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Caso SARS 2003
Descripción

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En 2003 ocurrió una pandemia de SARS que se inicio en Chine y propago vía Hong Kong al resto del mundo.

Los datos del WHO, que cubren todo el mundo tienen en particular una estructura relativamente simple para el caso de Hong Kong (un solo foco). Los datos que se pueden bajar desde el informe general de [WHO SARS 2003](http://www.who.int/csr/sars/country/en/) en que esta el número acumulado de:

• infectados

• muertos

• recuperados

por fecha y país.

El número de muertos y de recuperados acumulados corresponden a los $D$ y $R$ del modelo SIRD respectivamente.

El número acumulado de infectados $J$, no corresponde al $I$ del modelo SIRD ya que este ultimo representa los infectados existentes en un tiempo dado y no el acumulado histórico.

Para describir completamente el modelo debemos, en base a los datos experimentales, determinar los factores:

• $\bar{\beta}\equiv\beta C$ que es la tasa de infección

• $\gamma$ la tasa de recuperación

• $\delta$ la tasa de muerte

• $N$ el número del grupo social o celda en que se propaga

si se supone que inicialmente existió un solo infectado.

ID:(8226, 0)


Definición de tasa de contagio
Ecuación

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Como en la ecuación de propagación de la infección en el modelo SIRD

$\displaystyle\frac{ dI }{ dt }=\left(\displaystyle\frac{ \beta C }{ N } S - \gamma - \delta \right) I $



figura el numero de contactos C y la probabilidad de que el contacto, si infectado, contagie /beta en forma de producto es imposible determinar ambos parámetros por separado. Por ello se introduce la probabilidad de infección total que considera ambos parámetros:

$\bar{\beta}=\beta C$

ID:(8228, 0)


Número de Infectados
Ecuación

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Para calcular el número de infectados I se puede tomar el número de infectados acumulados J restando el número de recuperados R y muertos D:

$ I = J - R - D $

ID:(8227, 0)


Determinación de la tasa de recuperación
Ecuación

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Como se cuenta con los datos tanto de los infectados I_i como de los recuperados R_i y se debe cumplir que

$\displaystyle\frac{ dR }{ dt }= \gamma I $

\\n\\nse puede realizar un ajuste por mínimos cuadrados en que se busca un \gamma que minimice\\n\\n

$min \sum_i\left(\displaystyle\frac{dR_i}{dt}-\gamma I_i\right)^2$



lo que se da si la tasa de recuperación es

$\gamma=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_iI_i\displaystyle\frac{dR_i}{dt}}{\displaystyle\sum_iI_i^2}$

ID:(8229, 0)


Determinación de la tasa de muertos
Ecuación

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Como se cuenta con los datos tanto de los infectados I_i como de los muertos D_i y se debe cumplir que

$\displaystyle\frac{ dD }{ dt }= \delta I $

\\n\\nse puede realizar un ajuste por mínimos cuadrados en que se busca un \delta que minimice\\n\\n

$min \sum_i\left(\displaystyle\frac{dD_i}{dt}-\delta I_i\right)^2$



lo que se da si la tasa de muerte es

$\delta=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_iI_i\displaystyle\frac{dD_i}{dt}}{\displaystyle\sum_iI_i^2}$

ID:(8230, 0)


Ecuación de propagación de la infección
Ecuación

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La ecuación de propagación de la infección

$\displaystyle\frac{ dI }{ dt }=\left(\displaystyle\frac{ \beta C }{ N } S - \gamma - \delta \right) I $



se puede reescribir con

$\bar{\beta}=\beta C$



como

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\bar{\beta}\displaystyle\frac{S}{N}-(\gamma+\delta)\right)I$

ID:(8231, 0)


Ecuación de tasa de infectados
Ecuación

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Si se conoce el punto en que el número de infectados llega a un máximo I_{crit} tiene que la derivada del número de infectados es nula

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\bar{\beta}\displaystyle\frac{S}{N}-(\gamma+\delta)\right)I$

\\n\\ny con ello que\\n\\n

$\bar{\beta}\displaystyle\frac{S_{crit}}{N}-(\gamma+\delta)=0$



por lo que con

$ N = S + I + R + D $



se tiene que la tasa de infección sería igual a

$\bar{\beta}=\displaystyle\frac{(\gamma+\delta)N}{N-(I_{crit}+R_{crit}+D_{crit})}$

Por ello \bar{\beta} siempre será menor que la suma de \gamma y \delta.

