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Wenn wir von laminarer Strömung eines viskosen Fluids durch ein Rohr ausgehen, ergibt sich ein Muster, bei dem die Geschwindigkeit in der Mitte am höchsten ist und am Rand null ist. Der Gesamtfluss hängt vom zylindrischen Profil ab und ist gleichzeitig umgekehrt proportional zur Viskosität des Fluids, wobei eine vierte Potenzbeziehung zum Radius besteht.

>Modell

ID:(876, 0)

Iframe

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ID:(15491, 0)

Konzept

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Wenn ein mit Flüssigkeit gefülltes Rohr mit einer Viskosität von Viskosität ($\eta$) Die Druck in der Ausgangsposition ($p_i$) bei der Position am Anfang des Rohres ($L_i$) und die Druck in Endlage (e) ($p_e$) bei der Positionieren am Ende des Rohres ($L_e$) ausgesetzt wird, entsteht entlang von der Rohrlänge ($\Delta L$) Eine Druckunterschied ($\Delta p_s$), was das Profil von die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) ergibt:

Bei Strömungen mit niedrigen Werten von der Anzahl der Reynold ($Re$), wo die Viskosität bedeutender ist als die Trägheit der Flüssigkeit, entwickelt sich der Fluss laminar, das heißt ohne das Vorhandensein von Turbulenzen.

ID:(2218, 0)

Konzept

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Im laminaren Fluss bewegen sich benachbarte Schichten, und zwischen ihnen wirkt eine durch die Viskosität erzeugte Kraft. Die schnellere Schicht zieht ihre langsamere Nachbarschicht mit, während die langsamere Schicht den Fortschritt der schnelleren einschränkt.

Daher ist die Kraft die Viscose Kraft ($F_v$), die von ($$) über die andere erzeugt wird, eine Funktion von ($$), ($$) und ($$), wie in der folgenden Gleichung dargestellt:

illustriert im folgenden Diagramm:

ID:(7053, 0)

Konzept

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Der laminare Fluss um einen Zylinder kann als mehrere zylindrische Schichten dargestellt werden, die unter dem Einfluss benachbarter Schichten gleiten. In diesem Fall wird die Viscose Kraft ($F_v$) mit der Rohrlänge ($\Delta L$), die Viskosität ($\eta$) und den Variablen die Zylinder-Stern Position ($r$) und die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) wie folgt ausgedrückt:

Die Schicht am Rand bei ($$) bleibt aufgrund des Randeffekts stehen und verlangsamt durch die Viskosität ($\eta$) die benachbarte Schicht, die eine Geschwindigkeit hat.

Das Zentrum ist der Teil, der sich mit die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) bewegt und die umgebende Schicht mitzieht. Diese Schicht zieht wiederum die nächste Schicht und so weiter, bis sie die Schicht erreicht, die Kontakt mit der Zylinderwand hat, die sich nicht bewegt.

Auf diese Weise überträgt das System Energie von der Mitte zur Wand und erzeugt ein Geschwindigkeitsprofil, das wie folgt dargestellt wird:

mit:

ID:(7057, 0)

Konzept

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Im Fall, dass die Flussdichte ($j_s$) konstant ist, kann der Volumenstrom ($J_V$) mit die Abschnitt oder Bereich ($S$) gemäß folgender Gleichung berechnet werden:

Wenn die Flussdichte ($j_s$) variiert, können ausreichend kleine Querschnittselemente $dS$ betrachtet werden, sodass die Gleichung gültig bleibt, im Sinne, dass der Beitrag zum Fluss ist:

$dJ_V = j_s dS$

Integriert man diesen Ausdruck über die gesamte Querschnittsfläche, erhält man

ID:(15719, 0)

Konzept

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Das Profil von die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) in der Positionsradius in einem Rohr ($r$) ermöglicht es uns, der Volumenstrom ($J_V$) in einem Rohr durch Integration über die gesamte Oberfläche zu berechnen, was zur bekannten Hagen-Poiseuille-Gesetz führt.

