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La porosidad del suelo permite que el agua de lluvia o de regadío penetre el suelo y llegue hasta la napa. Por ello debemos estudiar como se puede modelar en base a nuestro modelo geométrico como se desplaza el agua.

>Modelo

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Definición

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Imagen

La densidad de flujo ($j_s$) se puede expresar en términos de la conductividad hidráulica ($K_s$), en el límite infinitesimal con la diferencial de la altura de la columna ($dh$) y la diferencial de distancia ($dx$), de la siguiente manera:



Esto significa que cuanto mayor sea el gradiente o más empinado sea el terreno, mayor será La densidad de flujo ($j_s$), como se ilustra en el gráfico:

El gráfico muestra cómo las barras con igual ERROR:10142,0 tienen valores cada vez menores de ERROR:10141,0, lo que resulta en un valor cada vez menor de ERROR:7220,0. Dado que el volumen de líquido se conserva, esto solo puede ser posible si existe otro flujo que compense esta reducción en ERROR:7220,0. Esto podría ser un flujo perpendicular al que se muestra, por ejemplo, si las barras más bajas son más anchas en una dirección perpendicular al gráfico.

Este problema conduce a lo siguiente:

La altura $h$ del líquido solo se puede calcular como resultado de la solución de una ecuación diferencial, ya que debe cumplir con la exigencia de que el volumen se conserve en todo el ámbito donde existe flujo.

Además, es importante tener en cuenta que:

El signo negativo refleja el hecho de que el flujo siempre va de la zona de mayor altura a la de menor altura. Si la pendiente es negativa, gracias al signo, el flujo es positivo (de izquierda a derecha), y si, por el contrario, la pendiente es positiva, el flujo es negativo (de derecha a izquierda).

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Nota

Si estudiamos el caso unidimensional, describiendo el proceso a lo largo del eje $x$, podemos observar cómo varía la altura de la columna $\Delta h$ en un intervalo de tiempo $\Delta t$. En este caso, una columna con ancho $\Delta x$ cambiará su volumen por unidad de longitud en el tiempo dado por $\Delta x \Delta h/\Delta t$. Por otro lado, la cantidad de líquido que entra a lo largo de la columna en $x$ es $h(x) j_s(x)$, mientras que en $x+\Delta x$ sale como $h(x+\Delta x) j_s(x+\Delta x)$:

Por lo tanto la variación de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en el tiempo es igual a la variación del producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la densidad de flujo ($j_s$) en la posición:

La derivada parcial es similar a la derivada ordinaria, con la diferencia de que se aplica a funciones que dependen de más de una variable. En estos casos, la derivada parcial, denotada por el símbolo $\partial$, nos recuerda a la típica derivada denotada por la letra $d$, pero con la particularidad de que las variables no mencionadas en el denominador se mantienen constantes.

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Cita

En el caso del flujo hacia un canal, se puede modelar el sistema de manera unidimensional, donde la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) es una función de la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) que representa la densidad de flujo ($j_s$) y satisface la condición



con el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) que definen el perfil del agua en el suelo:

La clave de la ecuación es que el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la densidad de flujo ($j_s$) debe ser siempre constante. En ese sentido, si la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) crece, la densidad de flujo ($j_s$) decrece y viceversa. Por otro lado, el signo es siempre igual, en este sentido, un flujo hacia el canal, es decir, negativo, ocurrirá solo si la altura de la napa es superior a la del canal, y a medida que el líquido se acerca al canal, la altura disminuirá y la densidad de flujo aumentará.

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Ejercicio

La solución de la ecuación de flujo en una dimensión hacia un canal, en la cual se calcula el valor de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) en el borde del canal, junto con el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), tiene la siguiente forma:



Esta solución se representa gráficamente en función de los factores adicionales $h/h_0$ y $x/s_0$ de la siguiente manera:

El perfil revela que, lejos del canal, la altura de la columna de agua es notablemente alta. Sin embargo, debido a la extracción de agua por el canal, esta altura comienza a disminuir hasta alcanzar el borde del canal. De manera dinámica, la densidad de flujo ($j_s$) determina la cantidad de agua que fluye hacia el canal, mientras que la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se ajusta gradualmente hasta alcanzar un estado de equilibrio. En otras palabras, si el valor de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) es demasiado bajo en relación con la cantidad total de agua que llega al canal, se incrementa; y si es demasiado alto, disminuye. De esta manera, la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) adquiere el valor que equilibra la cantidad de agua que llega con la cantidad de agua que se desplaza a través del canal.

