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Fluxo laminar viscoso (Hagen Poiseuille)
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Quando assumimos o fluxo laminar de um fluido viscoso através de um tubo, observamos um padrão em que a velocidade é máxima no centro e diminui para zero nas bordas. O fluxo total depende do perfil cilíndrico e é inversamente proporcional à viscosidade do fluido, com uma relação à quarta potência em relação ao raio.
ID:(876, 0)
Fluxo laminar viscoso
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Quando assumimos o fluxo laminar de um fluido viscoso através de um tubo, observamos um padrão em que a velocidade é máxima no centro e diminui para zero nas bordas. O fluxo total depende do perfil cilíndrico e é inversamente proporcional à viscosidade do fluido, com uma relação à quarta potência em relação ao raio.
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Se considerarmos o perfil de ERROR:5449,0 para um fluido em um canal cil ndrico, onde la velocidade em um raio do cilindro ($v$) varia em rela o a ERROR:10120,0 de acordo com a seguinte express o:
envolvendo o raio do tubo ($R$) e la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$). Podemos calcular la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) utilizando la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) da seguinte forma:
Se integrarmos a velocidade em toda a se o transversal do canal, obteremos o fluxo de volume ($J_V$), definida como a integral de $\pi r v(r)$ em rela o a ERROR:10120,0 de $0$ a ERROR:5417,0. Essa integral pode ser simplificada da seguinte maneira:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
A integra o resulta na lei de Hagen-Poiseuille resultante:
Quando uma la diferença de pressão ($\Delta p_s$) age sobre uma se o com uma rea de $\pi R^2$, com o raio do tubo ($R$) como o raio de curvatura ($r$), ela gera uma for a representada por:
$\pi r^2 \Delta p$
Essa for a impulsiona o l quido contra a resist ncia viscosa, dada por:
Ao igualarmos essas duas for as, obtemos:
$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$
O que nos leva equa o:
$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$
Se integrarmos essa equa o de uma posi o definida por o raio de curvatura ($r$) at a borda onde o raio do tubo ($R$) est (levando em considera o que a velocidade na borda zero), podemos obter la velocidade em um raio do cilindro ($v$) como fun o de o raio de curvatura ($r$):
Onde:
la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) no centro do fluxo.
O fluxo definido como o volume o elemento de volume ($\Delta V$) dividido pelo tempo o tempo decorrido ($\Delta t$), conforme expresso na seguinte equa o:
e o volume igual rea da se o la seção de tubo ($S$) multiplicada pela dist ncia percorrida o elemento de tubo ($\Delta s$):
Como a dist ncia percorrida o elemento de tubo ($\Delta s$) por unidade de tempo o tempo decorrido ($\Delta t$) corresponde velocidade, ela representada por:
Assim, o fluxo uma densidade de fluxo ($j_s$), que calculado usando:
Exemplos
Quando um tubo preenchido com l quido de viscosidade ERROR:5422,0 exposto a la pressão na posição inicial ($p_i$) em o posição no início do tubo ($L_i$) e la pressão na posição final (e) ($p_e$) em o posição na extremidade do tubo ($L_e$), gera-se uma diferença de pressão ($\Delta p_s$) ao longo de o comprimento do tubo ($\Delta L$), resultando no perfil de la velocidade em um raio do cilindro ($v$):
Em fluxos com valores baixos de o número de Reynolds ($Re$), onde a viscosidade mais relevante do que a in rcia do l quido, o fluxo se desenvolve de forma laminar, ou seja, sem a presen a de turbul ncia.
No fluxo laminar, camadas adjacentes se movem e existe uma for a gerada pela viscosidade entre elas. A camada mais r pida arrasta sua vizinha mais lenta, enquanto a mais lenta restringe o avan o da mais r pida.
Portanto, a for a la força viscosa ($F_v$) gerada por ERROR:10119.1 sobre a outra uma fun o de ERROR:5556.1, ERROR:5436.1 e ERROR:5422.1, como mostrado na seguinte equa o:
ilustrado no seguinte diagrama:
O fluxo laminar ao redor de um cilindro pode ser representado como m ltiplas camadas cil ndricas deslizando sob a influ ncia das camadas adjacentes. Nesse caso, la força viscosa ($F_v$) com o comprimento do tubo ($\Delta L$), la viscosidade ($\eta$) e as vari veis la posição radial no cilindro ($r$) e la velocidade em um raio do cilindro ($v$) expresso como:
A camada na borda em ERROR:5417.1 permanece estacion ria devido ao efeito de borda e, atrav s de la viscosidade ($\eta$), retarda a camada adjacente que possui velocidade.
O centro a parte que se move em la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$), arrastando a camada circundante. Por sua vez, essa camada arrasta a pr xima e assim por diante at atingir a camada em contato com a parede do cilindro, que est estacion ria.
Dessa forma, o sistema transfere energia do centro para a parede, gerando um perfil de velocidade representado por:
com:
No caso de la densidade de fluxo ($j_s$) ser constante, o fluxo de volume ($J_V$) pode ser calculado usando la seção ou superfície ($S$) conforme:
Se la densidade de fluxo ($j_s$) varia, podem ser considerados elementos de se o $dS$ suficientemente pequenos para que a equa o continue v lida, no sentido de que a contribui o ao fluxo :
$dJ_V = j_s dS$
Integrando essa express o sobre toda a se o, obt m-se que
O perfil de la velocidade em um raio do cilindro ($v$) em o raio de posição em um tubo ($r$) nos permite calcular o fluxo de volume ($J_V$) em um tubo atrav s da integra o de toda a superf cie, o que nos leva conhecida lei de Hagen-Poiseuille.
