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Procesar datos

Storyboard

Los datos que se recopilan son por lo general incompletos y con una estructura que no corresponde a aquellos de los modelos epidemiológicos.

>Modelo

ID:(1600, 0)

Datos recopilados normalmente

Descripción

>Top

Los datos que normalmente se recopilan (WHO y gobiernes en general) son números de:

• infectados diarios

• infectados totales (acumulados)

• muertos diarios

• muertos totales (acumulados)

Adicionalmente se pueden registrar/comunicar el numero de:

• recuperados totales (acumulados)

• test realizados

• infectados asintomáticos

Los números tienen por lo general problemas del tipo:

• retraso en informar tanto infectados como muertos

• no registro de infectados asintomáticos o con síntomas leves

• no asociación de muerto con la infección por desconocimiento y/o falta de test

• muertes por otras patológicas gatilladas por la infección

ID:(11884, 0)

Infectados acumulados

Ecuación

>Top, >Modelo

Si i(t) es el numero de infectados detectados en el tiempo t el numero total reportado (acumulado) es igual al integral o suma desde el inicio del brote:

$J(t) =\displaystyle\int_0^t i(u) du$

ID:(11885, 0)

Infectados activos

Ecuación

>Top, >Modelo

Los modelos como el SIR consideran los infectados activos I.que se pueden estimar si se conoce la probabilidad c(t) de que después de un tiempo t una persona es infecciosa. Si se conoce el numero de nuevos infectados i(u) para cada tiempo u en un tiempo posterior t-u una fracción c(t-u) sera contagioso. Por ello el numero total será

$I(t) = k \displaystyle\int_0^t c(t-u) i(u) du$

El factor k da cuenta de la fracción de infectados no detectados ya sea por no existir síntomas o no diagnosticado adecuadamente.

ID:(11886, 0)

Infectados diarios

Ecuación

>Top, >Modelo

Con el total de infectados definidos mediante

$J(t) =\displaystyle\int_0^t i(u) du$

el numero de infectados diarios se puede estimar diferenciando esta ecuación

$i = \dot{ J }$

ID:(11887, 0)

Estimación infectados activos

Ecuación

>Top, >Modelo

Si el numero de infectados por día es en primer orden constante entones la integral de

$I(t) = k \displaystyle\int_0^t c(t-u) i(u) du$

\\n\\nserá del orden del numero de días \tau que la persona es infecciosa\\n\\n

$I = k \tau i$

Con la estimación del numero de infectados diarios

$i = \dot{ J }$

se tiene

$I = k \tau \dot{ J }$

ID:(11888, 0)

Susceptibles

Ecuación

>Top, >Modelo

Los susceptibles S son aquellos que aun no han sido infectados lo que se puede calcular con el total de personas N menos aquellos que ya fueron infectados J:

$S = N - J$

ID:(11892, 0)

Factor de contagio

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la ecuación de los infectados del modelo SIR

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\displaystyle\frac{\beta C}{N}S-\gamma\right)I$

se puede reescribir con

$I = k \tau \dot{ J }$

$S = N - J$

con lo que se puede estimar

$\beta C = \displaystyle\frac{ \gamma + \displaystyle\frac{\ddot{J}}{\dot{J}}}{1-\displaystyle\frac{J}{N}}$

Importante es ver que los factor k\tau se simplifican y no afectan el factor de contagio. Este depende de la probabilidad de contagio \beta (ejemplo uso de mascarilla) y numero de contactos C (ejemplo cuarentena).

ID:(11893, 0)

Factor de reproducción, modelo SIR

Ecuación

>Top, >Modelo

Como el factor de reproducción es

$R_0=\displaystyle\frac{\beta C}{\gamma}$

se puede reescribir la ecuación

$\beta C = \displaystyle\frac{ \gamma + \displaystyle\frac{\ddot{J}}{\dot{J}}}{1-\displaystyle\frac{J}{N}}$

como

$R_0 = \displaystyle\frac{ 1 + \displaystyle\frac{1}{\gamma}\displaystyle\frac{\ddot{J}}{\dot{J}}}{1-\displaystyle\frac{J}{N}}$

ID:(11894, 0)

Resueltos acumulados

Ecuación

>Top, >Modelo

Los resueltos (recuperados en la definición de los modelos SIR) acumulados R es un factor mas grande que los muertos que se registran D(t). Si se define el factor con f se tendrá que:

$R = f D$

ID:(11890, 0)

Ecuaciones de los recuperados

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la ecuación para los resueltos del modelo SIR:

$\displaystyle\frac{dR}{dt}=\gamma I$

se tiene con la relación

$R = f D$

$I = k \tau \dot{ J }$

que se puede estimar el parámetro compuesto

$k = f \displaystyle\frac{ \dot{D} }{ \dot{J} }$

en donde se asumió que el \gamma es del orden del inverso tiempo de recuperación y este ultimo es del orden del tiempo que se esta infeccioso \tau.

El factor f es uno de los parámetros de la enfermedad y se puede estimar. El fator k sin embargo es propio de las in-eficiencias de los sistemas de monitoreo que empleamos.

ID:(11891, 0)

Estimación de valores

Ecuación

>Top, >Modelo

Para evitar las fluctuaciones de corto plazo se puede introducir una parábola local ajustada por mínimos cuadrados de la forma

$J = a t ^2 + b t + c$

en donde los factores se calculan de

$a =\displaystyle\frac{ S_{x2y} ( S_x ^2- S_{x2} N )- S_{x3} ( S_{xy} N - S_x S_y )- S_{x2} ^2 S_y + S_x S_{x2} S_{xy} )}{ S_{x4} ( S_{x2} N - S_x ^2)- S_{x3} ^2 N +2 S_x S_{x2} S_{x3} - S_{x2} ^3}$

$b =\displaystyle\frac{ S_{x4} ( S_{xy} N - S_x S_y )+ S_{x3} ( S_{x2} S_y - S_{x2y} N )- S_{x2} ^2 S_{xy} + S_x S_{x2} S_{x2y} }{ S_{x4} ( S_{x2} N - S_x ^2)- S_{x3} ^2 N +2 S_x S_{x2} S_{x3} - S_{x2} ^3}$

$c =\displaystyle\frac{ S_{x4} ( S_{x2} S_y - S_x S_{xy} )- S_{x3} ^2 S_y + S_{x3} ( S_{x2} S_{xy} + S_x S_{x2y} )- S_{x2} ^2 S_{x2y} }{ S_{x4} ( S_{x2} N - S_x ^2)- S_{x3} ^2 N +2 S_x S_{x2} S_{x3} - S_{x2} ^3}$

con

$S_{xnym} =\displaystyle\sum_i^N x_i ^n y_i ^m$

ID:(11896, 0)

Estimación de la primera derivada

Ecuación

>Top, >Modelo

Si se asume que el numero acumulado es

$J = a t ^2 + b t + c$

entonces la primera derivada es

$\dot{J} = 2 a t + b$

ID:(11897, 0)

Estimación de la segunda derivada

Ecuación

>Top, >Modelo

Si se asume que el numero acumulado es

$J = a t ^2 + b t + c$

entonces la segunda derivada es

$\ddot{J} = 2 a$

ID:(11898, 0)