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Viskose Laminare Strömung (Hagen Poiseuille)
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Wenn wir von laminarer Strömung eines viskosen Fluids durch ein Rohr ausgehen, ergibt sich ein Muster, bei dem die Geschwindigkeit in der Mitte am höchsten ist und am Rand null ist. Der Gesamtfluss hängt vom zylindrischen Profil ab und ist gleichzeitig umgekehrt proportional zur Viskosität des Fluids, wobei eine vierte Potenzbeziehung zum Radius besteht.
ID:(876, 0)
Viskose Laminare Strömung
Storyboard
Wenn wir von laminarer Strömung eines viskosen Fluids durch ein Rohr ausgehen, ergibt sich ein Muster, bei dem die Geschwindigkeit in der Mitte am höchsten ist und am Rand null ist. Der Gesamtfluss hängt vom zylindrischen Profil ab und ist gleichzeitig umgekehrt proportional zur Viskosität des Fluids, wobei eine vierte Potenzbeziehung zum Radius besteht.
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Wenn wir das Profil von ERROR:5449,0 f r ein Fluid in einem zylindrischen Kanal betrachten, in dem die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) in Abh ngigkeit von ERROR:10120,0 gem folgendem Ausdruck variiert:
unter Verwendung von der Rohrradius ($R$) und die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$). K nnen wir die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) mithilfe von die Viskosität ($\eta$), die Druckunterschied ($\Delta p$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) wie folgt berechnen:
Wenn wir die Geschwindigkeit ber den Querschnitt des Kanals integrieren, erhalten wir der Volumenstrom ($J_V$), definiert als das Integral von $\pi r v(r)$ bez glich ERROR:10120,0 von $0$ bis ERROR:5417,0. Dieses Integral kann wie folgt vereinfacht werden:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
Die Integration f hrt zur resultierenden Hagen-Poiseuille-Gesetz:
Wenn eine die Druckunterschied ($\Delta p_s$) auf einen Abschnitt mit einer Fl che von $\pi R^2$ wirkt, wobei der Rohrradius ($R$) als der Krümmung Radio ($r$) fungiert, erzeugt sie eine Kraft, die wie folgt dargestellt wird:
$\pi r^2 \Delta p$
Diese Kraft treibt die Fl ssigkeit gegen den Viskosewiderstand an, der durch folgenden Ausdruck gegeben ist:
Durch das Gleichsetzen dieser beiden Kr fte erhalten wir:
$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$
Dies f hrt zu folgender Gleichung:
$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$
Wenn wir diese Gleichung von einer Position, die durch der Krümmung Radio ($r$) definiert ist, bis zum Rand, wo der Rohrradius ($R$) ist (unter Ber cksichtigung, dass die Geschwindigkeit am Rand null ist), integrieren, k nnen wir die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) als Funktion von der Krümmung Radio ($r$) erhalten:
Dabei ist:
die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) in der Mitte des Flusses.
Der Fluss wird als das Volumen der Volumenelement ($\Delta V$) geteilt durch die Zeit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) definiert, was durch die folgende Gleichung ausgedr ckt wird:
und das Volumen ist das Produkt der Querschnittsfl che die Rohr Sektion ($S$) mit dem zur ckgelegten Weg der Rohrelement ($\Delta s$):
Da der zur ckgelegte Weg der Rohrelement ($\Delta s$) pro Zeiteinheit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) der Geschwindigkeit entspricht, wird dies durch die folgende Gleichung dargestellt:
Somit ist der Fluss eine Flussdichte ($j_s$), der mit der folgenden Gleichung berechnet wird:
Beispiele
Wenn ein mit Fl ssigkeit gef lltes Rohr mit einer Viskosit t von ERROR:5422,0 Die Druck in der Ausgangsposition ($p_i$) bei der Position am Anfang des Rohres ($L_i$) und die Druck in Endlage (e) ($p_e$) bei der Positionieren am Ende des Rohres ($L_e$) ausgesetzt wird, entsteht entlang von der Rohrlänge ($\Delta L$) Eine Druckunterschied ($\Delta p_s$), was das Profil von die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) ergibt:
Bei Str mungen mit niedrigen Werten von der Anzahl der Reynold ($Re$), wo die Viskosit t bedeutender ist als die Tr gheit der Fl ssigkeit, entwickelt sich der Fluss laminar, das hei t ohne das Vorhandensein von Turbulenzen.