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Ecuación

La solución obtenida para la altura y los parámetros el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) nos muestra que la densidad de flujo ($j_s$) es igual a:



Podemos representar la densidad de flujo ($j_s$) gráficamente en función de los factores adicionales $j_s/j_{s0}$ y $x/s_0$ de la siguiente manera:

la densidad de flujo ($j_s$) continúa aumentando a medida que nos acercamos al canal, a medida que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) disminuye. Este aumento es necesario para mantener la velocidad del flujo en la densidad de flujo ($j_s$) o, en su defecto, para incrementarla.

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Script

En el caso en que el flujo surge desde el canal, se presenta la situación en la que el nivel de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) debe disminuir a medida que nos alejamos del canal, de manera que exista el gradiente de presión que genera el flujo. El problema es que si el flujo se desplaza rápidamente dentro del medio, la altura tenderá a cero y, con ello, el flujo aumentará infinitamente, lo que carece de sentido.

Esto significa que no existe una solución estacionaria y, ante esta situación, la única solución es que el medio se llene hasta que alcance la altura del canal, es decir, se vuelva constante.

La pregunta es si existe una situación estacionaria que no sea trivial y que represente una situación real de interés. Un caso posible es si el nivel del medio disminuye al punto en que se vuelve menor que la columna antes de que la solución diverja. Este caso corresponde a la situación en la que el flujo aflora a la superficie y no existe la situación en la que la solución diverja. Esto significaría que se genera un flujo que sale al exterior en un punto, con el riesgo de debilitar el fundamento y, por lo tanto, desestabilizar el medio, que actúa como una represa.

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Variable

Si consideramos una situación en la que el flujo desde el canal puede aflorar en la superficie, tenemos una situación en la que el flujo entra y luego sale del medio, lo que hace que la solución sea viable.

El afloramiento en la superficie simplemente implica que la altura de la columna de líquido se vuelve más alta que la del propio medio. De hecho, al igual que en el caso de un flujo hacia un canal, esto generaría agua en la superficie que, de no fluir, formaría un nuevo canal.

En el caso del flujo desde un canal, es posible modelar el sistema de manera unidimensional, donde la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) es una función de la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) que representa la densidad de flujo ($j_s$) y satisface la condición:



Con el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) que definen el perfil del agua en el suelo, como se muestra en la siguiente imagen:

La clave de la ecuación radica en que el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la densidad de flujo ($j_s$) debe ser constante en todo momento. En este sentido, si la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) aumenta, la densidad de flujo ($j_s$) disminuirá y viceversa. Además, el signo siempre es el mismo. Por lo tanto, un flujo desde el canal, es decir, un flujo positivo, solo ocurrirá si la altura del canal es mayor que la del punto donde el flujo aflora. A medida que el líquido se aleja del canal, la altura disminuirá y la densidad del flujo aumentará.

ID:(4370, 0)

Audio

La solución de la ecuación de flujo en una dimensión desde un canal, donde se calcula el valor de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) en el borde del canal, junto con el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), adopta la siguiente forma:



Esta solución se representa gráficamente en función de los factores adicionales $h/h_0$ y $x/x_0$ de la siguiente manera:

El perfil revela que la altura disminuye a medida que nos alejamos del canal para mantener un gradiente de presión. Sin embargo, surge un problema cuando la distancia alcanza la mitad de el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), ya que la altura de la columna llega a cero y no existe solución para distancias mayores (el argumento de la raíz es negativo). En otras palabras, para que la solución tenga sentido, debe existir algún mecanismo que elimine líquido antes de llegar a esta distancia crítica.

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Video

La solución obtenida para la altura y los parámetros el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) nos muestra que la densidad de flujo ($j_s$) es igual a:



Podemos representar la densidad de flujo ($j_s$) gráficamente en función de los factores adicionales $j_s/j_{s0}$ y $x/x_0$ de la siguiente manera:

la densidad de flujo ($j_s$) continúa aumentando a medida que nos acercamos al canal, a medida que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) disminuye. Este aumento es necesario para mantener la velocidad del flujo en la densidad de flujo ($j_s$) o, en su defecto, para incrementarla.

ID:(7827, 0)

Unidad

Un ejemplo que ilustra el efecto del flujo a través de la base en el caso de una represa ocurrió en la represa 1 de la mina 'Córrego do Feijão' en Brumadinho, Minas Gerais, Brasil.

