Storyboard

Quando assumimos o fluxo laminar de um fluido viscoso através de um tubo, observamos um padrão em que a velocidade é máxima no centro e diminui para zero nas bordas. O fluxo total depende do perfil cilíndrico e é inversamente proporcional à viscosidade do fluido, com uma relação à quarta potência em relação ao raio.

>Modelo

ID:(876, 0)

Iframe

>Top

ID:(15491, 0)

Conceito

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Quando um tubo preenchido com líquido de viscosidade viscosidade ($\eta$) é exposto a la pressão na posição inicial ($p_i$) em o posição no início do tubo ($L_i$) e la pressão na posição final (e) ($p_e$) em o posição na extremidade do tubo ($L_e$), gera-se uma diferença de pressão ($\Delta p_s$) ao longo de o comprimento do tubo ($\Delta L$), resultando no perfil de la velocidade em um raio do cilindro ($v$):

Em fluxos com valores baixos de o número de Reynolds ($Re$), onde a viscosidade é mais relevante do que a inércia do líquido, o fluxo se desenvolve de forma laminar, ou seja, sem a presença de turbulência.

ID:(2218, 0)

Conceito

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No fluxo laminar, camadas adjacentes se movem e existe uma força gerada pela viscosidade entre elas. A camada mais rápida arrasta sua vizinha mais lenta, enquanto a mais lenta restringe o avanço da mais rápida.

Portanto, a força la força viscosa ($F_v$) gerada por ($$) sobre a outra é uma função de ($$), ($$) e ($$), como mostrado na seguinte equação:

ilustrado no seguinte diagrama:

ID:(7053, 0)

Conceito

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O fluxo laminar ao redor de um cilindro pode ser representado como múltiplas camadas cilíndricas deslizando sob a influência das camadas adjacentes. Nesse caso, la força viscosa ($F_v$) com o comprimento do tubo ($\Delta L$), la viscosidade ($\eta$) e as variáveis la posição radial no cilindro ($r$) e la velocidade em um raio do cilindro ($v$) é expresso como:

A camada na borda em ($$) permanece estacionária devido ao efeito de borda e, através de la viscosidade ($\eta$), retarda a camada adjacente que possui velocidade.

O centro é a parte que se move em la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$), arrastando a camada circundante. Por sua vez, essa camada arrasta a próxima e assim por diante até atingir a camada em contato com a parede do cilindro, que está estacionária.

Dessa forma, o sistema transfere energia do centro para a parede, gerando um perfil de velocidade representado por:

com:

ID:(7057, 0)

Conceito

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No caso de la densidade de fluxo ($j_s$) ser constante, o fluxo de volume ($J_V$) pode ser calculado usando la seção ou superfície ($S$) conforme:

Se la densidade de fluxo ($j_s$) varia, podem ser considerados elementos de seção $dS$ suficientemente pequenos para que a equação continue válida, no sentido de que a contribuição ao fluxo é:

$dJ_V = j_s dS$

Integrando essa expressão sobre toda a seção, obtém-se que

ID:(15719, 0)

Conceito

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O perfil de la velocidade em um raio do cilindro ($v$) em o raio de posição em um tubo ($r$) nos permite calcular o fluxo de volume ($J_V$) em um tubo através da integração de toda a superfície, o que nos leva à conhecida lei de Hagen-Poiseuille.

O resultado é uma equação que depende de raio do tubo ($R$) elevado à quarta potência. No entanto, é fundamental observar que este perfil de fluxo só é válido no caso de um fluxo laminar.

Assim, com isso, deduz-se de la viscosidade ($\eta$) que o fluxo de volume ($J_V$) diante de um comprimento do tubo ($\Delta L$) e ($$), a expressão:

Os artigos originais que deram origem a esta lei com um nome combinado foram:

"Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sobre as leis que regem o fluxo da água em recipientes cilíndricos), Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).

"Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres" (Pesquisa experimental sobre o movimento de líquidos em tubos de diâmetros muito pequenos), Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).

ID:(2216, 0)

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A inércia de um líquido pode ser entendida como proporcional à densidade de energia cinética, dada por

$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$

onde la densidade líquida ($\rho_w$) e la velocidade média do fluido ($v$).

Se considerarmos la força viscosa ($F_v$) como

$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

onde la seção ou superfície ($S$), la viscosidade ($\eta$), la velocidade média do fluido ($v$) e la dimensão típica do sistema ($R$) são propriedades do líquido.

