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Lorsque l'on considère l'écoulement laminaire d'un fluide visqueux à travers un tube, un motif se forme où la vitesse est maximale au centre et nulle sur les bords. Le débit total dépend du profil cylindrique et est inversement proportionnel à la viscosité du fluide, avec une relation à la quatrième puissance par rapport au rayon.

>Modèle

ID:(876, 0)

Iframe

>Top

ID:(15491, 0)

Concept

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Lorsqu'un tube rempli de liquide d'une viscosité de viscosité ($\eta$) est exposé à A pression en position initiale ($p_i$) en le positionner au début du tube ($L_i$) et a pression en position finale (e) ($p_e$) en le positionner au bout du tube ($L_e$), cela génère une différence de pression ($\Delta p_s$) le long de le longueur du tube ($\Delta L$), ce qui donne le profil de a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) :

Dans les écoulements avec de faibles valeurs de le le numéro de Reynold ($Re$), où la viscosité est plus significative que l'inertie du liquide, l'écoulement se développe de manière laminée, c'est-à-dire sans la présence de turbulences.

ID:(2218, 0)

Concept

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Dans un écoulement laminaire, des couches adjacentes se déplacent et une force est générée par la viscosité entre elles. La couche la plus rapide entraîne sa voisine plus lente, tandis que la plus lente limite l'avancement de la plus rapide.

Par conséquent, la force a force visqueuse ($F_v$) générée par ($$) sur l'autre est une fonction de ($$), ($$) et ($$), comme indiqué dans l'équation suivante :

illustrée dans le schéma suivant :

ID:(7053, 0)

Concept

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L'écoulement laminaire autour d'un cylindre peut être représenté comme plusieurs couches cylindriques glissant sous l'influence des couches adjacentes. Dans ce cas, a force visqueuse ($F_v$) avec le longueur du tube ($\Delta L$), a viscosité ($\eta$) et les variables a position radiale dans le cylindre ($r$) et a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) est exprimée comme suit :



La couche à la frontière à ($$) reste stationnaire en raison de l'effet de bord et, à travers a viscosité ($\eta$), ralentit la couche adjacente qui a une vitesse.

Le centre est la partie qui se déplace à A vitesse maximal ($v_{max}$), entraînant la couche environnante. À son tour, cette couche entraîne la suivante, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'elle atteigne la couche en contact avec la paroi du cylindre, qui est immobile.

Ainsi, le système transfère de l'énergie du centre vers la paroi, générant un profil de vitesse représenté par :



avec :

ID:(7057, 0)

Concept

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Dans le cas où A densité de flux ($j_s$) est constant, le volumique flux ($J_V$) peut être calculé en utilisant a coupe ou surface ($S$) selon :

Si a densité de flux ($j_s$) varie, des éléments de section $dS$ suffisamment petits peuvent être considérés pour que l'équation reste valide, au sens où la contribution au flux est :

$dJ_V = j_s dS$

En intégrant cette expression sur toute la section, on obtient que

ID:(15719, 0)

Concept

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Le profil de a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) en le rayon de position dans un tube ($r$) nous permet de calculer le volumique flux ($J_V$) dans un tube en intégrant sur toute la surface, ce qui nous conduit à la loi bien connue de Hagen-Poiseuille.

Le résultat est une équation qui dépend de rayon du tube ($R$) élevé à la quatrième puissance. Cependant, il est essentiel de noter que ce profil d'écoulement n'est valable que dans le cas d'un écoulement laminaire.

Ainsi, avec cela, on déduit de a viscosité ($\eta$) que le volumique flux ($J_V$) devant un longueur du tube ($\Delta L$) et ($$), l'expression :

Les articles originaux qui ont donné naissance à cette loi avec un nom combiné étaient:

"Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sur les lois régissant l'écoulement de l'eau dans des récipients cylindriques), Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).

"Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres", Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).

ID:(2216, 0)

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L'inertie d'un liquide peut être comprise comme étant proportionnelle à la densité d'énergie cinétique, donnée par

$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$

où A densité du liquide ($\rho_w$) et a vitesse moyenne du fluide ($v$) sont impliqués.

Si nous considérons a force visqueuse ($F_v$) comme étant

$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

où A coupe ou surface ($S$), a viscosité ($\eta$), a vitesse moyenne du fluide ($v$) et a dimension typique du système ($R$) sont des propriétés du liquide.

