
Velocidade de saída da coluna líquida
Descrição 
Se houver uma altura da coluna (h) de líquido com la densidade líquida (\rho_w) sob o efeito da gravidade, utilizando la aceleração gravitacional (g), é gerado ($$) conforme:
\Delta p = \rho_w g h |
Este ($$) gera, através do tubo de saída com o comprimento do tubo (\Delta L), o raio do tubo (R) e la viscosidade (\eta), um fluxo de um fluxo de volume 1 (J_{V1}) de acordo com a lei de Hagen-Poiseuille:
J_{V2} =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L } |
Como esta equação inclui la seção no ponto 2 (S_2), la densidade de fluxo 2 (j_{s2}) pode ser calculado através de:
j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S } |
Com isso, obtém-se:
j_{s2} = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h |
que corresponde a uma velocidade média.
Para modelar o sistema, os parâmetros-chave são:
• Diâmetro interno do recipiente: 93 mm
• Diâmetro interno do canal de evacuação: 3,2 mm
• Comprimento do canal de evacuação: 18 mm
A altura inicial do líquido é de 25 cm.
ID:(9870, 0)

Diminuição do nível da coluna líquida
Descrição 
Si analisarmos a equação
j_{s2} = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h |
que descreve a aplicação de Hagen-Poiseuille, podemos observar que a curva só se ajusta aos dados experimentais nos seguintes casos:
A velocidade é baixa (quando a coluna está quase vazia)
O raio do canal de evacuação deve ser reduzido de 1,5 mm para 0,6 mm.
Isso indica que o fluxo é principalmente turbulento e que apenas em níveis de baixa velocidade a velocidade é suficientemente baixa para que o número de Reynolds seja baixo o suficiente para que o fluxo seja laminar.
ID:(11065, 0)

Experiência de fundição de colunas: altura e alcance
Descrição 
Se o programa Tracker for utilizado, é possível medir a altura do menisco da coluna e o alcance do jato. A relação entre os dois é mostrada no seguinte gráfico:
Os dados registrados, que podem ser baixados como uma tabela do Excel no seguinte link tabela do Excel, são os seguintes:
Zeit [s] | Höhe [m] | Weite [m] |
0 | 2.23E-01 | 1.89E-01 |
4 | 2.14E-01 | 1.86E-01 |
8 | 2.04E-01 | 1.82E-01 |
12 | 1.94E-01 | 1.77E-01 |
16 | 1.86E-01 | 1.72E-01 |
20 | 1.79E-01 | 1.68E-01 |
24 | 1.71E-01 | 1.66E-01 |
28 | 1.63E-01 | 1.62E-01 |
32 | 1.54E-01 | 1.58E-01 |
36 | 1.46E-01 | 1.52E-01 |
40 | 1.39E-01 | 1.48E-01 |
44 | 1.32E-01 | 1.44E-01 |
48 | 1.24E-01 | 1.39E-01 |
52 | 1.18E-01 | 1.35E-01 |
56 | 1.11E-01 | 1.31E-01 |
60 | 1.06E-01 | 1.27E-01 |
64 | 9.88E-02 | 1.23E-01 |
68 | 9.29E-02 | 1.18E-01 |
72 | 8.70E-02 | 1.15E-01 |
76 | 8.11E-02 | 1.12E-01 |
80 | 7.52E-02 | 1.06E-01 |
84 | 7.12E-02 | 1.02E-01 |
88 | 6.51E-02 | 9.69E-02 |
92 | 6.00E-02 | 9.42E-02 |
96 | 5.58E-02 | 8.94E-02 |
100 | 5.09E-02 | 8.52E-02 |
104 | 4.70E-02 | 8.13E-02 |
108 | 4.34E-02 | 7.63E-02 |
112 | 3.97E-02 | 7.22E-02 |
116 | 3.49E-02 | 6.79E-02 |
120 | 3.15E-02 | 6.28E-02 |
124 | 2.91E-02 | 5.96E-02 |
128 | 2.58E-02 | 5.33E-02 |
132 | 2.23E-02 | 4.92E-02 |
136 | 1.98E-02 | 4.31E-02 |
140 | 1.71E-02 | 3.85E-02 |
144 | 1.54E-02 | 3.38E-02 |
148 | 1.28E-02 | 2.85E-02 |
152 | 1.11E-02 | 2.23E-02 |
156 | 9.17E-03 | 1.54E-02 |
160 | 7.15E-03 | 7.95E-03 |
Nota: E é a notação científica (zB. 1.2E+3 = 1.2x10^3 = 1200, y 1.2E-3 = 1.2x10^-3 = 0.0012)
ID:(11062, 0)

