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Modelo SIR Modificados

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El modelo SIR modificado se empela cuando el lapso en que actúa la enfermedad es mas largo y el efecto de nacimientos y muertes por otros motivos deben ser tomados en cuenta.

>Modelo

ID:(348, 0)

Modelos SIR modificados

Descripción

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Ampliación de los modelos SIR a los casos en que se considera también el nacimiento y muerte por otras causas en el calculo de la población.

ID:(872, 0)

Ecuación susceptibles del modelo SIR modificado

Ecuación

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Si se busca generalizar la primera ecuación del modelo SIR que describe la evolución de los susceptibles S

$\displaystyle\frac{dS}{dt}=-C\displaystyle\frac{I}{N}S\beta$

\\n\\ndonde \beta es la probabilidad de infección, número de contactos C, número de infectados I y número de personas totales N.\\n\\nSi se consideran los nacidos estos serán proporcional al numero de personas en la sociedad N, esto es\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dS}{dt}\right)_{nacer}=\mu_bN$

\\n\\ndonde \mu_b es la constante de proporcionalidad. De igual forma el número de personas que mueren por otra causa sera\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dS}{dt}\right)_{morir}=-\mu_dS$

donde \mu_d es la constante de proporcionalidad y en este caso representa una fracción del numero de susceptibles que muere. El signo negativo nos recuerda que la muerte lleva a una reducción de susceptibles.

De esta forma la primera ecuación del modelo SIR modificado es

$\displaystyle\frac{dS}{dt}=-\left(\displaystyle\frac{\beta C}{N}I(t)+\mu_d\right)S(t)+\mu_bN$

ID:(4078, 0)

Ecuación infectado del modelo SIR modificado

Ecuación

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En el caso de la segunda ecuación del modelo SIR se debe modificar la ecuación

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\displaystyle\frac{\beta C}{N}S(t)-(\gamma+\mu_d)\right)I(t)$

\\n\\nen que I son los infectados, \beta la probabilidad de contagio, C la cantidad de contactos, N el tamaño de la población y \gamma el factor que modela la recuperación.\\n\\nSi se asume que las personas solo nacen sanas, la segunda ecuación del modelo solo podrá incluir las personas infectadas que mueren por otra razón que la enfermedad que se esta estudiando. Por ello la variación de los infectados por muerte debe ser\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dI}{dt}\right)_{morir}=-\mu_dI$

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\displaystyle\frac{\beta C}{N}S(t)-(\gamma+\mu_d)\right)I(t)$

ID:(4079, 0)

Ecuación recuperados del modelo SIR modificado

Ecuación

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En el caso de la tercera ecuación del modelo SIR se debe modificar la ecuación

$\displaystyle\frac{dR}{dt}=\gamma I$

\\n\\nen que R es la población de los recuperados, I los infectados y \gamma el factor que modela la recuperación.\\n\\nSi se asume que las personas solo nacen sanas, la tercera ecuación del modelo solo podrá incluir las personas recuperadas que mueren por otra razón que la enfermedad que se esta estudiando. Por ello la variación de los recuperados por muerte debe ser\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dR}{dt}\right)_{morir}=-\mu_dR$

$\displaystyle\frac{dR}{dt}=\gamma I(t)-\mu_d R(t)$

ID:(4080, 0)

Número de susceptibles crítico, modelo SIR modificado

Ecuación

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Al igual que en el caso del modelo SIR existe un número de susceptibles debajo de los cuales la enfermedad no encuentra suficientes victimas para crecer. Esto se da en el momento que la pendiente de los infectados es nula:\\n\\n

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\displaystyle\frac{\beta C}{N}I(t)S(t)-(\gamma+\mu_d)I(t)=0$

en que se puede despejar en S dando el valor de susceptibles que es crítico para controlar la enfermedad es:

$\displaystyle\frac{S_{crit}}{N}=\displaystyle\frac{\gamma+\mu_d}{\beta C}$

que corresponde a la situación en que la curva de infectados alcanza su máximo. Es decir el número de susceptibles críticos es el numero de susceptibles que van quedando al momento que el número de infectados alcanza su máximo.