Rappelons que l'énergie est égale à A force visqueuse ($F_v$) multipliée par le distance parcourue ($l$). La densité d'énergie perdue en raison de la viscosité sera égale à la force multipliée par la distance divisée par le volume $S l$ :

$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

Par conséquent, le rapport entre la densité d'énergie cinétique et la densité d'énergie visqueuse est égal à un nombre sans dimension connu sous le nom de le le numéro de Reynold ($Re$). Lorsque le le numéro de Reynold ($Re$) est bien supérieur à un, l'inertie l'emporte sur la force visqueuse et l'écoulement devient turbulent. En revanche, si le le numéro de Reynold ($Re$) est faible, la force visqueuse domine et l'écoulement devient laminaire.

En résumé, le le numéro de Reynold ($Re$) est un paramètre sans dimension qui indique la relation entre l'inertie et la force visqueuse dans un écoulement. Si le nombre de Reynolds est bien inférieur à un ($Re\ll 1$), la viscosité domine et l'écoulement est laminaire. Si le nombre de Reynolds est supérieur à un ($Re\gg 1$), l'inertie domine et l'écoulement est turbulent.

L'article original dans lequel Osborne Reynolds introduit le nombre qui porte son nom est :

"Enquête Expérimentale sur les Circonstances Qui Déterminent Si le Mouvement de l'Eau Doit Être Direct ou Sinueux, et sur la Loi de la Résistance dans les Canaux Parallèles" (An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels), Osborne Reynolds, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. 174, pp. 935-982 (1883).

ID:(15507, 0)

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Paramètres

$\rho$

rho

Densité

kg/m^3

$\pi$

pi

Pi

rad

$p_i$

p_i

Pression en position initiale

Pa

$R$

R

Rayon du tube

m

$\eta$

eta

Viscosité

Pa s

Variables

$S$

S

Coupe des pores

m^2

$j_s$

j_s

Densité de flux

m/s

$Re$

Re

Le numéro de Reynold

-

$\Delta L$

DL

Longueur du tube

m

$r$

r

Position radiale dans le cylindre

m

$L_e$

L_e

Positionner au bout du tube

m

$L_i$

L_i

Positionner au début du tube

m

$p_e$

p_e

Pression en position finale (e)

Pa

$v$

v

Vitesse dans un rayon du cylindre

m/s

$v_{max}$

v_max

Vitesse maximal

m/s

$J_V$

J_V

Volumique flux

m^3/s

Calculs

• Méthode alternative
• Méthode traditionnelle
• Stratégie
• 2D
• 3D

Équation

Nombre

D'abord, sélectionnez l'équation: à , puis, sélectionnez la variable: à

---

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Variable Donnée Calculer Cible : Équation À utiliser

Équations

ID:(15493, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Lorsque a pression en position initiale ($p_i$) et a pression en position finale (e) ($p_e$) sont connectés, une a différence de pression ($\Delta p_s$) est créée, qui est calculée à l'aide de la formule suivante :

$ \Delta p = p_e - p_i $

Conditions

Variables

$p_e$

Pression en position finale (e)

$Pa$

10116

$p_i$

Pression en position initiale

$Pa$

10115

Relation

a différence de pression ($\Delta p_s$) représente la différence de pression qui fera couler le liquide de la colonne la plus haute vers la colonne la plus basse.

ID:(14459, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Pour décrire l'écoulement, un système de coordonnées est défini dans lequel le liquide s'écoule de le positionner au début du tube ($L_i$) à Le positionner au bout du tube ($L_e$), ce qui signifie que la pression en a pression en position initiale ($p_i$) est supérieure à celle en a pression en position finale (e) ($p_e$). Ce mouvement dépend de le longueur du tube ($\Delta L$), qui est calculé comme suit :

$ \Delta L = L_e - L_i $

Conditions

Variables

$\Delta L$

Longueur du tube

$m$

5430

$L_e$

Positionner au bout du tube

$m$

6275

$L_i$

Positionner au début du tube

$m$

6274

Relation

ID:(3802, 0)

Équation

>Top, >Modèle

En résolvant l'équation de flux avec la condition aux limites, nous obtenons a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) comme une fonction de le rayon de courbure ($r$), représentée par une parabole centrée sur a vitesse maximal ($v_{max}$) et égale à zéro en le rayon du tube ($R$) :

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

Conditions

Variables

$r$

Position radiale dans le cylindre

$m$

5420

$R$

Rayon du tube

$m$

5417

$v$

Vitesse dans un rayon du cylindre

$m/s$

5449

$v_{max}$

Vitesse maximal

$m/s$

5421

Relation

Développement

Quand une a différence de pression ($\Delta p_s$) agit sur une section avec une aire de $\pi R^2$, avec le rayon du tube ($R$) comme le rayon de courbure ($r$), elle génère une force représentée par :

$\pi r^2 \Delta p$

Cette force pousse le liquide contre la résistance visqueuse, donnée par :



En égalant ces deux forces, nous obtenons :

$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$

Ce qui nous conduit à l'équation :

$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$

Si nous intégrons cette équation d'une position définie par le rayon de courbure ($r$) jusqu'au bord où se trouve le rayon du tube ($R$) (en tenant compte que la vitesse au bord est nulle), nous pouvons obtenir a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) en fonction de le rayon de courbure ($r$) :



Où :



est a vitesse maximal ($v_{max}$) au centre de l'écoulement.

