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Fundição de coluna laminar

Storyboard

>Modelo

ID:(1428, 0)



Mecanismos

Iframe

>Top



Código
Conceito

Mecanismos

ID:(15492, 0)



Velocidade de saída da coluna líquida

Descrição

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Se houver uma altura da coluna (h) de líquido com la densidade líquida (\rho_w) sob o efeito da gravidade, utilizando la aceleração gravitacional (g), é gerado ($$) conforme:

\Delta p = \rho_w g h



Este ($$) gera, através do tubo de saída com o comprimento do tubo (\Delta L), o raio do tubo (R) e la viscosidade (\eta), um fluxo de um fluxo de volume 1 (J_{V1}) de acordo com a lei de Hagen-Poiseuille:

J_{V2} =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }



Como esta equação inclui la seção no ponto 2 (S_2), la densidade de fluxo 2 (j_{s2}) pode ser calculado através de:

j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }



Com isso, obtém-se:

j_{s2} = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h



que corresponde a uma velocidade média.

Para modelar o sistema, os parâmetros-chave são:

• Diâmetro interno do recipiente: 93 mm

• Diâmetro interno do canal de evacuação: 3,2 mm

• Comprimento do canal de evacuação: 18 mm

A altura inicial do líquido é de 25 cm.

ID:(9870, 0)



Diminuição do nível da coluna líquida

Descrição

>Top


Si analisarmos a equação

j_{s2} = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h



que descreve a aplicação de Hagen-Poiseuille, podemos observar que a curva só se ajusta aos dados experimentais nos seguintes casos:

A velocidade é baixa (quando a coluna está quase vazia)
O raio do canal de evacuação deve ser reduzido de 1,5 mm para 0,6 mm.

Isso indica que o fluxo é principalmente turbulento e que apenas em níveis de baixa velocidade a velocidade é suficientemente baixa para que o número de Reynolds seja baixo o suficiente para que o fluxo seja laminar.

ID:(11065, 0)



Experiência de fundição de colunas: altura e alcance

Descrição

>Top


Se o programa Tracker for utilizado, é possível medir a altura do menisco da coluna e o alcance do jato. A relação entre os dois é mostrada no seguinte gráfico:

Os dados registrados, que podem ser baixados como uma tabela do Excel no seguinte link tabela do Excel, são os seguintes:

Zeit [s]Höhe [m]Weite [m]
02.23E-011.89E-01
42.14E-011.86E-01
82.04E-011.82E-01
121.94E-011.77E-01
161.86E-011.72E-01
201.79E-011.68E-01
241.71E-011.66E-01
281.63E-011.62E-01
321.54E-011.58E-01
361.46E-011.52E-01
401.39E-011.48E-01
441.32E-011.44E-01
481.24E-011.39E-01
521.18E-011.35E-01
561.11E-011.31E-01
601.06E-011.27E-01
649.88E-021.23E-01
689.29E-021.18E-01
728.70E-021.15E-01
768.11E-021.12E-01
807.52E-021.06E-01
847.12E-021.02E-01
886.51E-029.69E-02
926.00E-029.42E-02
965.58E-028.94E-02
1005.09E-028.52E-02
1044.70E-028.13E-02
1084.34E-027.63E-02
1123.97E-027.22E-02
1163.49E-026.79E-02
1203.15E-026.28E-02
1242.91E-025.96E-02
1282.58E-025.33E-02
1322.23E-024.92E-02
1361.98E-024.31E-02
1401.71E-023.85E-02
1441.54E-023.38E-02
1481.28E-022.85E-02
1521.11E-022.23E-02
1569.17E-031.54E-02
1607.15E-037.95E-03

Nota: E é a notação científica (zB. 1.2E+3 = 1.2x10^3 = 1200, y 1.2E-3 = 1.2x10^-3 = 0.0012)

ID:(11062, 0)



Modelo

Top

>Top



Parâmetros

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
g
g
Aceleração gravitacional
m/s^2
\tau_{hp}
tau_hp
Coluna de tempo característica com Hagen Pouseuille
s
\rho_w
rho_w
Densidade líquida
kg/m^3
\pi
pi
Pi
rad
R
R
Raio do tubo
m
\eta
eta
Viscosidade
Pa s

Variáveis

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
h
h
Altura da coluna
m
h_0
h_0
Altura inicial da coluna líquida
m
\Delta L
DL
Comprimento do tubo
m
j_{s1}
j_s1
Densidade de fluxo 1
m/s
j_{s2}
j_s2
Densidade de fluxo 2
m/s
\Delta s
Ds
Elemento de tubo
m
J_{V1}
J_V1
Fluxo de volume 1
m^3/s
J_{V2}
J_V2
Fluxo de volume 2
m^3/s
r
r
Raio do disco
m
S_1
S_1
Seção no ponto 1
m^2
S_2
S_2
Seção no ponto 2
m^2
t
t
Tempo
s
\Delta t
Dt
Tempo decorrido
s

