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Flujo laminar viscoso
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Cuando consideramos un flujo laminar de un fluido viscoso a través de un tubo, se forma un patrón en el que la velocidad es máxima en el centro y nula en el borde. El flujo total está directamente relacionado con el perfil cilíndrico del radio elevado a la cuarta potencia y, a su vez, es inversamente proporcional a la viscosidad del fluido.
ID:(876, 0)
Mecanismos
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Mecanismos
ID:(15491, 0)
Flujo laminar por un tubo
Concepto
Cuando se expone un tubo lleno de líquido con viscosidad ($\eta$) a la presión en la posición inicial ($p_i$) en el posición al inicio del tubo ($L_i$) y la presión en la posición final (e) ($p_e$) en el posición al final del tubo ($L_e$), se genera una diferencia de presión ($\Delta p_s$) a lo largo de el largo de tubo ($\Delta L$), lo que da como resultado el perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$):
En flujos con valores bajos de el número de Reynold ($Re$), donde la viscosidad es más significativa que la inercia del líquido, el flujo se desarrolla de manera laminar, es decir, sin la presencia de turbulencias.
ID:(2218, 0)
Láminas en la corriente
Concepto
En el flujo laminar, capas contiguas se desplazan y existe una fuerza generada por la viscosidad entre ellas. La capa más rápida arrastra a su vecina más lenta, mientras que la más lenta restringe el avance de la más rápida.
Por lo tanto, la fuerza la fuerza viscosa ($F_v$) generada por unas superficies paralelas ($S$) sobre la otra es una función de una diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$), una distancia entre las superficies ($\Delta z$) y una viscosidad ($\eta$), como se muestra en la siguiente ecuación:
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
y en el diagrama correspondiente:
ID:(7053, 0)
Flujo por un cilindro
Concepto
El flujo laminar alrededor de un cilindro se puede representar como múltiples capas cilíndricas que se deslizan bajo la influencia de las capas adyacentes. En ese caso, la fuerza viscosa ($F_v$) con el largo de tubo ($\Delta L$), la viscosidad ($\eta$), y las variables la posición radial en cilindro ($r$) y la velocidad en un radio del cilindro ($v$) se expresa como:
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
La capa en el borde a un radio del tubo ($R$) no se mueve debido al efecto del borde y, a través de la viscosidad ($\eta$), ralentiza la capa contigua que sí tiene velocidad.
El centro es la parte que se mueve a la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$), arrastrando a la capa que lo rodea. A su vez, esta capa arrastra a la siguiente y así sucesivamente hasta llegar a la capa en contacto con la pared del cilindro, que está detenida.
De esta manera, el sistema transfiere energía desde el centro hasta la pared, generando un perfil de velocidad representado por:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
con:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
ID:(7057, 0)
Flujo para densidad de flujo no homogénea
Concepto
En el caso de que la densidad de flujo ($j_s$) sea constante, el flujo de volumen ($J_V$) se puede calcular utilizando la sección o superficie ($S$) de acuerdo con:
| $ J_V = S j_s $ |
Si la densidad de flujo ($j_s$) varía, se pueden considerar elementos de sección $dS$ lo suficientemente pequeños para que la ecuación siga siendo válida, en el sentido de que la contribución al flujo es:
$dJ_V = j_s dS$
Integrando esta expresión sobre toda la sección, se obtiene que
| $ J_V =\displaystyle\int j_s dS $ |
ID:(15719, 0)
Flujo según ecuación de Hagen-Poiseuille
Concepto
El perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en el radio de la posición en un tubo ($r$) permite calcular el flujo de volumen ($J_V$) en un tubo mediante una integración de toda la superficie, lo que nos conduce a la conocida ley de Hagen-Poiseuille.
El resultado es una ecuación que depende de radio del tubo ($R$) elevado a la cuarta potencia. No obstante, es fundamental tener en cuenta que este perfil de flujo solo se mantiene en caso de que el flujo sea laminar.