El 25 de enero de 2019, la represa 1, que se muestra en el centro de la imagen, colapsó, como se ilustra en las imágenes 1 a 6. Inicialmente, la base comenzó a desplazarse mientras la parte superior se hundía. Finalmente, un torrente de agua emergió en la base mientras toda la estructura colapsaba. En la imagen central inferior se muestra la situación después de que la represa se vació completamente del lado que la contenía ([1], [2]):

En la imagen superior izquierda se aprecia la represa antes de colapsar, y en el esquema se explica cómo el agua empuja la superficie de la base (flechas azules) y el centro colapsa (flecha beige). En las imágenes se puede ver nuevamente la estructura antes del colapso (foto superior derecha), cuando se comienza a forzar la base y colapsa la parte superior (foto inferior izquierda) y el caudal de agua resultante en la base (foto inferior derecha) [3]:

La dinámica está determinada por la alta presión y alto flujo que existen en la base, lo que explica el surgimiento del agua a través de este camino.

En este caso, hubo múltiples indicios de peligro, por lo que se realizó un monitoreo detallado vía satélite del desplazamiento de múltiples puntos durante más de un año. Los puntos se indican en la foto superior, y en la segunda imagen en la parte inferior izquierda, se observa un detalle de la base. Especialmente se destacan los puntos que experimentaron el mayor desplazamiento total (Bs y Bp), que también se muestran en el gráfico a la derecha. En el gráfico también se aprecia la cantidad de lluvia, que contribuye en parte pero no necesariamente es un factor clave [4]:

Este ejemplo pretende mostrar cómo la alta presión en la base junto con el alto flujo de agua contribuyen a la dinámica observada, sin explicar necesariamente cuándo ni cómo se volvió inestable. Esto se explorará más adelante.

[1] Google Earth Pro para Brumadinho, Minas Gerais, Brasil, enero de 2019 y febrero de 2019

[2] Cámaras Vale S.A.

[3] Procedimiento Investigativo Criminal n.º MPMG-0090.19.000013-4, Investigación Policial n. PCMG-7977979, MINISTÉRIO PÚBLICO DO ESTADO DE MINAS GERAIS

[4] Deformaciones Previas al Colapso de la Represa de Brumadinho Reveladas por Datos InSAR de Sentinel-1 Utilizando Técnicas SBAS y PSI, Fábio F. Gama, José C. Mura, Waldir R. Paradella y Cleber G. de Oliveira, MDPI, Remote Sens. 2020, 12, 3664

ID:(4378, 0)

Code

En el caso del flujo hacia un pozo, la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el radio desde el centro del pozo ($r$) con el radio del pozo de agua ($r_0$), el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se describe mediante



que define el perfil del agua en el suelo:

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Flujo

La solución de la ecuación de flujo en una dimensión hacia un pozo, en la cual se calcula el valor de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el radio desde el centro del pozo ($r$), la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el radio del pozo de agua ($r_0$) en el borde del pozo, junto con el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), tiene la siguiente forma:



Esta solución se representa gráficamente en función de los factores adicionales $h/h_0$ y $r/r_0$ para distintos $r_0/s_0$ de la siguiente manera:

El perfil revela que, lejos del pozo, la altura de la columna de agua es notablemente alta. Sin embargo, debido a la extracción de agua por el pozo, esta altura comienza a disminuir hasta alcanzar el borde del pozo. De manera dinámica, la densidad de flujo ($j_s$) determina la cantidad de agua que fluye hacia el pozo, mientras que la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se ajusta gradualmente hasta alcanzar un estado de equilibrio. En otras palabras, si el valor de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) es demasiado bajo en relación con la cantidad total de agua que llega al pozo, se incrementa; y si es demasiado alto, disminuye. De esta manera, la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) adquiere el valor que equilibra la cantidad de agua que llega con la cantidad de agua que se extrae a través del pozo.

ID:(10591, 0)

Matriz

La solución obtenida para la altura y los parámetros el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y el radio desde el centro del pozo ($r$), el radio del pozo de agua ($r_0$), el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) nos muestra que la densidad de flujo ($j_s$) es igual a:



Esta solución se representa gráficamente en función de los factores adicionales $j_s/j_{s0}$ y $r/r_0$ para distintos $r_0/s_0$ de la siguiente manera:

la densidad de flujo ($j_s$) continúa aumentando a medida que nos acercamos al canal, a medida que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) disminuye. Este aumento es necesario para mantener la velocidad del flujo en la densidad de flujo ($j_s$) o, en su defecto, para incrementarla.

ID:(2209, 0)

Html

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