Cálculos


Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para
j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) Dp = rho_w * g * h h = h_0 *exp(- t / tau_hp ) j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) J_V1 = J_V2 S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado
j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) Dp = rho_w * g * h h = h_0 *exp(- t / tau_hp ) j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) J_V1 = J_V2 S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta




Equações

#
Equação

j_{s2} = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h

j_s = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l )


\Delta p = \rho_w g h

Dp = rho_w * g * Dh


h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}

h = h_0 *exp(- t / tau_hp )


j_{s1} =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }

j_s = Ds / Dt


j_{s1} = \displaystyle\frac{ J_{V1} }{ S_1 }

j_s = J_V / S


j_{s2} = \displaystyle\frac{ J_{V2} }{ S_2 }

j_s = J_V / S


J_{V2} =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }

J_V =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL )


J_{V1} = J_{V2}

J_V1 = J_V2


S_1 = \pi r ^2

S = pi * r ^2


S_2 = \pi R ^2

S = pi * r ^2


S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2}

S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2


\tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}

tau_hp = (8* eta * DL * S )/( pi * R ^4 * rho * g * h )

ID:(15494, 0)



Coluna de tempo característica com líquido viscoso

Equação

>Top, >Modelo


O coluna de tempo característica com Hagen Pouseuille (\tau_{hp}) é calculado a partir de la aceleração gravitacional (g), la densidade líquida (\rho_w), o comprimento do tubo (\Delta L), o raio do tubo (R), la seção no ponto 2 (S_2) e la viscosidade (\eta) utilizando:

\tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}

g
Aceleração gravitacional
9.8
m/s^2
5310
\tau_{hp}
Coluna de tempo característica com Hagen Pouseuille
s
10087
\Delta L
Comprimento do tubo
m
5430
\rho_w
Densidade líquida
kg/m^3
5407
\pi
Pi
3.1415927
rad
5057
R
Raio do tubo
m
5417
S
S_2
Seção no ponto 2
m^2
5413
\eta
Viscosidade
Pa s
5422
J_V1 = J_V2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 Dp = rho_w * g * h j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h ) h = h_0 *exp(- t / tau_hp )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta

ID:(14521, 0)



Experimento de Fundição de Colunas: Modelo com Hagen Poiseuille

Equação

>Top, >Modelo


Dado o modelo para o fluxo de um líquido viscoso através de um tubo, e considerando que a altura da coluna determina a pressão, podemos estimar la densidade de fluxo (j_s) em função de la altura da coluna (h), utilizando la aceleração gravitacional (g), la densidade líquida (\rho_w), o comprimento do tubo (\Delta L), o raio do tubo (R) e la viscosidade (\eta) da seguinte forma:

j_{s2} = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h

j_s = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h

g
Aceleração gravitacional
9.8
m/s^2
5310
h
Altura da coluna
m
5406
\Delta L
Comprimento do tubo
m
5430
j_s
j_{s2}
Densidade de fluxo 2
m/s
10289
\rho_w
Densidade líquida
kg/m^3
5407
R
Raio do tubo
m
5417
\eta
Viscosidade
Pa s
5422
J_V1 = J_V2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 Dp = rho_w * g * h j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h ) h = h_0 *exp(- t / tau_hp )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta

Se considerarmos que o canal de drenagem apresenta resistência hidráulica, podemos modelá-lo com a equação de Hagen-Poiseuille:

J_{V2} =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }



onde a diferença de pressão é determinada pela coluna de água:

p = \rho_w g h



e a velocidade é obtida através do fluxo:

j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }



Dessa forma, obtemos a relação para o cálculo da velocidade em função da altura:

j_s = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h

ID:(11064, 0)



Evolução temporal da coluna de líquido viscoso

Equação

>Top, >Modelo


La altura da coluna (h), como função de o tempo (t), apresenta um comportamento exponencial com la altura inicial da coluna líquida (h_0) e o coluna de tempo característica com Hagen Pouseuille (\tau_{hp}):

h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}

h
Altura da coluna
m
5406
h_0
Altura inicial da coluna líquida
m
10085
\tau_{hp}
Coluna de tempo característica com Hagen Pouseuille
s
10087
t
Tempo
s
5264
J_V1 = J_V2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 Dp = rho_w * g * h j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h ) h = h_0 *exp(- t / tau_hp )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta

Se na equação

S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h



as constantes forem substituídas por

\tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}



obtemos a equação diferencial linear de primeira ordem

\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_{hp}} h



cuja solução é

h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}

ID:(14522, 0)



Fluxo de volume instantâneo

Equação

>Top, >Modelo


Uma das leis mais básicas na física é a conservação da massa, que é válida em todo o nosso mundo macroscópico. Apenas no mundo microscópico existe uma conversão entre massa e energia, a qual não consideraremos neste caso. No caso de um fluido, isso significa que a massa que entra por um tubo deve ser igual à que sai dele.