ID:(8234, 0)


Regresión para el calculo de la población afectada
Ecuación

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Para buscar el numero de personas en el circulo N se puede buscar para la ecuación de propagación de infecciones

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\bar{\beta}\displaystyle\frac{S}{N}-(\gamma+\delta)\right)I$



con la condición

$ N = S + I + R + D $



y la relación para el $\bar{\beta}$

$\bar{\beta}=\displaystyle\frac{(\gamma+\delta)N}{N-(I_{crit}+R_{crit}+D_{crit})}$



la minimización de la desviación cuadratica

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$

ID:(8232, 0)


Factor $N^2$
Ecuación

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Si se desarrolla la expresión

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se obtiene el coeficiente

$S_1=\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)^2$

para el termino en $N^2$.

ID:(8236, 0)


Factor $\bar{\beta}^2N^2$
Ecuación

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Si se desarrolla la expresión

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se obtiene el coeficiente

$S_2=\sum_iI_i^2$

para el termino en $\bar{\beta}^2N^2$.

ID:(8237, 0)


Factor $\bar{\beta}^2$
Ecuación

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Si se desarrolla la expresión

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se obtiene el coeficiente

$S_3=\sum_iI_i^2(I_i+R_i+D_i)^2$

para el termino en $\bar{\beta}^2$.

ID:(8238, 0)


Factor $\bar{\beta}N^2$
Ecuación

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Si se desarrolla la expresión

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se obtiene el coeficiente

$S_4=-2\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)I_i$

para el termino en $\bar{\beta}N^2$.

ID:(8239, 0)


Factor $\bar{\beta}^2N$
Ecuación

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Si se desarrolla la expresión

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se obtiene el coeficiente

$S_5=-2\sum_iI_i^2(I_i+R_i+D_i)$

para el termino en $\bar{\beta}^2N$.

ID:(8240, 0)


Factor $\bar{\beta}N$
Ecuación

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Si se desarrolla la expresión

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se obtiene el coeficiente

$S_6=2\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)I_i(I_i+R_i+D_i)$

para el termino en $\bar{\beta}N$.

ID:(8241, 0)


Ecuación de regresión
Ecuación

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La ecuación

$min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2$



se puede reescribir con

$S_1=\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)^2$



$S_2=\sum_iI_i^2$



$S_3=\sum_iI_i^2(I_i+R_i+D_i)^2$



$S_4=-2\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)I_i$



$S_5=-2\sum_iI_i^2(I_i+R_i+D_i)$



$S_6=2\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)I_i(I_i+R_i+D_i)$



dando

$min (S_1N^2+(S_6+S_4N)N\bar{\beta}+(S_3+S_5N+S_2N^2)\bar{\beta}^2)$

donde \bar{\beta} depende a su vez de N.

ID:(8235, 0)


Número de personas en celda
Ecuación

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La condición

$min (S_1N^2+(S_6+S_4N)N\bar{\beta}+(S_3+S_5N+S_2N^2)\bar{\beta}^2)$



se puede aplicar diferenciando respecto de N, considerando que

$\bar{\beta}=\displaystyle\frac{(\gamma+\delta)N}{N-(I_{crit}+R_{crit}+D_{crit})}$



e igualando a cero con lo que se obtiene

$N=\displaystyle\frac{(S_6+S_0S_4)S_0-(\gamma+\delta)(2S_3+S_0S_5)}{S_6+S_0S_4+(\gamma+\delta)(S_5+2S_0S_2)}$

ID:(8242, 0)


Simulador SARS - ajuste de un Modelo SEIR
Php

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El presente simulador contiene los datos de la epidemia de SARS para el caso de Hong Kong y permite buscar los parámetros de un modelo SEIR ajustando las curvas a los valores reales:

ID:(9659, 0)