Im laminaren Fluss bewegen sich benachbarte Schichten, und zwischen ihnen wirkt eine durch die Viskosit t erzeugte Kraft. Die schnellere Schicht zieht ihre langsamere Nachbarschicht mit, w hrend die langsamere Schicht den Fortschritt der schnelleren einschr nkt.
Daher ist die Kraft die Viscose Kraft ($F_v$), die von ERROR:10119.1 ber die andere erzeugt wird, eine Funktion von ERROR:5556.1, ERROR:5436.1 und ERROR:5422.1, wie in der folgenden Gleichung dargestellt:
illustriert im folgenden Diagramm:
Der laminare Fluss um einen Zylinder kann als mehrere zylindrische Schichten dargestellt werden, die unter dem Einfluss benachbarter Schichten gleiten. In diesem Fall wird die Viscose Kraft ($F_v$) mit der Rohrlänge ($\Delta L$), die Viskosität ($\eta$) und den Variablen die Zylinder-Stern Position ($r$) und die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) wie folgt ausgedr ckt:
Die Schicht am Rand bei ERROR:5417.1 bleibt aufgrund des Randeffekts stehen und verlangsamt durch die Viskosität ($\eta$) die benachbarte Schicht, die eine Geschwindigkeit hat.
Das Zentrum ist der Teil, der sich mit die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) bewegt und die umgebende Schicht mitzieht. Diese Schicht zieht wiederum die n chste Schicht und so weiter, bis sie die Schicht erreicht, die Kontakt mit der Zylinderwand hat, die sich nicht bewegt.
Auf diese Weise bertr gt das System Energie von der Mitte zur Wand und erzeugt ein Geschwindigkeitsprofil, das wie folgt dargestellt wird:
mit:
Im Fall, dass die Flussdichte ($j_s$) konstant ist, kann der Volumenstrom ($J_V$) mit die Abschnitt oder Bereich ($S$) gem folgender Gleichung berechnet werden:
Wenn die Flussdichte ($j_s$) variiert, k nnen ausreichend kleine Querschnittselemente $dS$ betrachtet werden, sodass die Gleichung g ltig bleibt, im Sinne, dass der Beitrag zum Fluss ist:
$dJ_V = j_s dS$
Integriert man diesen Ausdruck ber die gesamte Querschnittsfl che, erh lt man
Das Profil von die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) in der Positionsradius in einem Rohr ($r$) erm glicht es uns, der Volumenstrom ($J_V$) in einem Rohr durch Integration ber die gesamte Oberfl che zu berechnen, was zur bekannten Hagen-Poiseuille-Gesetz f hrt.
Das Ergebnis ist eine Gleichung, die von ERROR:5417,0 zur vierten Potenz abh ngt. Es ist jedoch entscheidend zu beachten, dass dieses Str mungsprofil nur im Falle einer laminaren Str mung g ltig ist.
Daraus ergibt sich mit die Viskosität ($\eta$), dass der Volumenstrom ($J_V$) vor ein Rohrlänge ($\Delta L$) und eine Variación de la Presión ($\Delta p$) die Ausdruck:
Die Originalarbeiten, die zu diesem Gesetz mit einem kombinierten Namen f hrten, waren:
"Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in r hrenf rmigen Gef ssen bestimmen", Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).
"Recherches exp rimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de tr s-petits diam tres" (Experimentelle Untersuchungen zur Bewegung von Fl ssigkeiten in R hren mit sehr kleinen Durchmessern), Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Acad mie des Sciences 9:433544 (1840).
Die Tr gheit einer Fl ssigkeit kann als proportional zur Dichte der kinetischen Energie verstanden werden, die durch
$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$
gegeben ist, wobei die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) und die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) sind.
Wenn wir die Viscose Kraft ($F_v$) als
$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$
betrachten, wobei die Abschnitt oder Bereich ($S$), die Viskosität ($\eta$), die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) und die Typische Abmessungen des Systems ($R$) Eigenschaften der Fl ssigkeit sind.