Se a densidade for constante, o mesmo se aplica ao volume. Nestes casos, quando tratamos o fluxo como um fluido incompressível, significa que um determinado volume que entra em uma extremidade do tubo deve sair pela outra extremidade. Isso pode ser expresso como a igualdade entre o fluxona posição 1 (J_1) e o fluxona posição 2 (J_2), com a equação:

J_{V1} = J_{V2}

J_{V1}
Fluxo de volume 1
m^3/s
8478
J_{V2}
Fluxo de volume 2
m^3/s
8479
J_V1 = J_V2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 Dp = rho_w * g * h j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h ) h = h_0 *exp(- t / tau_hp )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta

ID:(939, 0)



Fluxo de volume instantâneo

Equação

>Top, >Modelo


O princípio da continuidade determina que o fluxo no primeiro ponto, que é igual a la densidade de fluxo 1 (j_{s1}) vezes la seção no ponto 1 (S_1), deve ser igual ao fluxo no segundo ponto, dado por la densidade de fluxo 2 (j_{s2}) vezes la seção no ponto 2 (S_2). A partir disso, conclui-se que:

S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2}

j_{s1}
Densidade de fluxo 1
m/s
10288
j_{s2}
Densidade de fluxo 2
m/s
10289
S_1
Seção no ponto 1
m^2
5257
S_2
Seção no ponto 2
m^2
5413
J_V1 = J_V2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 Dp = rho_w * g * h j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h ) h = h_0 *exp(- t / tau_hp )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta

ID:(4350, 0)



Densidade média de fluxo

Equação

>Top, >Modelo


La densidade de fluxo (j_s) está relacionado com la distância percorrida em um tempo (\Delta s), que é a distância que o fluido percorre em o tempo decorrido (\Delta t), da seguinte maneira:

j_{s1} =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }

j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }

j_s
j_{s1}
Densidade de fluxo 1
m/s
10288
\Delta s
Elemento de tubo
m
10291
\Delta t
Tempo decorrido
s
5103
J_V1 = J_V2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 Dp = rho_w * g * h j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h ) h = h_0 *exp(- t / tau_hp )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta

ID:(4348, 0)



Fluxo de volume e sua velocidade (1)

Equação

>Top, >Modelo


Uma densidade de fluxo (j_s) pode ser expresso em termos de o fluxo de volume (J_V) utilizando la seção ou superfície (S) através da seguinte fórmula:

j_{s1} = \displaystyle\frac{ J_{V1} }{ S_1 }

j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }

j_s
j_{s1}
Densidade de fluxo 1
m/s
10288
J_V
J_{V1}
Fluxo de volume 1
m^3/s
8478
S
S_1
Seção no ponto 1
m^2
5257
J_V1 = J_V2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 Dp = rho_w * g * h j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h ) h = h_0 *exp(- t / tau_hp )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta

O fluxo é definido como o volume o elemento de volume (\Delta V) dividido pelo tempo o tempo decorrido (\Delta t), conforme expresso na seguinte equação:

J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }



e o volume é igual à área da seção la seção de tubo (S) multiplicada pela distância percorrida o elemento de tubo (\Delta s):

\Delta V = S \Delta s



Como a distância percorrida o elemento de tubo (\Delta s) por unidade de tempo o tempo decorrido (\Delta t) corresponde à velocidade, ela é representada por:

j_{s1} =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }



Assim, o fluxo é Uma densidade de fluxo (j_s), que é calculado usando:

j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }

ID:(4349, 1)



Fluxo de volume e sua velocidade (2)

Equação

>Top, >Modelo


Uma densidade de fluxo (j_s) pode ser expresso em termos de o fluxo de volume (J_V) utilizando la seção ou superfície (S) através da seguinte fórmula:

j_{s2} = \displaystyle\frac{ J_{V2} }{ S_2 }

j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }

j_s
j_{s2}
Densidade de fluxo 2
m/s
10289
J_V
J_{V2}
Fluxo de volume 2
m^3/s
8479
S
S_2
Seção no ponto 2
m^2
5413
J_V1 = J_V2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 Dp = rho_w * g * h j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h ) h = h_0 *exp(- t / tau_hp )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta

O fluxo é definido como o volume o elemento de volume (\Delta V) dividido pelo tempo o tempo decorrido (\Delta t), conforme expresso na seguinte equação:

J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }



e o volume é igual à área da seção la seção de tubo (S) multiplicada pela distância percorrida o elemento de tubo (\Delta s):