O resultado uma equa o que depende de ERROR:5417,0 elevado quarta pot ncia. No entanto, fundamental observar que este perfil de fluxo s v lido no caso de um fluxo laminar.
Assim, com isso, deduz-se de la viscosidade ($\eta$) que o fluxo de volume ($J_V$) diante de um comprimento do tubo ($\Delta L$) e ERROR:6673,1, a express o:
Os artigos originais que deram origem a esta lei com um nome combinado foram:
"Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in r hrenf rmigen Gef ssen bestimmen" (Sobre as leis que regem o fluxo da gua em recipientes cil ndricos), Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).
"Recherches exp rimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de tr s-petits diam tres" (Pesquisa experimental sobre o movimento de l quidos em tubos de di metros muito pequenos), Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Acad mie des Sciences 9:433544 (1840).
A in rcia de um l quido pode ser entendida como proporcional densidade de energia cin tica, dada por
$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$
onde la densidade líquida ($\rho_w$) e la velocidade média do fluido ($v$).
Se considerarmos la força viscosa ($F_v$) como
$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$
onde la seção ou superfície ($S$), la viscosidade ($\eta$), la velocidade média do fluido ($v$) e la dimensão típica do sistema ($R$) s o propriedades do l quido.
Lembrando que a energia igual a la força viscosa ($F_v$) multiplicada por o distância percorrida ($l$). A densidade de energia perdida devido viscosidade ser igual for a multiplicada pela dist ncia dividida pelo volume $S l$:
$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$
Portanto, a rela o entre a densidade de energia cin tica e a densidade de energia viscosa igual a um n mero adimensional conhecido como o número de Reynolds ($Re$). Quando o número de Reynolds ($Re$) muito maior do que um, a in rcia domina sobre a for a viscosa e o fluxo se torna turbulento. Por outro lado, se o número de Reynolds ($Re$) for pequeno, a for a viscosa domina e o fluxo se torna laminar.
Em resumo, o número de Reynolds ($Re$) um par metro adimensional que indica a rela o entre a in rcia e a for a viscosa em um fluxo. Se o n mero de Reynolds for muito menor do que um ($Re\ll 1$), a viscosidade domina e o fluxo laminar. Se o n mero de Reynolds for maior do que um ($Re\gg 1$), a in rcia domina e o fluxo turbulento.
O artigo original em que Osborne Reynolds introduz o n mero que leva o seu nome :
"Investiga o Experimental das Circunst ncias que Determinam se o Movimento da gua Deve Ser Direto ou Sinuoso, e da Lei da Resist ncia em Canais Paralelos" (An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels), Osborne Reynolds, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. 174, pp. 935-982 (1883).
Quando la pressão na posição inicial ($p_i$) e la pressão na posição final (e) ($p_e$) s o conectados, uma la diferença de pressão ($\Delta p_s$) criada, a qual calculada usando a seguinte f rmula:
la diferença de pressão ($\Delta p_s$) representa a diferen a de press o que far o l quido fluir da coluna mais alta para a coluna mais baixa.
Para descrever o fluxo, definido um sistema de coordenadas no qual o l quido flui de o posição no início do tubo ($L_i$) para o posição na extremidade do tubo ($L_e$), indicando que a press o em la pressão na posição inicial ($p_i$) maior do que em la pressão na posição final (e) ($p_e$). Este movimento depende de o comprimento do tubo ($\Delta L$), que calculado da seguinte forma:
Ao resolver a equa o de fluxo com a condi o de contorno, obtemos la velocidade em um raio do cilindro ($v$) como uma fun o de o raio de curvatura ($r$), representada por uma par bola centrada em la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) e igual a zero em o raio do tubo ($R$):
O valor de la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) no centro de um cilindro depende de la viscosidade ($\eta$), o raio do tubo ($R$) e do gradiente criado por la diferença de pressão ($\Delta p_s$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$), conforme representado abaixo:
O sinal negativo indica que o fluxo sempre ocorre na dire o oposta ao gradiente, ou seja, da rea de maior press o para a rea de menor press o.
O fluxo de volume ($J_V$) pode ser calculado com a lei de Hagen-Poiseuille que com os par metros la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$), o raio do tubo ($R$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) :
Uma densidade de fluxo ($j_s$) pode ser expresso em termos de o fluxo de volume ($J_V$) utilizando la seção ou superfície ($S$) atrav s da seguinte f rmula:
O crit rio chave para determinar se um meio laminar ou turbulento o chamado n mero de Reynolds, que compara a energia associada in rcia com aquela associada viscosidade. A primeira depende de la densidade ($\rho$), la velocidade média do fluido ($v$) e la dimensão típica do sistema ($R$), enquanto a segunda depende de la viscosidade ($\eta$), definindo-o como:
La superfície de um disco ($S$) de um raio do disco ($r$) calculada da seguinte forma:
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