$

Velocidade em um raio do cilindro

$m/s$

$\eta$

Viscosidade

$Pa s$

Relação

Desenvolvimento

Como a força viscosa é

$ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$

e a superfície do cilindro é

$S=2\pi R L$

onde $R$ é o raio e $L$ é o comprimento do canal, a força viscosa pode ser expressa como

$ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$

onde $\eta$ representa a viscosidade e $dv/dr$ é o gradiente de velocidade entre a parede e o fluxo.

ID:(3623, 0)

Equação

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Ao resolver a equação de fluxo com a condição de contorno, obtemos la velocidade em um raio do cilindro ($v$) como uma função de o raio de curvatura ($r$), representada por uma parábola centrada em la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) e igual a zero em o raio do cilindro ($R$):

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

Condições

Variáveis

$r$

Posição radial no cilindro

$m$

$R$

Raio do cilindro

$m$

$v_{max}$

Taxa de fluxo máxima

$m/s$

$v$

Velocidade em um raio do cilindro

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

Quando uma la diferença de pressão ($\Delta p$) age sobre uma seção com uma área de $\pi R^2$, com o raio do cilindro ($R$) como o raio de curvatura ($r$), ela gera uma força representada por:

$\pi r^2 \Delta p$

Essa força impulsiona o líquido contra a resistência viscosa, dada por:



Ao igualarmos essas duas forças, obtemos:

$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$

O que nos leva à equação:

$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$

Se integrarmos essa equação de uma posição definida por o raio de curvatura ($r$) até a borda onde o raio do cilindro ($R$) está (levando em consideração que a velocidade na borda é zero), podemos obter la velocidade em um raio do cilindro ($v$) como função de o raio de curvatura ($r$):



Onde:



é La taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) no centro do fluxo.

.

ID:(3627, 0)

Equação

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O valor de la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) no centro de um cilindro depende de la viscosidade ($\eta$), o raio do cilindro ($R$) e do gradiente criado por la diferença de pressão ($\Delta p$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$), conforme representado abaixo:

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Condições

Variáveis

$\Delta L$

Comprimento do tubo

$m$

$R$

Raio do cilindro

$m$

$v_{max}$

Taxa de fluxo máxima

$m/s$

$\eta$

Viscosidade

$Pa s$

Relação

O sinal negativo indica que o fluxo sempre ocorre na direção oposta ao gradiente, ou seja, da área de maior pressão para a área de menor pressão.

ID:(3628, 0)

Equação

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O fluxo de volume ($J_V$) corresponde à quantidade volume ($V$) que flui pelo canal durante um tempo ($t$). Portanto, temos:

$ J_V =\displaystyle\frac{ dV }{ dt }$

Condições

Variáveis

$J_V$

Fluxo de volume

$m^3/s$

$t$

Tempo

$s$

$V$

Volume

$m^3$

Relação

ID:(12713, 0)

Equação

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La densidade de fluxo ($j_s$) está relacionado com la posição ($s$), que é a posição do fluido em o tempo ($t$), através da seguinte equação:

$ j_s =\displaystyle\frac{ ds }{ dt }$

Condições

Variáveis

$j_s$

Densidade de fluxo

$m^3/s$

$s$

Posição

$m$

$t$

Tempo

$s$

Relação

Desenvolvimento

ID:(12714, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se considerarmos o perfil de la velocidade em um raio do cilindro ($v$) para um fluido em um canal cilíndrico com raio de raio do cilindro ($R$), no qual la velocidade em um raio do cilindro ($v$) varia em função de um raio de posição em um tubo ($r$), podemos integrá-lo em toda a seção transversal do canal:

$J_V= \pi \displaystyle\int_0^Rdr r v(r)$

Isso nos leva à lei de Hagen-Poiseuille com os parâmetros o fluxo de volume ($J_V$), la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$):

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Condições

Variáveis

$\Delta L$

Comprimento do tubo

$m$

$J_V$

Fluxo de volume

$m^3/s$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$R$

Raio do cilindro

$m$

$\eta$

Viscosidade

$Pa s$

Relação

Desenvolvimento

Se considerarmos o perfil de velocidade em um raio do cilindro ($v$) para um fluido em um canal cilíndrico, onde la velocidade em um raio do cilindro ($v$) varia em relação a raio de posição em um tubo ($r$) de acordo com a seguinte expressão:

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

envolvendo o raio do cilindro ($R$) e la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$). Podemos calcular la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) utilizando la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) da seguinte forma:

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Se integrarmos a velocidade em toda a seção transversal do canal, obteremos o fluxo de volume ($J_V$), definida como a integral de $\pi r v(r)$ em relação a raio de posição em um tubo ($r$) de $0$ a raio do cilindro ($R$). Essa integral pode ser simplificada da seguinte maneira:

$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$

A integração resulta na lei de Hagen-Poiseuille resultante:

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Os artigos originais que deram origem a esta lei com um nome combinado foram:

• Gotthilf Hagen: "Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sobre as leis que regem o fluxo da água em recipientes cilíndricos), Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).

• Jean-Louis-Marie Poiseuille: "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres" (Pesquisa experimental sobre o movimento de líquidos em tubos de diâmetros muito pequenos), Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).

ID:(3178, 0)

Equação

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O critério chave para determinar se um meio é laminar ou turbulento é o chamado número de Reynolds, que compara a energia associada à inércia com aquela associada à viscosidade. A primeira depende de la densidade líquida ($\rho_w$), ($$) e la dimensão típica do sistema ($R$), enquanto a segunda depende de la viscosidade ($\eta$), definindo-o como:

$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

Condições

Variáveis

$\rho$

Densidade líquida

$kg/m^3$

$R$

Dimensão típica do sistema

$m$

$Re$

Número de Reynolds

$-$

$\eta$

Viscosidade

$Pa s$

Relação

Desenvolvimento

A inércia de um meio pode ser entendida como proporcional à densidade da energia cinética, dada por:

$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$

onde la densidade líquida ($\rho_w$) e la velocidade média do fluido ($v$) são variáveis.

Se considerarmos la força viscosa ($F_v$) como:

$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

onde la seção ou superfície ($S$), la viscosidade ($\eta$), la velocidade média do fluido ($v$) e la dimensão típica do sistema ($R$) são propriedades do meio.

Lembrando que a energia é igual a la força viscosa ($F_v$) multiplicada por o distância percorrida ($l$). A densidade da energia perdida por viscosidade será igual à força multiplicada pela distância dividida pelo volume $S l$:

$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

Portanto, a relação entre a densidade de energia cinética e a densidade de energia viscosa é igual a um número adimensional conhecido como o número de Reynolds ($Re$). Se o número de Reynolds ($Re$) for várias ordens de magnitude maior que um, a inércia domina sobre a força viscosa e o fluxo se torna turbulento. Por outro lado, se o número de Reynolds ($Re$) for pequeno, a força viscosa domina e o fluxo se torna laminar.

$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

O artigo original no qual Osborne Reynolds introduz o número que leva seu nome é:

Investigação Experimental das Circunstâncias que Determinam se o Movimento da Água Deve Ser Direto ou Sinuoso, e da Lei da Resistência em Canais Paralelos ("An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels"), escrito por Osborne Reynolds e publicado em Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. 174, pp. 935-982 (1883).

ID:(3177, 0)

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Video

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