\Delta V = S \Delta s



Como a distância percorrida o elemento de tubo (\Delta s) por unidade de tempo o tempo decorrido (\Delta t) corresponde à velocidade, ela é representada por:

j_{s1} =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }



Assim, o fluxo é Uma densidade de fluxo (j_s), que é calculado usando:

j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }

ID:(4349, 2)



Lei de Hagen Poiseuille

Equação

>Top, >Modelo


O fluxo de volume (J_V) pode ser calculado com a lei de Hagen-Poiseuille que com os parâmetros la viscosidade (\eta), la diferença de pressão (\Delta p), o raio do tubo (R) e o comprimento do tubo (\Delta L) é:

J_{V2} =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }

J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }

\Delta L
Comprimento do tubo
m
5430
J_V
J_{V2}
Fluxo de volume 2
m^3/s
8479
\pi
Pi
3.1415927
rad
5057
R
Raio do tubo
m
5417
\eta
Viscosidade
Pa s
5422
J_V1 = J_V2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 Dp = rho_w * g * h j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h ) h = h_0 *exp(- t / tau_hp )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta

Se considerarmos o perfil de velocidade em um raio do cilindro (v) para um fluido em um canal cilíndrico, onde la velocidade em um raio do cilindro (v) varia em relação a raio de posição em um tubo (r) de acordo com a seguinte expressão:

v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)



envolvendo o raio do tubo (R) e la taxa de fluxo máxima (v_{max}). Podemos calcular la taxa de fluxo máxima (v_{max}) utilizando la viscosidade (\eta), la diferença de pressão (\Delta p) e o comprimento do tubo (\Delta L) da seguinte forma:

v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }



Se integrarmos a velocidade em toda a seção transversal do canal, obteremos o fluxo de volume (J_V), definida como a integral de \pi r v(r) em relação a raio de posição em um tubo (r) de 0 a raio do tubo (R). Essa integral pode ser simplificada da seguinte maneira:

J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)



A integração resulta na lei de Hagen-Poiseuille resultante:

J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }

ID:(3178, 0)



Diferença de pressão entre colunas

Equação

>Top, >Modelo


A diferença de altura, representada por la diferença de altura (\Delta h), implica que a pressão em ambas as colunas é diferente. Em particular, la diferença de pressão (\Delta p) é uma função de la densidade líquida (\rho_w), la aceleração gravitacional (g) e la diferença de altura (\Delta h), da seguinte forma:

\Delta p = \rho_w g h

\Delta p = \rho_w g \Delta h

g
Aceleração gravitacional
9.8
m/s^2
5310
\Delta h
h
Altura da coluna
m
5406
\rho_w
Densidade líquida
kg/m^3
5407
J_V1 = J_V2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 Dp = rho_w * g * h j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h ) h = h_0 *exp(- t / tau_hp )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta

Se houver la diferença de pressão (\Delta p) entre dois pontos, conforme determinado pela equação:

\Delta p = p_2 - p_1



podemos usar la pressão da coluna de água (p), que é definida como:

p_t = p_0 + \rho_w g h



Isso resulta em:

\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g



Como la diferença de altura (\Delta h) é:

\Delta h = h_2 - h_1



la diferença de pressão (\Delta p) pode ser expressa como:

\Delta p = \rho_w g \Delta h

ID:(4345, 0)



Superfície de um disco (1)

Equação

>Top, >Modelo


La superfície de um disco (S) de um raio do disco (r) é calculada da seguinte forma:

S_1 = \pi r ^2

S = \pi r ^2

\pi
Pi
3.1415927
rad
5057
r
Raio do disco
m
5275
S
S_1
Seção no ponto 1
m^2
5257
J_V1 = J_V2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 Dp = rho_w * g * h j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h ) h = h_0 *exp(- t / tau_hp )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta

ID:(3804, 1)



Superfície de um disco (2)

Equação

>Top, >Modelo


La superfície de um disco (S) de um raio do disco (r) é calculada da seguinte forma:

S_2 = \pi R ^2

S = \pi r ^2

\pi
Pi
3.1415927
rad
5057
r
R
Raio do tubo
m
5417
S
S_2
Seção no ponto 2
m^2
5413
J_V1 = J_V2 J_V2 =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL ) S_1 = pi * r ^2 S_2 = pi * R ^2 Dp = rho_w * g * h j_s1 = Ds / Dt j_s1 = J_V1 / S_1 j_s2 = J_V2 / S_2 S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2 j_s2 = rho_w * g * R ^2* h /(8* eta * l ) tau_hp = (8* eta * DL * S_2 )/( pi * R ^4 * rho * g * h ) h = h_0 *exp(- t / tau_hp )ghh_0tau_hpDLj_s1j_s2rho_wDsJ_V1J_V2pirRS_1S_2tDteta

ID:(3804, 2)