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Caso de la malaria
Descripción 
En el caso de la malaria, es necesario modelar no solo la infección si no también la evolución del portador de esta.
En el caso de la malaria se trata de un parásito que es transmitido por mosquitos. En el proceso las hembras del mosquito transmite el parásito al ser humano y viceversa el ser humano infectado puede infectar al mosquito.
2.7 millones de personas mueren anualmente por esta enfermedad.
ID:(877, 0)
Modelos con vectores
Descripción
Modelos en que es necesario modelar una segunda especie que participa en la dinámica de infectar a las personas.
ID:(874, 0)
Ecuación de los humanos infectados
Ecuación
La ecuación que describe la evolución de las personas infectadas
$\left(\displaystyle\frac{dI}{dt}\right)_{infectar}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)$
\\n\\nEn el segundo caso corresponde a la fracción de los que se recuperan que se comporta igual que en los modelos 'SIR' y 'SEIR':\\n\\n
$\left(\displaystyle\frac{dI}{dt}\right)_{muere}=-\gamma I$
con lo que la ecuación para los infectados es
| $\displaystyle\frac{dI}{dt}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)-\gamma I$ |
ID:(4094, 0)
Ecuación de los mosquitos infectados
Ecuación
La ecuación que describe la evolución de los mosquitos infectadas
$\left(\displaystyle\frac{dV}{dt}\right)_{infectar}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)$
\\n\\nEn el segundo caso corresponde a la fracción de los que se mueren que se comporta igual que en los modelos SIR y SEIR:\\n\\n
$\left(\displaystyle\frac{dV}{dt}\right)_{muere}=-\mu V$
con lo que la ecuación para los infectados es
| $\displaystyle\frac{dV}{dt}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)-\mu V$ |
ID:(4095, 0)
Factor de reproducción
Ecuación
Con
| $R_0=\displaystyle\frac{p_b^2p_Vp_I\Lambda}{\mu\gamma}$ |
ID:(4098, 0)
Número de humanos infectados estacionarios
Ecuación
En el caso de que el sistema entre a una fase estacionaria la derivada temporal sera en ambos ecuaciones iguales a cero. Esto nos entrega las ecuaciones
| $\displaystyle\frac{dI}{dt}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)-\gamma I$ |
y
| $\displaystyle\frac{dV}{dt}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)-\mu V$ |
\\n\\ncon lo que se tiene\\n\\n
$\displaystyle\frac{dI}{dt}\displaystyle\bigg|_{I=I_{\infty}}=p_bp_I\Lambda V_{\infty}(N_I-I_{\infty})-\gamma I_{\infty}N_V=0$
\\n\\ny\\n\\n
$\displaystyle\frac{dV}{dt}\displaystyle\bigg|_{V=V_{\infty}}=p_bp_VI_{\infty}(N_V-V_{\infty})-\mu V_{\infty}N_I=0$
por lo que la solución para el ser humano será
| $I_{\infty}=N_I\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{p_bp_V(\gamma+\Lambda p_bp_I)}$ |
ID:(4096, 0)
Número de mosquitos infectados estacionarios
Ecuación
En el caso de que el sistema entre a una fase estacionaria la derivada temporal sera en ambos ecuaciones iguales a cero. Esto nos entrega las ecuaciones
| $\displaystyle\frac{dI}{dt}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)-\gamma I$ |
y
| $\displaystyle\frac{dV}{dt}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)-\mu V$ |
\\n\\ncon lo que se tiene\\n\\n
$\displaystyle\frac{dI}{dt}\displaystyle\bigg|_{I=I_{\infty}}=p_bp_I\Lambda V_{\infty}(N_I-I_{\infty})-\gamma I_{\infty}N_V=0$
\\n\\ny\\n\\n
$\displaystyle\frac{dV}{dt}\displaystyle\bigg|_{V=V_{\infty}}=p_bp_VI_{\infty}(N_V-V_{\infty})-\mu V_{\infty}N_I=0$
por lo que la solución para el mosquito será
| $V_{\infty}=N_V\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{\Lambda p_bp_I(\mu+p_bp_V)}$ |
ID:(4097, 0)
Fracción de humanos infectados
Ecuación
Para evitar trabajar con números muy grandes es conveniente transformar las ecuaciones en función de la fracción de infectados humanos en vez del número total. Por ello se introduce
| $ i =\displaystyle\frac{ I }{ N_I }$ |
ID:(8204, 0)
Fracción de mosquitos infectados
Ecuación
Para evitar trabajar con números muy grandes es conveniente transformar las ecuaciones en función de la fracción de infectados mosquitos en vez del número total. Por ello se introduce
| $ v =\displaystyle\frac{ V }{ N_V }$ |
ID:(8205, 0)
Ecuación de la fracción de los humanos infectados
Ecuación
Con la ecuación el número de infectados humanos es
| $\displaystyle\frac{dI}{dt}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)-\gamma I$ |
y la fracción de humanos infectados
| $ i =\displaystyle\frac{ I }{ N_I }$ |
y mosquitos infectados
| $ v =\displaystyle\frac{ V }{ N_V }$ |
se obtiene
| $\displaystyle\frac{di}{dt}=p_bp_I\Lambda v(1-i)-\gamma i$ |
ID:(8207, 0)
Ecuación de la fracción de los mosquitos infectados
Ecuación
Con la ecuación para la evolución del número de mosquitos infectados es
| $\displaystyle\frac{dV}{dt}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)-\mu V$ |
y la fracción de humanos infectados
| $ i =\displaystyle\frac{ I }{ N_I }$ |
y mosquitos infectados
| $ v =\displaystyle\frac{ V }{ N_V }$ |
se tiene que
| $\displaystyle\frac{dv}{dt}=p_bp_Vi(1-v)-\mu v$ |
ID:(8206, 0)
Fracción de humanos infectados estacionarios
Ecuación
Dado que el número de humanos infectados en el límite estacionario es
| $I_{\infty}=N_I\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{p_bp_V(\gamma+\Lambda p_bp_I)}$ |
se puede con
| $ i =\displaystyle\frac{ I }{ N_I }$ |
reescribir el límite para la fracción de infectados
| $i_{\infty}=\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{p_bp_V(\gamma+\Lambda p_bp_I)}$ |
ID:(8209, 0)
Fracción de mosquitos infectados estacionarios
Ecuación
Como el número de mosquitos infectados en el límite estacionario es
| $V_{\infty}=N_V\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{\Lambda p_bp_I(\mu+p_bp_V)}$ |
y se tiene que la fracción es
| $ v =\displaystyle\frac{ V }{ N_V }$ |
se puede estimar una fracción límite mediante
| $v_{\infty}=\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{\Lambda p_bp_I(\mu+p_bp_V)}$ |
ID:(8210, 0)
Simulación del modelo de vectores
Html
Con la ecuación para la fracción de humanos infectados
| $\displaystyle\frac{di}{dt}=p_bp_I\Lambda v(1-i)-\gamma i$ |
y la fracción de mosquitos infectados es
| $\displaystyle\frac{dv}{dt}=p_bp_Vi(1-v)-\mu v$ |
se puede correr una simulación que muestra la dinámica de ambas poblaciones.
ID:(8208, 0)