Con ello, se deduce de la viscosidad ($\eta$) que el flujo de volumen ($J_V$) ante un largo de tubo ($\Delta L$) y un diferencial de la presión ($\Delta p$) la expresión:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Los articulos originales que dieron origen a esta ley con un nombre combinado fueron:
"Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sobre las leyes que rigen el flujo del agua en recipientes cilíndricos), Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839)
"Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres" (Investigación experimental sobre el movimiento de líquidos en tubos de diámetros muy pequeños), Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).
ID:(2216, 0)
Número de Reynold
Top
La inercia de un líquido se puede entender como proporcional a la densidad de energía cinética, dada por
$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$
donde la densidad del líquido ($\rho_w$) y la velocidad media del fluido ($v$).
Si consideramos la la fuerza viscosa ($F_v$) como
$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$
donde la sección o superficie ($S$), la viscosidad ($\eta$), la velocidad media del fluido ($v$) y la dimensión típica del sistema ($R$) del líquido.
Recordemos que la energía es igual a la la fuerza viscosa ($F_v$) multiplicada por la el distancia recorrida ($l$). La densidad de energía perdida por viscosidad será igual a la fuerza multiplicada por la distancia dividida por el volumen $S l$:
$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$
Por lo tanto, la relación entre la densidad de energía cinética y la densidad de energía viscosa es igual a un número adimensional, conocido como el número de Reynold ($Re$). Cuando el número de Reynold ($Re$) es mucho mayor que uno, la fuerza de inercia domina sobre la fuerza viscosa y el flujo se vuelve turbulento. Por otro lado, si el número de Reynold ($Re$) es pequeño, la fuerza viscosa domina y el flujo se vuelve laminar.
| $ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v_{max} }{ \eta }$ |
En resumen, el número de Reynold ($Re$) es un parámetro adimensional que indica la relación entre la fuerza de inercia y la fuerza viscosa en un flujo. Si el número de Reynolds es mucho menor que uno ($Re\ll 1$), la viscosidad domina y el flujo es laminar. Si el número de Reynolds es mayor que uno ($Re\gg 1$), la inercia domina y el flujo es turbulento.
El artículo original en el que Osborne Reynolds introduce el número que lleva su nombre es:
"Investigación Experimental de las Circunstancias que Determinan si el Movimiento del Agua Debe Ser Directo o Sinuoso, y de la Ley de Resistencia en Canales Paralelos" (An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels), Osborne Reynolds, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. 174, pp. 935-982 (1883).
ID:(15507, 0)
Modelo
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Parámetros
Variables
Cálculos
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Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ \Delta L = L_e - L_i $
DL = L_e - L_i
$ \Delta p = p_e - p_i $
Dp = p_e - p_i
$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$
j_s = J_V / S
$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$
J_V =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL )
$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v_{max} }{ \eta }$
Re = rho * R * v / eta
$ S = \pi R ^2$
S = pi * r ^2
$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$
v = v_max *(1- ( r / R )^2)
$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$
v_max = - R ^2* Dp /(4* DL * eta )
ID:(15493, 0)
Diferencia de presión
Ecuación
Cuando se conectan la presión en la posición inicial ($p_i$) y la presión en la posición final (e) ($p_e$), se genera una la diferencia de presión ($\Delta p_s$) que se calcula utilizando la siguiente fórmula:
| $ \Delta p = p_e - p_i $ |
la diferencia de presión ($\Delta p_s$) describe la diferencia de presión que moverá el líquido desde la columna más alta hacia la columna más baja.