Modelo
Top 

Parâmetros

Variáveis

Cálculos




Cálculos
Cálculos







Equações
j_{s2} = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h
j_s = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l )
\Delta p = \rho_w g h
Dp = rho_w * g * Dh
h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}
h = h_0 *exp(- t / tau_hp )
j_{s1} =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }
j_s = Ds / Dt
j_{s1} = \displaystyle\frac{ J_{V1} }{ S_1 }
j_s = J_V / S
j_{s2} = \displaystyle\frac{ J_{V2} }{ S_2 }
j_s = J_V / S
J_{V2} =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }
J_V =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL )
J_{V1} = J_{V2}
J_V1 = J_V2
S_1 = \pi r ^2
S = pi * r ^2
S_2 = \pi R ^2
S = pi * r ^2
S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2}
S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2
\tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}
tau_hp = (8* eta * DL * S )/( pi * R ^4 * rho * g * h )
ID:(15494, 0)

Coluna de tempo característica com líquido viscoso
Equação 
O coluna de tempo característica com Hagen Pouseuille (\tau_{hp}) é calculado a partir de la aceleração gravitacional (g), la densidade líquida (\rho_w), o comprimento do tubo (\Delta L), o raio do tubo (R), la seção no ponto 2 (S_2) e la viscosidade (\eta) utilizando:
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ID:(14521, 0)

Experimento de Fundição de Colunas: Modelo com Hagen Poiseuille
Equação 
Dado o modelo para o fluxo de um líquido viscoso através de um tubo, e considerando que a altura da coluna determina a pressão, podemos estimar la densidade de fluxo (j_s) em função de la altura da coluna (h), utilizando la aceleração gravitacional (g), la densidade líquida (\rho_w), o comprimento do tubo (\Delta L), o raio do tubo (R) e la viscosidade (\eta) da seguinte forma:
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Se considerarmos que o canal de drenagem apresenta resistência hidráulica, podemos modelá-lo com a equação de Hagen-Poiseuille:
J_{V2} =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L } |
onde a diferença de pressão é determinada pela coluna de água:
p = \rho_w g h |
e a velocidade é obtida através do fluxo:
j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S } |
Dessa forma, obtemos a relação para o cálculo da velocidade em função da altura:
j_s = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h |
ID:(11064, 0)

Evolução temporal da coluna de líquido viscoso
Equação 
La altura da coluna (h), como função de o tempo (t), apresenta um comportamento exponencial com la altura inicial da coluna líquida (h_0) e o coluna de tempo característica com Hagen Pouseuille (\tau_{hp}):
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Se na equação
S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h |
as constantes forem substituídas por
\tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g} |
obtemos a equação diferencial linear de primeira ordem
\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_{hp}} h
cuja solução é
h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}} |
ID:(14522, 0)

Fluxo de volume instantâneo
Equação 
Uma das leis mais básicas na física é a conservação da massa, que é válida em todo o nosso mundo macroscópico. Apenas no mundo microscópico existe uma conversão entre massa e energia, a qual não consideraremos neste caso. No caso de um fluido, isso significa que a massa que entra por um tubo deve ser igual à que sai dele.
Se a densidade for constante, o mesmo se aplica ao volume. Nestes casos, quando tratamos o fluxo como um fluido incompressível, significa que um determinado volume que entra em uma extremidade do tubo deve sair pela outra extremidade. Isso pode ser expresso como a igualdade entre o fluxona posição 1 (J_1) e o fluxona posição 2 (J_2), com a equação:
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ID:(939, 0)

Fluxo de volume instantâneo
Equação 
O princípio da continuidade determina que o fluxo no primeiro ponto, que é igual a la densidade de fluxo 1 (j_{s1}) vezes la seção no ponto 1 (S_1), deve ser igual ao fluxo no segundo ponto, dado por la densidade de fluxo 2 (j_{s2}) vezes la seção no ponto 2 (S_2). A partir disso, conclui-se que:
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ID:(4350, 0)

Densidade média de fluxo
Equação 
La densidade de fluxo (j_s) está relacionado com la distância percorrida em um tempo (\Delta s), que é a distância que o fluido percorre em o tempo decorrido (\Delta t), da seguinte maneira:
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ID:(4348, 0)

