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Generalisierte Kraft
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Die verallgemeinerten Kräfte (intensive Variablen) und ihre entsprechenden konjugierten Variablen (extensive Variablen) repräsentieren die Art und Weise, wie verschiedene mikroskopische Parameter aus mikroskopischen Verteilungen berechnet werden können.

>Modell

ID:(438, 0)


Verallgemeinerte Kraft
Gleichung

>Top, >Modell


Wenn wir die Energie um eine Variable $x_i$ entwickeln:

$dE = -\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x_i}dx_i$



erkennen wir, dass die Ableitung der Energie nach dieser Variable wie eine Kraft wirkt, die dazu neigt, Änderungen in der Variable zu verhindern. Aus diesem Grund wird die Ableitung der Kraft nach der Variable $x_i$, mit

$X_i=-\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x_i}$

als generalisierte Kraft bezeichnet. Die generalisierte Kraft ist eine intensive Variable (sie hängt nicht von der Größe des Systems ab), während die zugehörige Variable eine extensive Variable ist (sie hängt von der Größe des Systems ab).

Ein Beispiel für eine extensive Variable ist das Volumen. Wenn wir ein größeres System betrachten, nimmt sein Volumen zu. Die Druckstärke hingegen ist intensiv, was bedeutet, dass sie sich nicht erhöht, wenn wir ein größeres System betrachten.

ID:(3445, 0)


Verallgemeinerte Kraftberechnung
Gleichung

>Top, >Modell


Wie die verallgemeinerte Kraft e mit energía del sistema $J$, fuerza generalizada $-$ und variable extensiva $-$s

$X_i=-\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x_i}$



kann als

$\displaystyle\frac{1}{T}=\displaystyle\frac{\partial S}{\partial E}$



umgeschrieben werden:

$X_i =\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x_i}=\displaystyle\frac{\partial E}{\partial S}\displaystyle\frac{\partial S}{\partial x_i}=T\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i} (k\ln\Omega)$



was zu

$ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$



führt, wobei

$ X_i =\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i }\ln \Omega $

.

ID:(11544, 0)


Beispiele für intensive und extensive Variablen
Bild

>Top


Ein Artikel, der die meisten thermodynamischen Beziehungen sehr gut zusammenfasst, ist Use of Legendre Transforms in Chemical Thermodynamics, Robert A. Alberty, Pure Appl. Chem., Vol. 73, No. 8, pp. 13491380, 2001 der die meisten thermodynamischen Beziehungen sehr gut zusammenfasst, ist

ID:(11545, 0)


Druck als verallgemeinerte Kraft
Gleichung

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Ein Beispiel für eine extensive Variable und eine generalisierte Kraft ist das Volumen $V$ mit dem Druck $p$. In diesem Fall wird die Beziehung für die generalisierte Kraft mit wie folgt dargestellt:

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial V}$

ID:(3446, 0)


Allgemeine Gleichung von Gasen
Gleichung

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Si empleamos el numero de estados para el caso de un gas ideal tendremos que el numero de estados es con

$ \Omega = \Omega_0 \left(\displaystyle\frac{2 m }{ h ^2}\right)^{3 N /2} V ^ N E ^{3N/2}$

\\n\\ncon N el numero de partículas, V el volumen, E la energía, m la masa de la partícula y h la constante de Planck.\\n\\nSi calculamos el logaritmo del numero de estados y luego diferenciamos se obtiene\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial \ln\Omega}{\partial V}=\displaystyle\frac{N}{V}$



por lo que se obtiene con :

$ \bar{p} =\displaystyle\frac{ N }{ V } k_B T $

ID:(3447, 0)


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