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Aceleración instantánea
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Para describir como evoluciona la velocidad en el tiempo se debe estudiar la variación de esta en el tiempo.
La relación de la variación de la velocidad equivale a la variación de la velocidad en el tiempo transcurrido que, dividido por este se, corresponde a la aceleración.
Para un tiempo transcurrido infinitesimal la aceleración corresponde a la aceleración instantánea.
ID:(1433, 0)
Mecanismos
Iframe
Por un lado, es importante diferenciar entre el caso más simple, unidimensional, y aquel de más de una dimensión. Para ambos casos, la derivada de la velocidad ($v$) respecto a el tiempo ($t$), que corresponde a la pendiente de la curva de la velocidad ($v$), es igual a la aceleración instantanea ($a$). De manera similar, la derivada de la velocidad (vector) ($\vec{v}$) respecto a el tiempo ($t$), que corresponde a la velocidad (vector) ($\vec{v}$).
Mecanismos
ID:(15398, 0)
Aceleración instantánea
Concepto
La aceleración se define como la variación de la velocidad por unidad de tiempo. Sin embargo, esta definición se refiere a la aceleración media que existe durante un intervalo de tiempo dado.
Esta limitación de la aceleración media se refleja en situaciones donde un objeto acelera para luego frenar y detenerse. En este caso, la aceleración media es cero, lo que sugiere que el objeto no ha acelerado en absoluto. Sin embargo, esto no es cierto ya que el objeto se mueve tanto en la fase de aceleración como en la de frenado.
Para conocer la aceleración en cada instante, se debe considerar un intervalo de tiempo suficientemente pequeño, de modo que durante ese tiempo la aceleración se pueda considerar aproximadamente constante. De esta manera, la aceleración media estimada de esta forma equivale a la aceleración existente en el instante considerado.
Por lo tanto, se utiliza el término 'aceleración instantánea' para referirse a la aceleración en un momento determinado.
ID:(11352, 0)
Aceleración como derivada
Concepto
Si tomamos el tiempo transcurrido ($\Delta t$) y observamos un objeto en movimiento con la velocidad ($v$), y luego observamos el mismo objeto en un momento posterior $t+\Delta t$ con velocidad $v(t+\Delta t)$, podemos estimar su aceleración como el cambio en la velocidad durante el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
$a\sim\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}$
A medida que el valor de $\Delta t$ disminuye, esta expresión para la aceleración se acerca a la tasa de cambio instantánea de la velocidad en el tiempo $t$, o en otras palabras, la pendiente de la recta tangente a la curva de velocidad en ese punto:
Autopista con salida
Esto generaliza el concepto de la aceleración instantanea ($a$) para el caso de la aceleración constante ($a_0$), como se ha visto anteriormente, expresándose como la derivada de la velocidad ($v$) respecto a el tiempo ($t$):
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
ID:(11353, 0)
Camino recorrido como área bajo curva de velocidad
Concepto
Si observamos que la velocidad ($v$) es igual a la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) por el tiempo transcurrido ($\Delta t$), indicamos que el desplazamiento es
$\Delta s = v\Delta t$
Como el producto $v\Delta t$ es el área bajo la curva velocidad versus tiempo y esto, por otro lado, es igual al desplazamiento recorrido:
Esta área también se puede calcular con la integral de la función correspondiente. Por lo tanto, la integral de la aceleración entre el tiempo inicial ($t_0$) y el tiempo ($t$) corresponde a la variación de la velocidad entre la velocidad inicial la velocidad inicial ($v_0$) y la velocidad ($v$):
| $ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a d\tau $ |
ID:(2252, 0)
Curvatura de la curva de posición en el tiempo
Concepto
La aceleración instantanea ($a$) es igual a la derivada de la velocidad ($v$) en el tiempo ($t$):
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
Y dado que la velocidad ($v$) es la derivada de la posición ($s$) en el tiempo ($t$):
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
Entonces, la aceleración instantanea ($a$) es la segunda derivada de la posición ($s$) en el tiempo ($t$),
| $ a =\displaystyle\frac{ d^2 s }{ d t ^2 }$ |
lo que corresponde a la curvatura de la curva la posición ($s$) en función de el tiempo ($t$):
ID:(11354, 0)
Modelo
Top
En el caso de una dimensión, la aceleración instantanea ($a$) está relacionada con la velocidad ($v$) a través de su derivada en el tiempo ($t$), mientras que la integral de la aceleración instantanea ($a$) en el intervalo de el tiempo ($t$) a el tiempo inicial ($t_0$) proporciona la velocidad ($v$) desde la velocidad inicial ($v_0$). En un contexto más general, en más de una dimensión, la función de la velocidad (vector) ($\vec{v}$) puede ser derivada en el tiempo ($t$), lo que resulta en la velocidad (vector) ($\vec{v}$).