Fluxo de volume e sua velocidade (1)
Equação 
Uma densidade de fluxo (j_s) pode ser expresso em termos de o fluxo de volume (J_V) utilizando la seção ou superfície (S) através da seguinte fórmula:
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O fluxo é definido como o volume o elemento de volume (\Delta V) dividido pelo tempo o tempo decorrido (\Delta t), conforme expresso na seguinte equação:
J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t } |
e o volume é igual à área da seção la seção de tubo (S) multiplicada pela distância percorrida o elemento de tubo (\Delta s):
\Delta V = S \Delta s |
Como a distância percorrida o elemento de tubo (\Delta s) por unidade de tempo o tempo decorrido (\Delta t) corresponde à velocidade, ela é representada por:
j_{s1} =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t } |
Assim, o fluxo é Uma densidade de fluxo (j_s), que é calculado usando:
j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S } |
ID:(4349, 1)

Fluxo de volume e sua velocidade (2)
Equação 
Uma densidade de fluxo (j_s) pode ser expresso em termos de o fluxo de volume (J_V) utilizando la seção ou superfície (S) através da seguinte fórmula:
![]() |
![]() |
O fluxo é definido como o volume o elemento de volume (\Delta V) dividido pelo tempo o tempo decorrido (\Delta t), conforme expresso na seguinte equação:
J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t } |
e o volume é igual à área da seção la seção de tubo (S) multiplicada pela distância percorrida o elemento de tubo (\Delta s):
\Delta V = S \Delta s |
Como a distância percorrida o elemento de tubo (\Delta s) por unidade de tempo o tempo decorrido (\Delta t) corresponde à velocidade, ela é representada por:
j_{s1} =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t } |
Assim, o fluxo é Uma densidade de fluxo (j_s), que é calculado usando:
j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S } |
ID:(4349, 2)

Lei de Hagen Poiseuille
Equação 
O fluxo de volume (J_V) pode ser calculado com a lei de Hagen-Poiseuille que com os parâmetros la viscosidade (\eta), la diferença de pressão (\Delta p), o raio do tubo (R) e o comprimento do tubo (\Delta L) é:
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Se considerarmos o perfil de velocidade em um raio do cilindro (v) para um fluido em um canal cilíndrico, onde la velocidade em um raio do cilindro (v) varia em relação a raio de posição em um tubo (r) de acordo com a seguinte expressão:
v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right) |
envolvendo o raio do tubo (R) e la taxa de fluxo máxima (v_{max}). Podemos calcular la taxa de fluxo máxima (v_{max}) utilizando la viscosidade (\eta), la diferença de pressão (\Delta p) e o comprimento do tubo (\Delta L) da seguinte forma:
v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L } |
Se integrarmos a velocidade em toda a seção transversal do canal, obteremos o fluxo de volume (J_V), definida como a integral de \pi r v(r) em relação a raio de posição em um tubo (r) de 0 a raio do tubo (R). Essa integral pode ser simplificada da seguinte maneira:
J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)
A integração resulta na lei de Hagen-Poiseuille resultante:
J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L } |
ID:(3178, 0)

Diferença de pressão entre colunas
Equação 
A diferença de altura, representada por la diferença de altura (\Delta h), implica que a pressão em ambas as colunas é diferente. Em particular, la diferença de pressão (\Delta p) é uma função de la densidade líquida (\rho_w), la aceleração gravitacional (g) e la diferença de altura (\Delta h), da seguinte forma:
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Se houver la diferença de pressão (\Delta p) entre dois pontos, conforme determinado pela equação:
\Delta p = p_2 - p_1 |
podemos usar la pressão da coluna de água (p), que é definida como:
p_t = p_0 + \rho_w g h |
Isso resulta em:
\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g
Como la diferença de altura (\Delta h) é:
\Delta h = h_2 - h_1 |
la diferença de pressão (\Delta p) pode ser expressa como:
\Delta p = \rho_w g \Delta h |
ID:(4345, 0)

Superfície de um disco (1)
Equação 
La superfície de um disco (S) de um raio do disco (r) é calculada da seguinte forma:
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ID:(3804, 1)

Superfície de um disco (2)
Equação 
La superfície de um disco (S) de um raio do disco (r) é calculada da seguinte forma:
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ID:(3804, 2)