ID:(4081, 0)

Factor de reproducción en modelo SIR modificado

Ecuación

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Si observamos la segunda ecuación del modelo SIR modificado que describe la evolución

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\displaystyle\frac{\beta C}{N}S(t)-(\gamma+\mu_d)\right)I(t)$

\\n\\nvemos que el signo del factor entre paréntesis determina si el numero de infectados continua creciendo o decrece. La enfermedad se considera en proceso de estar controlada si el factor es negativo o sea\\n\\n

$\displaystyle\frac{\beta C}{N}S(t)-(\gamma+\mu_d)<0$

\\n\\no\\n\\n

$\displaystyle\frac{S(t)}{N}\displaystyle\frac{\beta C}{(\gamma+\mu_d)}< 1.0$

Al inicio de la propagación los susceptibles son en gran medida toda la población (S(0)\sim N) por lo que la enfermedad esta contendida en la medida que \beta C/(\gamma+\mu_d) es menor que uno. Por ello se define el factor de reproducción como

$R_0=\displaystyle\frac{\beta C}{\gamma+\mu_d}$

ID:(4083, 0)

Condición existe solución, modelo SIR modificado

Ecuación

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Esto es debe existir la condición de que el factor de reproducción

$R_0=\displaystyle\frac{\beta C}{\gamma+\mu_d}$

sea mayor que cero pero también que R_0 tiene que ser menor que uno lo que implica que deben nacer mas de los que mueren por otras causas:

$\mu_b\geq\mu_d$

ID:(4085, 0)

Limite de contención, modelo SIR modificado

Ecuación

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Otra de las aplicaciones de la ecuación es la de permitir estimar las medidas necesarias para evitar la epidemia. En general se necesita que cualquier cambio de \beta, C, \gamma, \mu_d y S lleve a que Z\leq 1. La reducción de S se asocia a lo que es la vacunación. Si se supone que el publico en general no modifica sus costumbres para reducir \beta y C, y no tenemos medicinas para aumentar el factor \gamma podemos pasar personas del estado S al R vía vacunación. Si q es la fracción a vacunar, o sea qS serán los vacunados lograremos el control si se\\n\\n

$Z=1=\displaystyle\frac{S-qS}{N}\displaystyle\frac{\beta C}{(\gamma+\mu_d)}$

o despejando q

$q=1-\displaystyle\frac{N}{S}\displaystyle\frac{(\gamma+\mu_d)}{\beta C}$

ID:(4099, 0)

Condición con Infectados estables, modelo SIR modificado

Ecuación

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Si se observa el número asimtotico de infectados\\n\\n

$\displaystyle\frac{I_{\infty}}{N}=\displaystyle\frac{\mu_b}{\gamma+\mu_d}-\displaystyle\frac{\mu_d}{\beta C}$

notamos que, dependiendo de los parámetros, el valor podría llegar a ser negativo lo que no da sentido. Por si no se da la situación de que el numero asintótico es cero o positivo no existe una solución asintótica estática. La condición de que exista la solución estática es

$\displaystyle\frac{\beta C}{\gamma+\mu_d}>\displaystyle\frac{\mu_d}{\mu_b}$

ID:(4084, 0)

Número de infectados críticos, modelo SIR modificado

Ecuación

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En el caso de alcanzar la situación en que los infectados comienzan a decender se tiene con la primera ecuación del modelo SIR modificado\\n\\n

$\displaystyle\frac{dS}{dt}=-\left(\displaystyle\frac{\beta C}{N}I(t)+\mu_d\right)S(t)+\mu_bN=0$

\\n\\nen que se puede despejar en I dando el valor es\\n\\n

$I_{crit}=\left(\displaystyle\frac{\mu_b N}{S_{\infty}}-\mu_d\right)\displaystyle\frac{N}{\beta C}$

\\n\\nComo el limite de susceptibles es\\n\\n

$\displaystyle\frac{S_{crit}}{N}=\displaystyle\frac{\gamma+\mu_d}{\beta C}$

se tiene

$\displaystyle\frac{I_{crit}}{N}=\displaystyle\frac{\mu_b}{\gamma+\mu_d}-\displaystyle\frac{\mu_d}{\beta C}$

ID:(4082, 0)

Simulación del modelo SIR modificado

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El modelo se puede resolver numéricamente las ecuaciones para los susceptibles S, infectados I y recuperados R:

$\displaystyle\frac{dS}{dt}=-\left(\displaystyle\frac{\beta C}{N}I(t)+\mu_d\right)S(t)+\mu_bN$

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\displaystyle\frac{\beta C}{N}S(t)-(\gamma+\mu_d)\right)I(t)$

$\displaystyle\frac{dR}{dt}=\gamma I(t)-\mu_d R(t)$

en donde t es el tiempo \beta la taza de contagio, \gamma la taza de recuperación, C el número de contactos, N la población, \mu_b la natalidad por habitante y \mu_d la mortalidad por habitante.

ID:(6833, 0)