Parámetros
Variables
Cálculos
a 
, luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ \vec{a} = \displaystyle\frac{ d\vec{v} }{ dt }$
&a = @DIF( &v , t , 1)
$ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$
a = @DIF( v , t , 1)
$ a =\displaystyle\frac{ d^2 s }{ d t ^2 }$
a = @DIFF( s , t , 2 )
$ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a d\tau $
v = v_0 + @INT( a, tau, t_0, t )
ID:(15401, 0)
Aceleración instantánea en una dimensión
Ecuación
La variable la aceleración media ($\bar{a}$), calculada como el cambio en la diferencia de velocidad ($\Delta v$) dividido por el intervalo de el tiempo transcurrido ($\Delta t$) mediante
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
es una aproximación de la aceleración real, que tiende a distorsionarse cuando la aceleración fluctúa durante el intervalo de tiempo. Por lo tanto, se introduce el concepto de la aceleración instantanea ($a$) determinado en un intervalo de tiempo muy pequeño. En este caso, nos referimos a un intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño y la variación de la velocidad en el tiempo se reduce a la derivada de la velocidad ($v$) respecto a el tiempo ($t$):
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
Si consideramos la diferencia de la velocidad ($v$) en los tiempos $t+\Delta t$ y $t$:
$\Delta v = v(t+\Delta t)-v(t)$
y tomamos $\Delta t$ como el tiempo transcurrido ($\Delta t$), entonces en el límite de tiempos infinitesimalmente cortos:
$a=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t} \rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{dv}{dt}$
Esta última expresión corresponde a la derivada de la función la velocidad ($v$):
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
la cual, a su vez, es la pendiente de la representación gráfica de dicha función en el tiempo ($t$).
lo que corresponde a la derivada de la velocidad.
ID:(4356, 0)
Integración de la aceleración
Ecuación
Si la aceleración instantanea ($a$) corresponde a la derivada de la velocidad ($v$) en el tiempo ($t$),
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
entonces la velocidad ($v$) es igual a la velocidad inicial ($v_0$), y la integración de la aceleración desde el tiempo inicial ($t_0$) hasta el tiempo ($t$) es:
| $ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a d\tau $ |
Si integramos en el tiempo ($t$) la definición de la aceleración instantanea ($a$),
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
esto significa que para un intervalo de tiempo $dt$, la distancia recorrida es
$dv = a dt$
Si consideramos $N$ intervalos $dt_i$ con aceleraciones $a_i$, la variación total en la velocidad será
$v - v_0 = \displaystyle\sum_i a_i dt_i$
Si consideramos la curva de aceleración-tiempo, los elementos $a_i dt_i$ corresponden a rectángulos con altura $a_i$ y ancho $dt_i$. La suma, por lo tanto, corresponde al área debajo de la curva de aceleración-tiempo. Por lo tanto, la suma se puede expresar como una integral:
| $ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a d\tau $ |
ID:(10307, 0)
Aceleración instantánea en función de la posición
Ecuación
Dado que la aceleración instantanea ($a$) es la pendiente de la velocidad ($v$) en función de el tiempo ($t$),
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
y la velocidad ($v$) es la pendiente de la posición ($s$) en función de el tiempo ($t$),
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
podemos expresar la aceleración instantanea ($a$) como la segunda derivada de la posición ($s$) con respecto a el tiempo ($t$).
| $ a =\displaystyle\frac{ d^2 s }{ d t ^2 }$ |
Dado que la aceleración instantanea ($a$) es la derivada de la velocidad ($v$) respecto a el tiempo ($t$),
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
y la velocidad ($v$) es la derivada de la posición ($s$) respecto a el tiempo ($t$),
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
tenemos que
$a=\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\frac{ds}{dt}=\displaystyle\frac{d^2s}{dt^2}$
por lo tanto,
| $ a =\displaystyle\frac{ d^2 s }{ d t ^2 }$ |
ID:(12572, 0)
Aceleración instantánea en más dimensiones
Ecuación
En general, la velocidad debe entenderse como un vector tridimensional. Es decir, su la posición ($s$) requiere ser descrita por un vector una posición (vector) ($\vec{s}$), para el cual se puede definir cada componente la velocidad ($v$) como se muestra en la siguiente ecuación:
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
Esto permite generalizar la velocidad (vector) ($\vec{v}$) de la siguiente manera:
| $ \vec{a} = \displaystyle\frac{ d\vec{v} }{ dt }$ |
Como un vector se puede expresar como un arreglo de sus diferentes componentes
$\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$
su derivada se puede expresar como la derivada de cada una de sus componentes
$\displaystyle\frac{d}{dt}\vec{v}=\displaystyle\frac{d}{dt}(v_x,v_y,v_z)=\left(\displaystyle\frac{dv_x}{dt},\displaystyle\frac{dv_y}{dt},\displaystyle\frac{dv_z}{dt}\right)=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a}$
se tiene que en general la velocidad instantanea en mas de una dimensión es
| $ \vec{a} = \displaystyle\frac{ d\vec{v} }{ dt }$ |
ID:(3155, 0)