Lembrando que a energia é igual a la força viscosa ($F_v$) multiplicada por o distância percorrida ($l$). A densidade de energia perdida devido à viscosidade será igual à força multiplicada pela distância dividida pelo volume $S l$:

$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

Portanto, a relação entre a densidade de energia cinética e a densidade de energia viscosa é igual a um número adimensional conhecido como o número de Reynolds ($Re$). Quando o número de Reynolds ($Re$) é muito maior do que um, a inércia domina sobre a força viscosa e o fluxo se torna turbulento. Por outro lado, se o número de Reynolds ($Re$) for pequeno, a força viscosa domina e o fluxo se torna laminar.

Em resumo, o número de Reynolds ($Re$) é um parâmetro adimensional que indica a relação entre a inércia e a força viscosa em um fluxo. Se o número de Reynolds for muito menor do que um ($Re\ll 1$), a viscosidade domina e o fluxo é laminar. Se o número de Reynolds for maior do que um ($Re\gg 1$), a inércia domina e o fluxo é turbulento.

O artigo original em que Osborne Reynolds introduz o número que leva o seu nome é:

"Investigação Experimental das Circunstâncias que Determinam se o Movimento da Água Deve Ser Direto ou Sinuoso, e da Lei da Resistência em Canais Paralelos" (An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels), Osborne Reynolds, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. 174, pp. 935-982 (1883).

ID:(15507, 0)

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Parâmetros

$\rho$

rho

Densidade

kg/m^3

$\pi$

pi

Pi

rad

$p_i$

p_i

Pressão na posição inicial

Pa

$R$

R

Raio do tubo

m

$\eta$

eta

Viscosidade

Pa s

Variáveis

$\Delta L$

DL

Comprimento do tubo

m

$j_s$

j_s

Densidade de fluxo

m/s

$J_V$

J_V

Fluxo de volume

m^3/s

$Re$

Re

Número de Reynolds

-

$L_e$

L_e

Posição na extremidade do tubo

m

$L_i$

L_i

Posição no início do tubo

m

$r$

r

Posição radial no cilindro

m

$p_e$

p_e

Pressão na posição final (e)

Pa

$S$

S

Seção de poros

m^2

$v_{max}$

v_max

Taxa de fluxo máxima

m/s

$v$

v

Velocidade em um raio do cilindro

m/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15493, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Quando la pressão na posição inicial ($p_i$) e la pressão na posição final (e) ($p_e$) são conectados, uma la diferença de pressão ($\Delta p_s$) é criada, a qual é calculada usando a seguinte fórmula:

$ \Delta p = p_e - p_i $

Condições

Variáveis

$p_e$

Pressão na posição final (e)

$Pa$

10116

$p_i$

Pressão na posição inicial

$Pa$

10115

Relação

la diferença de pressão ($\Delta p_s$) representa a diferença de pressão que fará o líquido fluir da coluna mais alta para a coluna mais baixa.

ID:(14459, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Para descrever o fluxo, é definido um sistema de coordenadas no qual o líquido flui de o posição no início do tubo ($L_i$) para o posição na extremidade do tubo ($L_e$), indicando que a pressão em la pressão na posição inicial ($p_i$) é maior do que em la pressão na posição final (e) ($p_e$). Este movimento depende de o comprimento do tubo ($\Delta L$), que é calculado da seguinte forma:

$ \Delta L = L_e - L_i $

Condições

Variáveis

$\Delta L$

Comprimento do tubo

$m$

5430

$L_e$

Posição na extremidade do tubo

$m$

6275

$L_i$

Posição no início do tubo

$m$

6274

Relação

ID:(3802, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Ao resolver a equação de fluxo com a condição de contorno, obtemos la velocidade em um raio do cilindro ($v$) como uma função de o raio de curvatura ($r$), representada por uma parábola centrada em la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) e igual a zero em o raio do tubo ($R$):

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

Condições

Variáveis

$r$

Posição radial no cilindro

$m$

5420

$R$

Raio do tubo

$m$

5417

$v_{max}$

Taxa de fluxo máxima

$m/s$

5421

$v$

Velocidade em um raio do cilindro

$m/s$

5449

Relação

Desenvolvimento

Quando uma la diferença de pressão ($\Delta p_s$) age sobre uma seção com uma área de $\pi R^2$, com o raio do tubo ($R$) como o raio de curvatura ($r$), ela gera uma força representada por:

$\pi r^2 \Delta p$

Essa força impulsiona o líquido contra a resistência viscosa, dada por:



Ao igualarmos essas duas forças, obtemos:

$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$

O que nos leva à equação:

$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$

Se integrarmos essa equação de uma posição definida por o raio de curvatura ($r$) até a borda onde o raio do tubo ($R$) está (levando em consideração que a velocidade na borda é zero), podemos obter la velocidade em um raio do cilindro ($v$) como função de o raio de curvatura ($r$):



Onde:



é La taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) no centro do fluxo.

