Benützer:


Kollisions Gleichung

Storyboard

ID:(1136, 0)


Berechnung von Kollisionen

Gleichung

Im Falle von Kollisionen gehen die Geschwindigkeiten der Teilchen von \vec{v}_1 und \vec{v}_2 zu den Geschwindigkeiten \vec{ v}_1 ' und \vec{v}_2' über. Die Wahrscheinlichkeit, dass nach der Kollision die Geschwindigkeiten \vec{v}_1' und \vec{v}_2' sind ist durch die Querschnitt \sigma gegeben, die mit\\n\\n

$\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_1',\vec{v}_2')d\vec{v}_1'd\vec{v}_2')$

\\n\\nberechnet werden kann. Da die Wahrscheinlichkeit der Partikel, die Kollision eintritt sind \vec{v}_1 und \vec{v}_2 Verteilungsfunktion berechnet werden\\n\\n

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)$



Da die Verschiebung in Abhängigkeit von der Relativgeschwindigkeit |\vec{v}_2-\vec{v}_1| geschied ist die schlussendliche veränderung der Teilchen gleich

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$

ID:(9078, 0)


Collisions die beitragen

Gleichung

Im Fall von Beiträgen zur Zelle müssen die Beiträge

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$



berücksichtigung werden. Integrierd man über die Startgeschwindigkeiten und die bei der Kollision entstehende, da diese zur lokalen Verteilungsfunktion beitragen

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_12f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})$

ID:(9079, 0)


Collisions nach dem die Zelle verlassen wird

Gleichung

Die die Zelle verlässen tragen bei mit

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$



Integration über eine der Ausgangsgeschwindigkeiten und beide resultierende Kollision da der andere der Beitrag zur lokalen Verteilungsfunktion ist

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{out}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_12d\vec{v}_22f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v},t)|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)$

ID:(9080, 0)


Gesamt Kollisionen

Gleichung

Mit dem Kollision, die beiträgt

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$



und diejenigen, die reduziert Partikel

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_12f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})$



erhält man den Austauschfaktor

$\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}2d\vec{v}_12(f(\vec{x},\vec{v}2,t)f(\vec{x},\vec{v}_12,t)-f(\vec{x},\vec{v},t)f(\vec{x},\vec{v}_1,t))|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}2,\vec{v}_12)$

ID:(9081, 0)


Gleichgewichtsverteilung (Gas Partikel)

Gleichung

Die Gleichgewichtsverteilung kann durch eine Maxwell-Boltzmann Verteilung angenähert werden,

$f_i^{eq}=\displaystyle\frac{m}{2\pi kT}e^{-m|c\vec{e}_i-\vec{u}|^2/2kT}$

wobei m die Masse des Teilchens, T Systemtemperatur und k Boltzmann Konstante.

ID:(8490, 0)


LBM Gleichung in der Entspannungs Approximation

Gleichung

In der Relaxationsnäherung wird davon ausgegangen, dass die Verteilung f_i (\ vec {x}, t) dazu neigt, sich zu einer Zeit \ tau zu einer Gleichgewichtsverteilung zu entspannen F_i ^ {eq} (\ vec {x}, t) nach Gleichung\\n\\n

$\displaystyle\frac{df_i}{dt}=-\displaystyle\frac{f_i-f_i^{eq}}{\tau}$



die in der diskreten Approximation die Gleichung hat

$f_i(\vec{x}+c\vec{e_i}\delta t,t+\delta t)=f_i(\vec{x},t)+\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_i^{eq}(\vec{x},t)-f_i(\vec{x},t))\delta t$

wo der Begriff der Unterschiede in den Verteilungsfunktionen die Kollisionen darstellt.

ID:(8489, 0)


Kollisionen

Gleichung

Wenn die Teilchen kollidieren, variieren die Verteilungsfunktion nach f(\vec{x},\vec{v},t) so dass\\n\\n

$\displaystyle\frac{df}{dt}\neq 0$



Kollisionen verursachen, dass Teilchen benachbarter Zellen einer Kollision unterliegen, die sie in die betroffene Zelle bringt und Partikel innerhalb der zu vertauschten Zelle. Die erste führt zu einer Zunahme von f_{in} Partikeln und der zweite zu einem f_{out} Zeitverlust \tau. So kann die Boltzmann-Transportgleichung mit Kollisionen als geschrieben werden

$\displaystyle\frac{df}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})$

ID:(9077, 0)