ID:(14459, 0)
Variación del largo
Ecuación
Para describir el flujo, se establece un sistema de coordenadas en el cual el líquido fluye de el posición al inicio del tubo ($L_i$) a el posición al final del tubo ($L_e$), lo que implica que la presión en la presión en la posición inicial ($p_i$) es mayor que en la presión en la posición final (e) ($p_e$). Este movimiento dependerá de el largo de tubo ($\Delta L$), el cual se calcula de acuerdo a:
| $ \Delta L = L_e - L_i $ |
ID:(3802, 0)
Perfil de velocidad de un flujo por un cilindro
Ecuación
Al resolver la ecuación de flujo con la condición de borde, obtenemos la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en función de el radio de la curvatura ($r$) como una parábola centrada en la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) y que se anula en el radio del tubo ($R$):
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
La diferencia de presión ($\Delta p_s$) sobre una sección de área $\pi R^2$, con el radio del tubo ($R$) como el radio de la curvatura ($r$), genera una fuerza que se representa como:
$\pi r^2 \Delta p$
Esta fuerza impulsa el líquido en contra de la resistencia viscosa, que está dada por:
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
Igualando estas dos fuerzas, obtenemos:
$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$
Lo que nos lleva a la ecuación:
$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$
Si integramos esta ecuación desde una posición definida por el radio de la curvatura ($r$) hasta el borde donde el radio del tubo ($R$) (teniendo en cuenta que la velocidad en el borde es nula), podemos obtener la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en función de el radio de la curvatura ($r$):
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
Donde:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
es la la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) en el centro del flujo.
.
ID:(3627, 0)
Velocidad máxima en el flujo por un cilindro
Ecuación
El valor de la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) en el centro de un cilindro depende de la viscosidad ($\eta$), el radio del tubo ($R$), y del gradiente creado por la diferencia de presión ($\Delta p_s$) y el largo de tubo ($\Delta L$), como se representa a continuación:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
El signo negativo indica que el flujo siempre se produce en la dirección negativa del gradiente, es decir, desde el área de mayor presión hacia el área de menor presión.
ID:(3628, 0)
Ley de Hagen Poiseuille
Ecuación
El flujo de volumen ($J_V$) se puede calcular con la ley de Hagen-Poiseuille que con los parámetros la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$), el radio del tubo ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) es:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si consideramos el perfil de velocidad en un radio del cilindro ($v$) de un fluido en un canal cilíndrico, donde la velocidad en un radio del cilindro ($v$) varía en función de radio de la posición en un tubo ($r$) de acuerdo con la siguiente expresión:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
con el radio del tubo ($R$) y la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$). Podemos calcular la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) utilizando la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si integramos la velocidad en toda la sección transversal del canal, obtendremos el flujo de volumen ($J_V$), definida como la integral de $\pi r v(r)$ con respecto a radio de la posición en un tubo ($r$) desde $0$ hasta radio del tubo ($R$). Esta integral se simplifica de la siguiente manera:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
La integración nos lleva a la ley de Hagen-Poiseuille resultante:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
ID:(3178, 0)
Flujo de volumen y su velocidad
Ecuación
Se puede representar una densidad de flujo ($j_s$) en términos de el flujo de volumen ($J_V$) utilizando la sección o superficie ($S$) mediante la siguiente fórmula:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
El flujo se define como el volumen el elemento de volumen ($\Delta V$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$), lo cual se expresa en la siguiente ecuación:
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
y el volumen es el producto de la sección la sección del tubo ($S$) por el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$):
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
Dado que el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$) equivale a la velocidad, se representa con:
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Por lo tanto, el flujo es una densidad de flujo ($j_s$), que se calcula mediante:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
ID:(4349, 0)
Número de Reynold
Ecuación
El criterio clave para determinar si un medio es laminar o turbulento es el llamado numero de Reynold que compara la energía asociada a la inercia con aquella asociada a la viscosiadad. La primera depende de la densidad ($\rho$), la velocidad media del fluido ($v$) y la dimensión típica del sistema ($R$) mientras que la segunda de la viscosidad ($\eta$) con lo que se define:
| $ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v_{max} }{ \eta }$ |
| $ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$ |
ID:(3177, 0)
Superficie de un disco
Ecuación
La superficie de un disco ($S$) de un radio de un disco ($r$) se calcula de la siguiente manera:
| $ S = \pi R ^2$ |
| $ S = \pi r ^2$ |
ID:(3804, 0)