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Wenn wir von laminarer Strömung eines viskosen Fluids durch ein Rohr ausgehen, ergibt sich ein Muster, bei dem die Geschwindigkeit in der Mitte am höchsten ist und am Rand null ist. Der Gesamtfluss hängt vom zylindrischen Profil ab und ist gleichzeitig umgekehrt proportional zur Viskosität des Fluids, wobei eine vierte Potenzbeziehung zum Radius besteht.

>Modell

ID:(876, 0)

Konzept

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ID:(15491, 0)

Konzept

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Wenn ein mit Flüssigkeit gefülltes Rohr mit einer Viskosität von Viskosität ($\eta$) Die Druck in der Ausgangsposition ($p_i$) bei der Position am Anfang des Rohres ($L_i$) und die Druck in Endlage (e) ($p_e$) bei der Positionieren am Ende des Rohres ($L_e$) ausgesetzt wird, entsteht entlang von der Rohrlänge ($\Delta L$) Eine Druckunterschied ($\Delta p$), was das Profil von die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) ergibt:

Bei Strömungen mit niedrigen Werten von der Anzahl der Reynold ($Re$), wo die Viskosität bedeutender ist als die Trägheit der Flüssigkeit, entwickelt sich der Fluss laminar, das heißt ohne das Vorhandensein von Turbulenzen.

ID:(2218, 0)

Konzept

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Im laminaren Fluss bewegen sich benachbarte Schichten, und zwischen ihnen wirkt eine durch die Viskosität erzeugte Kraft. Die schnellere Schicht zieht ihre langsamere Nachbarschicht mit, während die langsamere Schicht den Fortschritt der schnelleren einschränkt.

Daher ist die Kraft die Viscose Kraft ($F_v$), die von ($$) über die andere erzeugt wird, eine Funktion von ($$), ($$) und ($$), wie in der folgenden Gleichung dargestellt:

illustriert im folgenden Diagramm:

ID:(7053, 0)

Konzept

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Der laminare Fluss um einen Zylinder kann als mehrere zylindrische Schichten dargestellt werden, die unter dem Einfluss benachbarter Schichten gleiten. In diesem Fall wird die Viscose Kraft ($F_v$) mit der Rohrlänge ($\Delta L$), die Viskosität ($\eta$) und den Variablen die Zylinder-Stern Position ($r$) und die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) wie folgt ausgedrückt:

Die Schicht am Rand bei ($$) bleibt aufgrund des Randeffekts stehen und verlangsamt durch die Viskosität ($\eta$) die benachbarte Schicht, die eine Geschwindigkeit hat.

Das Zentrum ist der Teil, der sich mit die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) bewegt und die umgebende Schicht mitzieht. Diese Schicht zieht wiederum die nächste Schicht und so weiter, bis sie die Schicht erreicht, die Kontakt mit der Zylinderwand hat, die sich nicht bewegt.

Auf diese Weise überträgt das System Energie von der Mitte zur Wand und erzeugt ein Geschwindigkeitsprofil, das wie folgt dargestellt wird:

mit:

ID:(7057, 0)

Konzept

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Während ein Infinitesimale zeit ($dt$) bewegt sich die Flüssigkeit mit eine Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) Eine Infinitesimale Entfernung ($ds$). Wenn die Abschnitt ($S$) die Menge an Flüssigkeit ist, die in das Infinitesimale zeit ($dt$) durch die Abschnitt ($S$) fließt, wird sie wie folgt berechnet:

$dV = S ds = Sv dt$

Diese Gleichung besagt, dass das Volumen der Flüssigkeit, das in ($$) durch die Abschnitt ($S$) fließt, gleich dem Produkt der Querschnittsfläche und der vom Fluid in dieser Zeit zurückgelegten Strecke ist. Dies ermöglicht die Berechnung der Menge an Flüssigkeit, die innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls durch den Kanal fließt.

ID:(2212, 0)

Konzept

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Das Profil von die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) in der Positionsradius in einem Rohr ($r$) ermöglicht es uns, der Volumenstrom ($J_V$) in einem Rohr durch Integration über die gesamte Oberfläche zu berechnen, was zur bekannten Hagen-Poiseuille-Gesetz führt.

Das Ergebnis ist eine Gleichung, die von Zylinder Radio ($R$) zur vierten Potenz abhängt. Es ist jedoch entscheidend zu beachten, dass dieses Strömungsprofil nur im Falle einer laminaren Strömung gültig ist.

Daraus ergibt sich mit die Viskosität ($\eta$), dass der Volumenstrom ($J_V$) vor ein Rohrlänge ($\Delta L$) und eine Variación de la Presión ($\Delta p$) die Ausdruck:

ID:(2216, 0)

Konzept

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Die Trägheit einer Flüssigkeit kann als proportional zur Dichte der kinetischen Energie verstanden werden, die durch

$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$

gegeben ist, wobei die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) und die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) sind.