.

ID:(3627, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O valor de la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) no centro de um cilindro depende de la viscosidade ($\eta$), o raio do tubo ($R$) e do gradiente criado por la diferença de pressão ($\Delta p_s$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$), conforme representado abaixo:

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Condições

Variáveis

$\Delta L$

Comprimento do tubo

$m$

5430

$R$

Raio do tubo

$m$

5417

$v_{max}$

Taxa de fluxo máxima

$m/s$

5421

$\eta$

Viscosidade

$Pa s$

5422

Relação

O sinal negativo indica que o fluxo sempre ocorre na direção oposta ao gradiente, ou seja, da área de maior pressão para a área de menor pressão.

ID:(3628, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O fluxo de volume ($J_V$) pode ser calculado com a lei de Hagen-Poiseuille que com os parâmetros la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$), o raio do tubo ($R$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) é:

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Condições

Variáveis

$\Delta L$

Comprimento do tubo

$m$

5430

$J_V$

Fluxo de volume

$m^3/s$

5448

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$R$

Raio do tubo

$m$

5417

$\eta$

Viscosidade

$Pa s$

5422

Relação

Desenvolvimento

Se considerarmos o perfil de velocidade em um raio do cilindro ($v$) para um fluido em um canal cilíndrico, onde la velocidade em um raio do cilindro ($v$) varia em relação a raio de posição em um tubo ($r$) de acordo com a seguinte expressão:

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

envolvendo o raio do tubo ($R$) e la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$). Podemos calcular la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) utilizando la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) da seguinte forma:

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Se integrarmos a velocidade em toda a seção transversal do canal, obteremos o fluxo de volume ($J_V$), definida como a integral de $\pi r v(r)$ em relação a raio de posição em um tubo ($r$) de $0$ a raio do tubo ($R$). Essa integral pode ser simplificada da seguinte maneira:

$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$

A integração resulta na lei de Hagen-Poiseuille resultante:

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

ID:(3178, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Uma densidade de fluxo ($j_s$) pode ser expresso em termos de o fluxo de volume ($J_V$) utilizando la seção ou superfície ($S$) através da seguinte fórmula:

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

Condições

Variáveis

$j_s$

Densidade de fluxo

$m/s$

7220

$J_V$

Fluxo de volume

$m^3/s$

5448

$S$

Seção de poros

$m^2$

6011

Relação

Desenvolvimento

O fluxo é definido como o volume o elemento de volume ($\Delta V$) dividido pelo tempo o tempo decorrido ($\Delta t$), conforme expresso na seguinte equação:

$ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$

e o volume é igual à área da seção la seção de tubo ($S$) multiplicada pela distância percorrida o elemento de tubo ($\Delta s$):

$ \Delta V = S \Delta s $

Como a distância percorrida o elemento de tubo ($\Delta s$) por unidade de tempo o tempo decorrido ($\Delta t$) corresponde à velocidade, ela é representada por:

$ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Assim, o fluxo é Uma densidade de fluxo ($j_s$), que é calculado usando:

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

ID:(4349, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O critério chave para determinar se um meio é laminar ou turbulento é o chamado número de Reynolds, que compara a energia associada à inércia com aquela associada à viscosidade. A primeira depende de la densidade ($\rho$), la velocidade média do fluido ($v$) e la dimensão típica do sistema ($R$), enquanto a segunda depende de la viscosidade ($\eta$), definindo-o como:

$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v_{max} }{ \eta }$

$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

Condições

Variáveis

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

5342

$R$

$R$

Raio do tubo

$m$

5417

$Re$

Número de Reynolds

$-$

5432

$v$

$v_{max}$

Taxa de fluxo máxima

$m/s$

5421

$\eta$

Viscosidade

$Pa s$

5422

Relação

ID:(3177, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La superfície de um disco ($S$) de um raio do disco ($r$) é calculada da seguinte forma:

$ S = \pi R ^2$

$ S = \pi r ^2$

Condições

Variáveis

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$r$

$R$

Raio do tubo

$m$

5417

$S$

$S$

Seção de poros

$m^2$

6011

Relação

ID:(3804, 0)