.

ID:(3627, 0)

Équation

>Top, >Modèle

La valeur de a vitesse maximal ($v_{max}$) au centre d'un cylindre dépend de a viscosité ($\eta$), le rayon du tube ($R$) et du gradient créé par a différence de pression ($\Delta p_s$) et le longueur du tube ($\Delta L$), comme représenté ci-dessous :

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Conditions

Variables

$\Delta L$

Longueur du tube

$m$

5430

$R$

Rayon du tube

$m$

5417

$\eta$

Viscosité

$Pa s$

5422

$v_{max}$

Vitesse maximal

$m/s$

5421

Relation

Le signe négatif indique que le flux s'effectue toujours dans la direction opposée au gradient, c'est-à-dire, de la zone de plus haute pression vers la zone de plus basse pression.

ID:(3628, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Le volumique flux ($J_V$) peut être calculé avec la loi de Hagen-Poiseuille qui avec les paramètres a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$), le rayon du tube ($R$) et le longueur du tube ($\Delta L$) est :

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Conditions

Variables

$\Delta L$

Longueur du tube

$m$

5430

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$R$

Rayon du tube

$m$

5417

$\eta$

Viscosité

$Pa s$

5422

$J_V$

Volumique flux

$m^3/s$

5448

Relation

Développement

Si nous examinons le profil de vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) pour un fluide dans un canal cylindrique, où A vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) varie en fonction de rayon de position dans un tube ($r$) selon l'expression suivante :

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

avec le rayon du tube ($R$) et a vitesse maximal ($v_{max}$). Nous pouvons calculer a vitesse maximal ($v_{max}$) en utilisant a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$), et le longueur du tube ($\Delta L$) comme suit :

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Si nous intégrons la vitesse sur toute la section transversale du canal, nous obtenons le volumique flux ($J_V$), défini comme l'intégrale de $\pi r v(r)$ par rapport à rayon de position dans un tube ($r$) de $0$ à rayon du tube ($R$). Cette intégrale peut être simplifiée comme suit :

$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$

L'intégration donne la loi de Hagen-Poiseuille résultante :

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

ID:(3178, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Une densité de flux ($j_s$) peut être exprimé en termes de le volumique flux ($J_V$) à l'aide de a coupe ou surface ($S$) par la formule suivante :

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

Conditions

Variables

$S$

Coupe des pores

$m^2$

6011

$j_s$

Densité de flux

$m/s$

7220

$J_V$

Volumique flux

$m^3/s$

5448

Relation

Développement

Le flux est défini comme le volume le élément de volume ($\Delta V$) divisé par le temps le temps écoulé ($\Delta t$), ce qui est exprimé dans l'équation suivante :

$ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$

et le volume est égal à la section transversale a section de tube ($S$) multipliée par la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) :

$ \Delta V = S \Delta s $

Étant donné que la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) par unité de temps le temps écoulé ($\Delta t$) correspond à la vitesse, elle est représentée par :

$ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Ainsi, le flux est une densité de flux ($j_s$), qui est calculé à l'aide de :

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

ID:(4349, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Le critère clé pour déterminer si un milieu est laminé ou turbulent est le numéro de Reynolds, qui compare l'énergie associée à l'inertie à celle associée à la viscosité. La première dépend de a densité ($\rho$), a vitesse moyenne du fluide ($v$) et a dimension typique du système ($R$), tandis que la seconde dépend de a viscosité ($\eta$), le définissant ainsi :

$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v_{max} }{ \eta }$

$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

Conditions

Variables

$\rho$

Densité

$kg/m^3$

5342

$R$

$R$

Rayon du tube

$m$

5417

$Re$

Le numéro de Reynold

$-$

5432

$\eta$

Viscosité

$Pa s$

5422

$v$

$v_{max}$

Vitesse maximal

$m/s$

5421

Relation

ID:(3177, 0)

Équation

>Top, >Modèle

A section ($S$) de un rayon du disque ($r$) est calculée comme suit :

$ S = \pi R ^2$

$ S = \pi r ^2$

Conditions

Variables

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$r$

$R$

Rayon du tube

$m$

5417

$S$

$S$

Coupe des pores

$m^2$

6011

Relation

ID:(3804, 0)