Die zellularen Automaten sind Modelle, die die Raumzeit diskretisieren und Automaten in jedem Punkt (Zelle) des Netzwerks definieren, die in der Funktion dessen arbeiten, was ihre Nachbarn tun (Automaten, weil sie eine definierte Form der Reaktion haben). Ein Beispiel ist eine sechseckige Struktur:

Modell D2Q7 (zwei Dimensionen und 7 Elemente pro Zelle - 6 Seiten und 1 Mitte)

Im Fall, dass es auf ein teilchenf rmiges Gas angewendet wird, kann jeder Knoten (Zust nde 0 und 1) ein Teilchen enthalten, das nur Geschwindigkeiten mit den Richtungen haben kann, die zwischen den Zellen verkn pfen.

In der Simulation mit Modellen wie zellularen Automaten gibt es zwei Phasen:

- Zelle wirkt auf die anderen
- Zelle verarbeitet Aktionen der Umwelt

Im speziellen Fall der Modellierung eines Gases entspricht der erste Schritt dem Fliessen (Streaming), w hrend der zweite zur Kollision (Kollision).

Die mathematische Beschreibung erfolgt durch die Partikelverteilungsfunktion f(\vec{x},\vec{v},t) wobei \vec{x} Position, ist \vec{v} die Geschwindigkeit und t die Zeit. Wie in diesem Fall gibt es nur diskrete Geschwindigkeiten \vec{e} _i neigen dazu, die Verteilungsfunktion als Satz von Funktionen f_i anzuzeigen

(ID 8494)

El modelo D2Q9 es un modelo bidimensional (D2) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\nen el origen\\n\\n

$\vec{e}_0=(0,0)$

\\n\\nen las esquinas\\n\\n

$\vec{e}_1=(1,0)$

(E),\\n

$\vec{e}_2=(0,1)$

(N), \\n

$\vec{e}_3=(-1,0)$

(W) y \\n

$\vec{e}_4=(0,-1)$

(S)\\n\\ny en las diagonales\\n\\n

$\vec{e}_5=(1,1)$

(NE), \\n

$\vec{e}_6=(-1,1)$

(SE), \\n

$\vec{e}_7=(-1,-1)$

(SW) y \\n

$\vec{e}_8=(1,-1)$

(NW)

lo que se representa en la siguiente gr fica:

(ID 8496)

El modelo D2Q9 la distribuci n en equilibrio se describe mediante la ecuaci n

\\n\\nen donde los pesos de la probabilidad son\\n\\n

$\omega_0=\displaystyle\frac{4}{9}$

\\n\\n

$\omega_1=\omega_2=\omega_3=\omega_4=\displaystyle\frac{1}{9}$

\\n\\n

$\omega_5=\omega_6=\omega_7=\omega_8=\displaystyle\frac{1}{36}$

(ID 8705)

El modelo D2Q9 la distribuci n se recalcula por efecto de las colisiones mediante

(ID 8706)

Das D3Q15 Modell ist ein zweidimensionales Modell (D3), in dem der Knoten (Punkt center) Knoten entlang der kartesischen Achsen verbindet\\n\\n

$(1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0), (0,0,1) (0,0,-1)$

\\n\\nund in den Ecken des W rfels\\n\\n

$(1,0,1), (-1,0,1), (0,1,1) , (0,-1,1), (1,0,-1), (-1,0,-1), (0,1,-1) , (0,-1,-1)$

was es in der folgenden Grafik dargestellt ist:

Es ist relativ einfach Modelle zu bauen vom Typ D3Q19 (einschlie lich der H lften der Seitenkanten ) oder D3Q27 (alle m glichen Punkte).

(ID 8497)

En la etapa de steraming (flujo) se transportan las part culas de una celda seg n la direcci n de la velocidad que tengan hacia el nodo correspondiente:

\\n\\nEn el caso del streaming se re calculan las funciones distribuci n en el sentido de que se re calculan sus componentes:\\n\\n

$f_i(\vec{x}+\vec{e}_i\delta t,t+\delta t)=f_i(\vec{x},t)$

En este punto tambi n se incluye el efecto de los bordes que en el caso est tico reflejan la velocidad (rebote) y en el caso que se est n moviendo la modifican.

(ID 8498)

En la etapa de colisiones se reasignan part culas de una direcci n de velocidad a otra:

\\n\\nPara ello es necesario modelar la colisi n que finalmente depende de la distribuci n misma y del tipo de interacci n que exista. El resultado es que la nueva funci n distribuci n ser :\\n\\n

$f_i(\vec{x},t+\delta t)=f_i(\vec{x},t)+C(f)$

(ID 8495)

El borde mas simple es una pared paralela a la red misma de modo que las part culas pueden rebotar en forma simple:

\\n\\nEn estos casos la funci n distribuci n se deja f cilmente calcular simplemente invirtiendo la velocidad en la distribuci n en la posici n sim trica al punto de rebote:\\n\\n

$f(\vec{x},e_i,t+\delta t)=f(\vec{x},-e_i,t)$

(ID 8501)

Wenn der R ckprall nicht an einem Punkt des Netzes sondern in einem Abstand \Delta eintritt:

\\n\\ndann sollte die Funktion die Beitr ge der Abweichungen ber cksichtigen\\n\\n

$f_i(x_f,t+\delta t)=\displaystyle\frac{(1-\Delta)f_{-i}(x_f,t)+\Delta(f_{-i}(x_b,t)+f_{-i}(x_{f2},t)}{1+\Delta}$

(ID 8499)

Wenn die Wand eine Neigung haben bez glich des Netzwerk es in einer komplexere Modellierung notwendig:

Allgemeine Umrandung

Zun chst muss eine ungef hre Grenze festgelegt werden um dann die entsprechende Gleichungen definiert werden. Diese wird dann innerhalb des Streamng Prozess angewandt.

(ID 8500)

Si la pare se encuentra en movimiento a una velocidad $\vec{U}$ debe considerarse que puede incrementar o frenar a las part culas. En general se tendr que\\n\\n

$f_i(\vec{e}_i,t+\delta t)=f_{-i}(\vec{e}_i)+G(\vec{e}_i,\vec{U})+G(-\vec{e}_i,-\vec{U})$

\\n\\nque se puede simplificar a \\n\\n

$f_i(e_i,t+\delta t)=f_{-i}(e_i)+\displaystyle\frac{6}{c^2}(\omega_im\vec{U}\cdot\vec{e}_i)$

(ID 8502)