Erinnern wir uns daran, dass die Energie gleich die Viscose Kraft ($F_v$) multipliziert mit der Zurückgelegte Strecke ($l$) ist. Die Dichte der durch Viskosit t verlorenen Energie wird gleich der Kraft multipliziert mit der Entfernung geteilt durch das Volumen $S l$ sein:
$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$
Daher ist das Verh ltnis zwischen der Dichte der kinetischen Energie und der Dichte der viskosen Energie gleich einer dimensionslosen Zahl, die als der Anzahl der Reynold ($Re$) bekannt ist. Wenn der Anzahl der Reynold ($Re$) um Gr enordnungen gr er als eins ist, dominiert die Tr gheit die Viskosit tskraft, und die Str mung wird turbulent. Andererseits, wenn der Anzahl der Reynold ($Re$) klein ist, dominiert die Viskosit tskraft, und die Str mung wird laminar.
Zusammenfassend ist der Anzahl der Reynold ($Re$) ein dimensionsloser Parameter, der das Verh ltnis zwischen Tr gheit und viskoser Kraft in einer Str mung angibt. Wenn die Reynolds-Zahl weit kleiner als eins ist ($Re\ll 1$), dominiert die Viskosit t, und die Str mung ist laminar. Wenn die Reynolds-Zahl gr er als eins ist ($Re\gg 1$), dominiert die Tr gheit, und die Str mung wird turbulent.
Das Originalpapier, in dem Osborne Reynolds die nach ihm benannte Zahl einf hrt, lautet:
"Experimentelle Untersuchung der Umst nde, die bestimmen, ob die Bewegung von Wasser geradlinig oder gewunden sein soll, sowie des Widerstandsgesetzes in parallelen Kan len" (An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels), Osborne Reynolds, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Band 174, S. 935-982 (1883).
Wenn die Druck in der Ausgangsposition ($p_i$) und die Druck in Endlage (e) ($p_e$) miteinander verbunden werden, entsteht eine die Druckunterschied ($\Delta p_s$), die mithilfe der folgenden Formel berechnet wird:
die Druckunterschied ($\Delta p_s$) repr sentiert den Druckunterschied, der bewirkt, dass die Fl ssigkeit von der h heren S ule zur niedrigeren S ule str mt.
Um den Fluss zu beschreiben, wird ein Koordinatensystem definiert, in dem die Fl ssigkeit von der Position am Anfang des Rohres ($L_i$) nach der Positionieren am Ende des Rohres ($L_e$) flie t, was bedeutet, dass der Druck bei die Druck in der Ausgangsposition ($p_i$) gr er ist als bei die Druck in Endlage (e) ($p_e$). Diese Bewegung h ngt von der Rohrlänge ($\Delta L$) ab, das wie folgt berechnet wird:
Beim L sen der Flie gleichung mit der Randbedingung erhalten wir die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) als Funktion von der Krümmung Radio ($r$), dargestellt als Parabel mit dem Mittelpunkt bei die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) und Nullwert bei der Rohrradius ($R$):
Der Wert von die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) in der Mitte eines Zylinders h ngt von die Viskosität ($\eta$), der Rohrradius ($R$) und dem Gradienten ab, der von die Druckunterschied ($\Delta p_s$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) erzeugt wird, wie unten dargestellt:
Das negative Vorzeichen deutet darauf hin, dass der Fluss immer in entgegengesetzter Richtung zum Gradienten erfolgt, d.h., von der Region mit h herem Druck zur Region mit niedrigerem Druck.
Der Volumenstrom ($J_V$) l sst sich mit dem Hagen-Poiseuille-Gesetz berechnen, das mit den Parametern die Viskosität ($\eta$), die Druckunterschied ($\Delta p$), der Rohrradius ($R$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) lautet:
Eine Flussdichte ($j_s$) kann in Bezug auf der Volumenstrom ($J_V$) durch die Abschnitt oder Bereich ($S$) mit der folgenden Formel dargestellt werden:
Das entscheidende Kriterium zur Bestimmung, ob ein Medium laminar oder turbulent ist, ist die sogenannte Reynolds-Zahl, die die Energie, die mit der Tr gheit verbunden ist, mit derjenigen vergleicht, die mit der Viskosit t verbunden ist. Erstere h ngt von die Dichte ($\rho$), die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit ($v$) und die Typische Abmessungen des Systems ($R$) ab, w hrend letztere von die Viskosität ($\eta$) abh ngt. Sie wird definiert als:
Die Oberfläche einer Scheibe ($S$) von ein Scheibenradius ($r$) wird wie folgt berechnet:
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