Los aut matas celulares son modelos en que discretiza el espacio tiempo y se definen aut matas en cada punto (c lula) de la red que act an en funci n de lo que hacen sus vecinos (aut matas pues tienen una forma definida de reaccionar). Un ejemplo es una estructura hexagonal:

Modelo D2Q7 (dos dimensiones y 7 elementos por celda - 6 lados y 1 centro)

En el caso que se aplica a un gas de part culas, cada nodo puede o no contener (estados 0 y 1) una part cula que puede solo tener las velocidades con las direcciones que los links entre celdas.

En la simulaci n con modelos tipo aut matas celulares existen dos fases:

- celda act a sobre las dem s
- celda procesa actuaciones del entorno

En el caso especial de que se modela un gas el primer paso corresponde al flujo (streaming) mientras que el segundo a las colisiones (collision).

la descripci n matem tica se realiza mediante la funci n de distribuci n de part culas f(\vec{x},\vec{v},t) donde \vec{x} es la posici n, $\vec{v}$ la velocidad y t el tiempo. Como en este caso solo existen velocidades discretas \vec{e}_i se tiende a indicar la funci n distribuci n como un conjunto de funciones f_i tales que

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El modelo D2Q9 es un modelo bidimensional (D2) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\nen el origen\\n\\n

$\vec{e}_0=(0,0)$

\\n\\nen las esquinas\\n\\n

$\vec{e}_1=(1,0)$

(E),\\n

$\vec{e}_2=(0,1)$

(N), \\n

$\vec{e}_3=(-1,0)$

(W) y \\n

$\vec{e}_4=(0,-1)$

(S)\\n\\ny en las diagonales\\n\\n

$\vec{e}_5=(1,1)$

(NE), \\n

$\vec{e}_6=(-1,1)$

(SE), \\n

$\vec{e}_7=(-1,-1)$

(SW) y \\n

$\vec{e}_8=(1,-1)$

(NW)

lo que se representa en la siguiente gr fica:

(ID 8496)

El modelo D2Q9 la distribuci n en equilibrio se describe mediante la ecuaci n

\\n\\nen donde los pesos de la probabilidad son\\n\\n

$\omega_0=\displaystyle\frac{4}{9}$

\\n\\n

$\omega_1=\omega_2=\omega_3=\omega_4=\displaystyle\frac{1}{9}$

\\n\\n

$\omega_5=\omega_6=\omega_7=\omega_8=\displaystyle\frac{1}{36}$

(ID 8705)

El modelo D2Q9 la distribuci n se recalcula por efecto de las colisiones mediante

(ID 8706)

El modelo D3Q15 es un modelo bidimensional (D3) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\n

$(1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0), (0,0,1) y (0,0,-1)$

\\n\\ny en las esquinas del cubo\\n\\n

$(1,0,1), (-1,0,1), (0,1,1) , (0,-1,1), (1,0,-1), (-1,0,-1), (0,1,-1) , (0,-1,-1)$

lo que se representa en la siguiente gr fica:

Es facil que se pueden construir modelos del tipo D3Q19 (incluyendo las mitades de las aristas laterales) o D3Q27 (todos los puntos posibles).

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En la etapa de steraming (flujo) se transportan las part culas de una celda seg n la direcci n de la velocidad que tengan hacia el nodo correspondiente:

\\n\\nEn el caso del streaming se re calculan las funciones distribuci n en el sentido de que se re calculan sus componentes:\\n\\n

$f_i(\vec{x}+\vec{e}_i\delta t,t+\delta t)=f_i(\vec{x},t)$

En este punto tambi n se incluye el efecto de los bordes que en el caso est tico reflejan la velocidad (rebote) y en el caso que se est n moviendo la modifican.

(ID 8498)

En la etapa de colisiones se reasignan part culas de una direcci n de velocidad a otra:

\\n\\nPara ello es necesario modelar la colisi n que finalmente depende de la distribuci n misma y del tipo de interacci n que exista. El resultado es que la nueva funci n distribuci n ser :\\n\\n

$f_i(\vec{x},t+\delta t)=f_i(\vec{x},t)+C(f)$

(ID 8495)

El borde mas simple es una pared paralela a la red misma de modo que las part culas pueden rebotar en forma simple:

\\n\\nEn estos casos la funci n distribuci n se deja f cilmente calcular simplemente invirtiendo la velocidad en la distribuci n en la posici n sim trica al punto de rebote:\\n\\n

$f(\vec{x},e_i,t+\delta t)=f(\vec{x},-e_i,t)$

(ID 8501)

Si el choque no ocurre en el punto de la red si no que a una distancia \Delta:

\\n\\nentonces la funci n debe considerar el desfase ponderando las contribuciones\\n\\n

$f_i(x_f,t+\delta t)=\displaystyle\frac{(1-\Delta)f_{-i}(x_f,t)+\Delta(f_{-i}(x_b,t)+f_{-i}(x_{f2},t)}{1+\Delta}$

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Si la pared muestra una inclinaci n respecto de la red debe ser modelada en una forma mas compleja:

Borde mas general

Primero debe ser definida una frontera aproximada que permita establecer las ecuaciones de borde necesarias. Luego deben ser aplicadas en el proceso de steraming.

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Si la pare se encuentra en movimiento a una velocidad $\vec{U}$ debe considerarse que puede incrementar o frenar a las part culas. En general se tendr que\\n\\n

$f_i(\vec{e}_i,t+\delta t)=f_{-i}(\vec{e}_i)+G(\vec{e}_i,\vec{U})+G(-\vec{e}_i,-\vec{U})$

\\n\\nque se puede simplificar a \\n\\n

$f_i(e_i,t+\delta t)=f_{-i}(e_i)+\displaystyle\frac{6}{c^2}(\omega_im\vec{U}\cdot\vec{e}_i)$

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