Das Ergebnis ist eine Gleichung, die von Rohrradius ($R$) zur vierten Potenz abhängt. Es ist jedoch entscheidend zu beachten, dass dieses Strömungsprofil nur im Falle einer laminaren Strömung gültig ist.

Daraus ergibt sich mit die Viskosität ($\eta$), dass der Volumenstrom ($J_V$) vor ein Rohrlänge ($\Delta L$) und eine Variación de la Presión ($\Delta p$) die Ausdruck:

Die Originalarbeiten, die zu diesem Gesetz mit einem kombinierten Namen führten, waren:

"Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen", Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).

"Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres" (Experimentelle Untersuchungen zur Bewegung von Flüssigkeiten in Röhren mit sehr kleinen Durchmessern), Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).

ID:(2216, 0)

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Die Trägheit einer Flüssigkeit kann als proportional zur Dichte der kinetischen Energie verstanden werden, die durch

$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$

gegeben ist, wobei die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) und die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) sind.

Wenn wir die Viscose Kraft ($F_v$) als

$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

betrachten, wobei die Abschnitt oder Bereich ($S$), die Viskosität ($\eta$), die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) und die Typische Abmessungen des Systems ($R$) Eigenschaften der Flüssigkeit sind.

Erinnern wir uns daran, dass die Energie gleich die Viscose Kraft ($F_v$) multipliziert mit der Zurückgelegte Strecke ($l$) ist. Die Dichte der durch Viskosität verlorenen Energie wird gleich der Kraft multipliziert mit der Entfernung geteilt durch das Volumen $S l$ sein:

$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

Daher ist das Verhältnis zwischen der Dichte der kinetischen Energie und der Dichte der viskosen Energie gleich einer dimensionslosen Zahl, die als der Anzahl der Reynold ($Re$) bekannt ist. Wenn der Anzahl der Reynold ($Re$) um Größenordnungen größer als eins ist, dominiert die Trägheit die Viskositätskraft, und die Strömung wird turbulent. Andererseits, wenn der Anzahl der Reynold ($Re$) klein ist, dominiert die Viskositätskraft, und die Strömung wird laminar.

Zusammenfassend ist der Anzahl der Reynold ($Re$) ein dimensionsloser Parameter, der das Verhältnis zwischen Trägheit und viskoser Kraft in einer Strömung angibt. Wenn die Reynolds-Zahl weit kleiner als eins ist ($Re\ll 1$), dominiert die Viskosität, und die Strömung ist laminar. Wenn die Reynolds-Zahl größer als eins ist ($Re\gg 1$), dominiert die Trägheit, und die Strömung wird turbulent.

Das Originalpapier, in dem Osborne Reynolds die nach ihm benannte Zahl einführt, lautet:

"Experimentelle Untersuchung der Umstände, die bestimmen, ob die Bewegung von Wasser geradlinig oder gewunden sein soll, sowie des Widerstandsgesetzes in parallelen Kanälen" (An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels), Osborne Reynolds, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Band 174, S. 935-982 (1883).

ID:(15507, 0)

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Parameter

$\rho$

rho

Dichte

kg/m^3

$p_i$

p_i

Druck in der Ausgangsposition

Pa

$\pi$

pi

Pi

rad

$R$

R

Rohrradius

m

$\Delta p$

Dp

Variación de la Presión

Pa

$\eta$

eta

Viskosität

Pa s

Variablen

$S$

S

Abschnitt Fluss

m^2

$Re$

Re

Anzahl der Reynold

-

$p_e$

p_e

Druck in Endlage (e)

Pa

$j_s$

j_s

Flussdichte

m/s

$v$

v

Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio

m/s

$v_{max}$

v_max

Maximale Durchflussrate

m/s

$L_i$

L_i

Position am Anfang des Rohres

m

$L_e$

L_e

Positionieren am Ende des Rohres

m

$\Delta L$

DL

Rohrlänge

m

$J_V$

J_V

Volumenstrom

m^3/s

$r$

r

Zylinder-Stern Position

m

Berechnungen

• Alternative Methode
• Traditionelle Methode
• Strategie
• 2D
• 3D

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen: zu , dann die Variable auswählen: zu