Wenn wir die Viscose Kraft ($F_v$) als

$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

betrachten, wobei die Abschnitt oder Bereich ($S$), die Viskosität ($\eta$), die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) und die Typische Abmessungen des Systems ($R$) Eigenschaften der Flüssigkeit sind.

Erinnern wir uns daran, dass die Energie gleich die Viscose Kraft ($F_v$) multipliziert mit der Zurückgelegte Strecke ($l$) ist. Die Dichte der durch Viskosität verlorenen Energie wird gleich der Kraft multipliziert mit der Entfernung geteilt durch das Volumen $S l$ sein:

$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

Daher ist das Verhältnis zwischen der Dichte der kinetischen Energie und der Dichte der viskosen Energie gleich einer dimensionslosen Zahl, die als der Anzahl der Reynold ($Re$) bekannt ist. Wenn der Anzahl der Reynold ($Re$) um Größenordnungen größer als eins ist, dominiert die Trägheit die Viskositätskraft, und die Strömung wird turbulent. Andererseits, wenn der Anzahl der Reynold ($Re$) klein ist, dominiert die Viskositätskraft, und die Strömung wird laminar.

Zusammenfassend ist der Anzahl der Reynold ($Re$) ein dimensionsloser Parameter, der das Verhältnis zwischen Trägheit und viskoser Kraft in einer Strömung angibt. Wenn die Reynolds-Zahl weit kleiner als eins ist ($Re\ll 1$), dominiert die Viskosität, und die Strömung ist laminar. Wenn die Reynolds-Zahl größer als eins ist ($Re\gg 1$), dominiert die Trägheit, und die Strömung wird turbulent.

Das Originalpapier, in dem Osborne Reynolds die nach ihm benannte Zahl einführt, lautet:

Experimentelle Untersuchung der Umstände, die bestimmen, ob die Bewegung von Wasser geradlinig oder gewunden sein soll, sowie des Widerstandsgesetzes in parallelen Kanälen ("An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels"), verfasst von Osborne Reynolds und veröffentlicht in den Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Band 174, S. 935-982 (1883).

ID:(15507, 0)

Konzept

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Ausgewählter Parameter

Berechnungen

ID:(15493, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Druck in der Ausgangsposition ($p_i$) und die Druck in Endlage (e) ($p_e$) miteinander verbunden werden, entsteht eine die Druckunterschied ($\Delta p$), die mithilfe der folgenden Formel berechnet wird:

$ \Delta p = p_e - p_i $

Bedingungen

Variablen

$p_i$

Druck in der Ausgangsposition

$Pa$

$p_e$

Druck in Endlage (e)

$Pa$

$\Delta p$

Druckunterschied

$Pa$

Beziehung

die Druckunterschied ($\Delta p$) repräsentiert den Druckunterschied, der bewirkt, dass die Flüssigkeit von der höheren Säule zur niedrigeren Säule strömt.

ID:(14459, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um den Fluss zu beschreiben, wird ein Koordinatensystem definiert, in dem die Flüssigkeit von der Position am Anfang des Rohres ($L_i$) nach der Positionieren am Ende des Rohres ($L_e$) fließt, was bedeutet, dass der Druck bei die Druck in der Ausgangsposition ($p_i$) größer ist als bei die Druck in Endlage (e) ($p_e$). Diese Bewegung hängt von der Rohrlänge ($\Delta L$) ab, das wie folgt berechnet wird:

$ \Delta L = L_e - L_i $

Bedingungen

Variablen

$\Delta L$

Körperlänge

$m$

$L_i$

Position am Anfang des Rohres

$m$

$L_e$

Positionieren am Ende des Rohres

$m$

Beziehung

ID:(3802, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn eine Flüssigkeit mit Viskosität $\eta$ zwischen zwei Oberflächen $S$ mit einem Abstand $dz$ und einer Geschwindigkeitsdifferenz $dv_x$ fließt, erfährt sie eine viskose Kraft $F_v$, die durch das Gesetz von Newton für die Viskosität gegeben ist:

$ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$

Bedingungen

Variablen

$S$

Abschnitt

$m^2$

$\Delta z$

Abstand zwischen Oberflächen

$m$

$\Delta v$

Geschwindigkeitsunterschied zwischen Oberflächen

$m/s$

$F_v$

Viscose Kraft

$N$

$\eta$

Viskosität

$Pa s$

Beziehung

ID:(3622, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Eine Viscose Kraft ($F_v$), die von einer Flüssigkeit mit Viskosität ($\eta$) zwischen manche Parallele Flächen ($S$) und eine Abstand zwischen Oberflächen ($\Delta z$) erzeugt wird, zusammen mit eine Geschwindigkeitsunterschied zwischen Oberflächen ($\Delta v$) und die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), wird wie folgt berechnet:

Im Falle eines Zylinders wird die Oberfläche durch Rohrlänge ($\Delta L$) definiert und durch den Umfang jeder der internen Zylinder, der durch die Multiplikation von $2\pi$ mit der Positionsradius in einem Rohr ($r$) berechnet wird. Damit wird die Zylinderwiderstandskraft ($F_v$) unter Verwendung von die Viskosität ($\eta$) und die Geschwindigkeitsvariation zwischen zwei Radien ($dv$) für die Breite des Zylinders der Radiusvariation in einem Rohr ($dr$) berechnet, was zu folgendem Ergebnis führt:

$ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$

Bedingungen

Variablen

$v$

Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio

$m/s$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$\Delta L$

Rohrlänge

$m$

$F_v$

Viscose Kraft

$N$

$\eta$

Viskosität

$Pa s$

$R$

Zylinder Radio

$m$

$r$

Zylinder-Stern Position

$m$

Beziehung

Entwicklung

Da die viskose Kraft gegeben ist als

$ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$

und die Oberfläche des Zylinders ist

$S=2\pi R L$

wobei $R$ der Radius und $L$ die Länge des Kanals ist, kann die viskose Kraft ausgedrückt werden als

$ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$

wobei $\eta$ die Viskosität repräsentiert und $dv/dr$ den Geschwindigkeitsgradienten zwischen der Wand und dem Fluss darstellt.

ID:(3623, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Beim Lösen der Fließgleichung mit der Randbedingung erhalten wir die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) als Funktion von der Krümmung Radio ($r$), dargestellt als Parabel mit dem Mittelpunkt bei die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) und Nullwert bei der Zylinder Radio ($R$):

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

Bedingungen

Variablen

$v$

Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio

$m/s$

$v_{max}$

Maximale Durchflussrate

$m/s$

$R$

Zylinder Radio

$m$

$r$

Zylinder-Stern Position

$m$

Beziehung

Entwicklung

Wenn eine die Druckunterschied ($\Delta p$) auf einen Abschnitt mit einer Fläche von $\pi R^2$ wirkt, wobei der Zylinder Radio ($R$) als der Krümmung Radio ($r$) fungiert, erzeugt sie eine Kraft, die wie folgt dargestellt wird:

$\pi r^2 \Delta p$

Diese Kraft treibt die Flüssigkeit gegen den Viskosewiderstand an, der durch folgenden Ausdruck gegeben ist:

$ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$

Durch das Gleichsetzen dieser beiden Kräfte erhalten wir:

$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$

Dies führt zu folgender Gleichung:

$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$

Wenn wir diese Gleichung von einer Position, die durch der Krümmung Radio ($r$) definiert ist, bis zum Rand, wo der Zylinder Radio ($R$) ist (unter Berücksichtigung, dass die Geschwindigkeit am Rand null ist), integrieren, können wir die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) als Funktion von der Krümmung Radio ($r$) erhalten:

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

Dabei ist:

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) in der Mitte des Flusses.

.

ID:(3627, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Wert von die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) in der Mitte eines Zylinders hängt von die Viskosität ($\eta$), der Zylinder Radio ($R$) und dem Gradienten ab, der von die Druckunterschied ($\Delta p$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) erzeugt wird, wie unten dargestellt:

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Bedingungen

Variablen

$v_{max}$

Maximale Durchflussrate

$m/s$

$\Delta L$

Rohrlänge

$m$

$\Delta p$

Variación de la Presión

$Pa$

$\eta$

Viskosität

$Pa s$

$R$

Zylinder Radio

$m$

Beziehung

Das negative Vorzeichen deutet darauf hin, dass der Fluss immer in entgegengesetzter Richtung zum Gradienten erfolgt, d.h., von der Region mit höherem Druck zur Region mit niedrigerem Druck.

ID:(3628, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Volumenstrom ($J_V$) entspricht der Menge von Volume ($V$), die während ein Zeit ($t$) durch den Kanal fließt. Daher haben wir:

$ J_V =\displaystyle\frac{ dV }{ dt }$

Bedingungen

Variablen

$V$

Volume

$m^3$

$J_V$

Volumenstrom

$m^3/s$

$t$

Zeit

$s$

Beziehung

ID:(12713, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Flussdichte ($j_s$) steht in Beziehung zu die Position ($s$), was die Position der Flüssigkeit bei der Zeit ($t$) ist, durch die folgende Gleichung:

$ j_s =\displaystyle\frac{ ds }{ dt }$

Bedingungen

Variablen

$j_s$

Flussdichte

$m^3/s$

$s$

Position

$m$

$t$

Zeit

$s$

Beziehung

Entwicklung

ID:(12714, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir das Profil von die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) für eine Flüssigkeit in einem zylindrischen Kanal mit einem Radius von Zylinder Radio ($R$) betrachten, in dem die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) als Funktion von ein Positionsradius in einem Rohr ($r$) variiert, können wir es über den gesamten Querschnitt des Kanals integrieren:

$J_V= \pi \displaystyle\int_0^Rdr r v(r)$

Dies führt zur Hagen-Poiseuille-Gesetz mit den Parametern der Volumenstrom ($J_V$), die Viskosität ($\eta$), die Druckunterschied ($\Delta p$) und der Rohrlänge ($\Delta L$):

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Bedingungen

Variablen

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$\Delta L$

Rohrlänge

$m$

$\Delta p$

Variación de la Presión

$Pa$

$\eta$

Viskosität

$Pa s$

$J_V$

Volumenstrom

$m^3/s$

$R$

Zylinder Radio

$m$

Beziehung

Entwicklung

Wenn wir das Profil von Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) für ein Fluid in einem zylindrischen Kanal betrachten, in dem die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) in Abhängigkeit von Positionsradius in einem Rohr ($r$) gemäß folgendem Ausdruck variiert:

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

unter Verwendung von der Zylinder Radio ($R$) und die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$). Können wir die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) mithilfe von die Viskosität ($\eta$), die Druckunterschied ($\Delta p$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) wie folgt berechnen:

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Wenn wir die Geschwindigkeit über den Querschnitt des Kanals integrieren, erhalten wir der Volumenstrom ($J_V$), definiert als das Integral von $\pi r v(r)$ bezüglich Positionsradius in einem Rohr ($r$) von $0$ bis Zylinder Radio ($R$). Dieses Integral kann wie folgt vereinfacht werden:

$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$

Die Integration führt zur resultierenden Hagen-Poiseuille-Gesetz:

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Die Originalarbeiten, die zu diesem Gesetz mit einem kombinierten Namen führten, waren:

• Gotthilf Hagen: "Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen", Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).

• Jean-Louis-Marie Poiseuille: "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres" (Experimentelle Untersuchungen zur Bewegung von Flüssigkeiten in Röhren mit sehr kleinen Durchmessern), Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).

ID:(3178, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das entscheidende Kriterium zur Bestimmung, ob ein Medium laminar oder turbulent ist, ist die sogenannte Reynolds-Zahl, die die Energie, die mit der Trägheit verbunden ist, mit derjenigen vergleicht, die mit der Viskosität verbunden ist. Erstere hängt von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), Höchstgeschwindigkeit ($v_{max}$) und die Typische Abmessungen des Systems ($R$) ab, während letztere von die Viskosität ($\eta$) abhängt. Sie wird definiert als:

$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

Bedingungen

Variablen

$Re$

Anzahl der Reynold

$-$

$\rho$

Flüssigkeitsdichte

$kg/m^3$

$v$

Höchstgeschwindigkeit

$m/s$

$R$

Typische Abmessungen des Systems

$m$

$\eta$

Viskosität

$Pa s$

Beziehung

Entwicklung

Die Trägheit eines Mediums kann proportional zur Dichte der kinetischen Energie verstanden werden, die durch

$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$

gegeben ist, wobei die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) und die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) sind.

Wenn wir die Viscose Kraft ($F_v$) als

$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

betrachten, wobei die Abschnitt oder Bereich ($S$), die Viskosität ($\eta$), die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) und die Typische Abmessungen des Systems ($R$) Eigenschaften des Mediums sind.

Erinnern wir uns daran, dass die Energie gleich die Viscose Kraft ($F_v$) multipliziert mit der Zurückgelegte Strecke ($l$) ist. Die Dichte der durch Viskosität verlorenen Energie wird gleich der Kraft multipliziert mit der Entfernung geteilt durch das Volumen $S l$ sein:

$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

Daher ist das Verhältnis zwischen der Dichte der kinetischen Energie und der Dichte der viskosen Energie gleich einer dimensionslosen Zahl, die als der Anzahl der Reynold ($Re$) bekannt ist. Wenn der Anzahl der Reynold ($Re$) um Größenordnungen größer als eins ist, dominiert die Trägheit die Viskositätskraft, und der Fluss wird turbulent. Andererseits, wenn der Anzahl der Reynold ($Re$) klein ist, dominiert die Viskositätskraft, und der Fluss wird laminar.

$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

Der ursprüngliche Artikel, in dem Osborne Reynolds die nach ihm benannte Zahl einführt, lautet:

Experimentelle Untersuchung der Umstände, die bestimmen, ob die Bewegung von Wasser geradlinig oder gewunden sein soll, sowie des Widerstandsgesetzes in parallelen Kanälen ("An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels"), verfasst von Osborne Reynolds und veröffentlicht in den Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Band 174, S. 935-982 (1883).

ID:(3177, 0)

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Video

Video: Hagen Poiseuille Gesetz