
Caso SARS 2003
Descripción 
En 2003 ocurrió una pandemia de SARS que se inicio en Chine y propago vía Hong Kong al resto del mundo.
Los datos del WHO, que cubren todo el mundo tienen en particular una estructura relativamente simple para el caso de Hong Kong (un solo foco). Los datos que se pueden bajar desde el informe general de [WHO SARS 2003](http://www.who.int/csr/sars/country/en/) en que esta el número acumulado de:
• infectados
• muertos
• recuperados
por fecha y país.
El número de muertos y de recuperados acumulados corresponden a los D y R del modelo SIRD respectivamente.
El número acumulado de infectados J, no corresponde al I del modelo SIRD ya que este ultimo representa los infectados existentes en un tiempo dado y no el acumulado histórico.
Para describir completamente el modelo debemos, en base a los datos experimentales, determinar los factores:
• \bar{\beta}\equiv\beta C que es la tasa de infección
• \gamma la tasa de recuperación
• \delta la tasa de muerte
• N el número del grupo social o celda en que se propaga
si se supone que inicialmente existió un solo infectado.
ID:(8226, 0)

Definición de tasa de contagio
Ecuación 
Como en la ecuación de propagación de la infección en el modelo SIRD
\displaystyle\frac{ dI }{ dt }=\left(\displaystyle\frac{ \beta C }{ N } S - \gamma - \delta \right) I |
figura el numero de contactos
\bar{\beta}=\beta C |
ID:(8228, 0)

Número de Infectados
Ecuación 
Para calcular el número de infectados
I = J - R - D |
ID:(8227, 0)

Determinación de la tasa de recuperación
Ecuación 
Como se cuenta con los datos tanto de los infectados
\displaystyle\frac{ dR }{ dt }= \gamma I |
\\n\\nse puede realizar un ajuste por mínimos cuadrados en que se busca un
min \sum_i\left(\displaystyle\frac{dR_i}{dt}-\gamma I_i\right)^2
lo que se da si la tasa de recuperación es
\gamma=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_iI_i\displaystyle\frac{dR_i}{dt}}{\displaystyle\sum_iI_i^2} |
ID:(8229, 0)

Determinación de la tasa de muertos
Ecuación 
Como se cuenta con los datos tanto de los infectados
\displaystyle\frac{ dD }{ dt }= \delta I |
\\n\\nse puede realizar un ajuste por mínimos cuadrados en que se busca un
min \sum_i\left(\displaystyle\frac{dD_i}{dt}-\delta I_i\right)^2
lo que se da si la tasa de muerte es
\delta=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_iI_i\displaystyle\frac{dD_i}{dt}}{\displaystyle\sum_iI_i^2} |
ID:(8230, 0)

Ecuación de propagación de la infección
Ecuación 
La ecuación de propagación de la infección
\displaystyle\frac{ dI }{ dt }=\left(\displaystyle\frac{ \beta C }{ N } S - \gamma - \delta \right) I |
se puede reescribir con
\bar{\beta}=\beta C |
como
\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\bar{\beta}\displaystyle\frac{S}{N}-(\gamma+\delta)\right)I |
ID:(8231, 0)

Ecuación de tasa de infectados
Ecuación 
Si se conoce el punto en que el número de infectados llega a un máximo
\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\bar{\beta}\displaystyle\frac{S}{N}-(\gamma+\delta)\right)I |
\\n\\ny con ello que\\n\\n
\bar{\beta}\displaystyle\frac{S_{crit}}{N}-(\gamma+\delta)=0
por lo que con
N = S + I + R + D |
se tiene que la tasa de infección sería igual a
\bar{\beta}=\displaystyle\frac{(\gamma+\delta)N}{N-(I_{crit}+R_{crit}+D_{crit})} |
Por ello
ID:(8234, 0)

Regresión para el calculo de la población afectada
Ecuación 
Para buscar el numero de personas en el circulo
\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\bar{\beta}\displaystyle\frac{S}{N}-(\gamma+\delta)\right)I |
con la condición
N = S + I + R + D |
y la relación para el \bar{\beta}
\bar{\beta}=\displaystyle\frac{(\gamma+\delta)N}{N-(I_{crit}+R_{crit}+D_{crit})} |
la minimización de la desviación cuadratica
min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2 |
ID:(8232, 0)

Factor N^2
Ecuación 
Si se desarrolla la expresión
min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2 |
se obtiene el coeficiente
S_1=\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)^2 |
para el termino en N^2.
ID:(8236, 0)

Factor \bar{\beta}^2N^2
Ecuación 
Si se desarrolla la expresión
min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2 |
se obtiene el coeficiente
S_2=\sum_iI_i^2 |
para el termino en \bar{\beta}^2N^2.
ID:(8237, 0)

Factor \bar{\beta}^2
Ecuación 
Si se desarrolla la expresión
min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2 |
se obtiene el coeficiente
S_3=\sum_iI_i^2(I_i+R_i+D_i)^2 |
para el termino en \bar{\beta}^2.
ID:(8238, 0)

Factor \bar{\beta}N^2
Ecuación 
Si se desarrolla la expresión
min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2 |
se obtiene el coeficiente
S_4=-2\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)I_i |
para el termino en \bar{\beta}N^2.
ID:(8239, 0)

Factor \bar{\beta}^2N
Ecuación 
Si se desarrolla la expresión
min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2 |
se obtiene el coeficiente
S_5=-2\sum_iI_i^2(I_i+R_i+D_i) |
para el termino en \bar{\beta}^2N.
ID:(8240, 0)

Factor \bar{\beta}N
Ecuación 
Si se desarrolla la expresión
min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2 |
se obtiene el coeficiente
S_6=2\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)I_i(I_i+R_i+D_i) |
para el termino en \bar{\beta}N.
ID:(8241, 0)

Ecuación de regresión
Ecuación 
La ecuación
min \sum_i\left(N\displaystyle\frac{dI_i}{dt}-\bar{\beta}(N)(N-I_i-R_i-D_i)I_i+(\gamma+\delta)I_iN\right)^2 |
se puede reescribir con
S_1=\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)^2 |
S_2=\sum_iI_i^2 |
S_3=\sum_iI_i^2(I_i+R_i+D_i)^2 |
S_4=-2\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)I_i |
S_5=-2\sum_iI_i^2(I_i+R_i+D_i) |
S_6=2\sum_i\left(\displaystyle\frac{dI_i}{dt}+(\gamma+\delta)I_i\right)I_i(I_i+R_i+D_i) |
dando
min (S_1N^2+(S_6+S_4N)N\bar{\beta}+(S_3+S_5N+S_2N^2)\bar{\beta}^2) |
donde
ID:(8235, 0)

Número de personas en celda
Ecuación 
La condición
min (S_1N^2+(S_6+S_4N)N\bar{\beta}+(S_3+S_5N+S_2N^2)\bar{\beta}^2) |
se puede aplicar diferenciando respecto de
\bar{\beta}=\displaystyle\frac{(\gamma+\delta)N}{N-(I_{crit}+R_{crit}+D_{crit})} |
e igualando a cero con lo que se obtiene
N=\displaystyle\frac{(S_6+S_0S_4)S_0-(\gamma+\delta)(2S_3+S_0S_5)}{S_6+S_0S_4+(\gamma+\delta)(S_5+2S_0S_2)} |
ID:(8242, 0)

Simulador SARS - ajuste de un Modelo SEIR
Php 
El presente simulador contiene los datos de la epidemia de SARS para el caso de Hong Kong y permite buscar los parámetros de un modelo SEIR ajustando las curvas a los valores reales:
ID:(9659, 0)