---

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable Gegeben Berechnen Ziel : Gleichung Zu verwenden

Gleichungen

ID:(15493, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Druck in der Ausgangsposition ($p_i$) und die Druck in Endlage (e) ($p_e$) miteinander verbunden werden, entsteht eine die Druckunterschied ($\Delta p_s$), die mithilfe der folgenden Formel berechnet wird:

$ \Delta p = p_e - p_i $

Bedingungen

Variablen

$p_i$

Druck in der Ausgangsposition

$Pa$

10115

$p_e$

Druck in Endlage (e)

$Pa$

10116

$\Delta p$

Variación de la Presión

$Pa$

6673

Beziehung

die Druckunterschied ($\Delta p_s$) repräsentiert den Druckunterschied, der bewirkt, dass die Flüssigkeit von der höheren Säule zur niedrigeren Säule strömt.

ID:(14459, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um den Fluss zu beschreiben, wird ein Koordinatensystem definiert, in dem die Flüssigkeit von der Position am Anfang des Rohres ($L_i$) nach der Positionieren am Ende des Rohres ($L_e$) fließt, was bedeutet, dass der Druck bei die Druck in der Ausgangsposition ($p_i$) größer ist als bei die Druck in Endlage (e) ($p_e$). Diese Bewegung hängt von der Rohrlänge ($\Delta L$) ab, das wie folgt berechnet wird:

$ \Delta L = L_e - L_i $

Bedingungen

Variablen

$L_i$

Position am Anfang des Rohres

$m$

6274

$L_e$

Positionieren am Ende des Rohres

$m$

6275

$\Delta L$

Rohrlänge

$m$

5430

Beziehung

ID:(3802, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Beim Lösen der Fließgleichung mit der Randbedingung erhalten wir die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) als Funktion von der Krümmung Radio ($r$), dargestellt als Parabel mit dem Mittelpunkt bei die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) und Nullwert bei der Rohrradius ($R$):

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

Bedingungen

Variablen

$v$

Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio

$m/s$

5449

$v_{max}$

Maximale Durchflussrate

$m/s$

5421

$R$

Rohrradius

$m$

5417

$r$

Zylinder-Stern Position

$m$

5420

Beziehung

Entwicklung

Wenn eine die Druckunterschied ($\Delta p_s$) auf einen Abschnitt mit einer Fläche von $\pi R^2$ wirkt, wobei der Rohrradius ($R$) als der Krümmung Radio ($r$) fungiert, erzeugt sie eine Kraft, die wie folgt dargestellt wird:

$\pi r^2 \Delta p$

Diese Kraft treibt die Flüssigkeit gegen den Viskosewiderstand an, der durch folgenden Ausdruck gegeben ist:

$ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$

Durch das Gleichsetzen dieser beiden Kräfte erhalten wir:

$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$

Dies führt zu folgender Gleichung:

$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$

Wenn wir diese Gleichung von einer Position, die durch der Krümmung Radio ($r$) definiert ist, bis zum Rand, wo der Rohrradius ($R$) ist (unter Berücksichtigung, dass die Geschwindigkeit am Rand null ist), integrieren, können wir die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) als Funktion von der Krümmung Radio ($r$) erhalten:

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

Dabei ist:

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) in der Mitte des Flusses.

.

ID:(3627, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Wert von die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) in der Mitte eines Zylinders hängt von die Viskosität ($\eta$), der Rohrradius ($R$) und dem Gradienten ab, der von die Druckunterschied ($\Delta p_s$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) erzeugt wird, wie unten dargestellt:

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Bedingungen

Variablen

$v_{max}$

Maximale Durchflussrate

$m/s$

5421

$\Delta L$

Rohrlänge

$m$

5430

$R$

Rohrradius

$m$

5417

$\Delta p$

Variación de la Presión

$Pa$

6673

$\eta$

Viskosität

$Pa s$

5422

Beziehung

Das negative Vorzeichen deutet darauf hin, dass der Fluss immer in entgegengesetzter Richtung zum Gradienten erfolgt, d.h., von der Region mit höherem Druck zur Region mit niedrigerem Druck.

ID:(3628, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Volumenstrom ($J_V$) lässt sich mit dem Hagen-Poiseuille-Gesetz berechnen, das mit den Parametern die Viskosität ($\eta$), die Druckunterschied ($\Delta p$), der Rohrradius ($R$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) lautet:

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Bedingungen

Variablen

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$\Delta L$

Rohrlänge

$m$

5430

$R$

Rohrradius

$m$

5417

$\Delta p$

Variación de la Presión

$Pa$

6673

$\eta$

Viskosität

$Pa s$

5422

$J_V$

Volumenstrom

$m^3/s$

5448

Beziehung

Entwicklung

Wenn wir das Profil von Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) für ein Fluid in einem zylindrischen Kanal betrachten, in dem die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) in Abhängigkeit von Positionsradius in einem Rohr ($r$) gemäß folgendem Ausdruck variiert:

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

unter Verwendung von der Rohrradius ($R$) und die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$). Können wir die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) mithilfe von die Viskosität ($\eta$), die Druckunterschied ($\Delta p$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) wie folgt berechnen:

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Wenn wir die Geschwindigkeit über den Querschnitt des Kanals integrieren, erhalten wir der Volumenstrom ($J_V$), definiert als das Integral von $\pi r v(r)$ bezüglich Positionsradius in einem Rohr ($r$) von $0$ bis Rohrradius ($R$). Dieses Integral kann wie folgt vereinfacht werden:

$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$

Die Integration führt zur resultierenden Hagen-Poiseuille-Gesetz:

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

ID:(3178, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Eine Flussdichte ($j_s$) kann in Bezug auf der Volumenstrom ($J_V$) durch die Abschnitt oder Bereich ($S$) mit der folgenden Formel dargestellt werden:

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

Bedingungen

Variablen

$S$

Abschnitt Fluss

$m^2$

6011

$j_s$

Flussdichte

$m/s$

7220

$J_V$

Volumenstrom

$m^3/s$

5448

Beziehung

Entwicklung

Der Fluss wird als das Volumen der Volumenelement ($\Delta V$) geteilt durch die Zeit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) definiert, was durch die folgende Gleichung ausgedrückt wird:

$ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$

und das Volumen ist das Produkt der Querschnittsfläche die Rohr Sektion ($S$) mit dem zurückgelegten Weg der Rohrelement ($\Delta s$):

$ \Delta V = S \Delta s $

Da der zurückgelegte Weg der Rohrelement ($\Delta s$) pro Zeiteinheit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) der Geschwindigkeit entspricht, wird dies durch die folgende Gleichung dargestellt:

$ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Somit ist der Fluss eine Flussdichte ($j_s$), der mit der folgenden Gleichung berechnet wird:

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

ID:(4349, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das entscheidende Kriterium zur Bestimmung, ob ein Medium laminar oder turbulent ist, ist die sogenannte Reynolds-Zahl, die die Energie, die mit der Trägheit verbunden ist, mit derjenigen vergleicht, die mit der Viskosität verbunden ist. Erstere hängt von die Dichte ($\rho$), die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) und die Typische Abmessungen des Systems ($R$) ab, während letztere von die Viskosität ($\eta$) abhängt. Sie wird definiert als:

$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v_{max} }{ \eta }$

$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

Bedingungen

Variablen

$Re$

Anzahl der Reynold

$-$

5432

$\rho$

Dichte

$kg/m^3$

5342

$v$

$v_{max}$

Maximale Durchflussrate

$m/s$

5421

$R$

$R$

Rohrradius

$m$

5417

$\eta$

Viskosität

$Pa s$

5422

Beziehung

ID:(3177, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Oberfläche einer Scheibe ($S$) von ein Scheibenradius ($r$) wird wie folgt berechnet:

$ S = \pi R ^2$

$ S = \pi r ^2$

Bedingungen

Variablen

$S$

$S$

Abschnitt Fluss

$m^2$

6011

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$r$

$R$

Rohrradius

$m$

5417

Beziehung

ID:(3804, 0)