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Verteilung und Entropie
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Wenn wir die Wahrscheinlichkeit analysieren, das System in einem bestimmten Zustand zu finden, stellen wir fest, dass die Gleichgewichtsbedingung ($\beta$) ein integraler Bestandteil der Verteilungsstruktur ist. Darüber hinaus wird deutlich, dass die Funktion, die das System am besten modelliert, der Logarithmus der Anzahl der Zustände ist, was mit dem Begriff Entropie verknüpft ist.
ID:(437, 0)
Bilden eines Maximums
Bild
Wenn wir die Anzahl der Fälle multiplizieren, erhalten wir eine Funktion mit einem sehr ausgeprägten Maximum.
Das System wird mit größerer Wahrscheinlichkeit bei der Energie gefunden, an der das Maximum der Wahrscheinlichkeitskurve auftritt.
ID:(11543, 0)
Taylor Reihe für die Anzahl der Staaten
Gleichung
Um das Verhalten der Funktion der Zustandsanzahl zu untersuchen, können wir sie um den Wert der Gleichgewichtsenergie $\bar{E}$ entwickeln. Wenn wir diese Entwicklung im Logarithmus der Zustandsanzahl durchführen, erhalten wir
$\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}\eta+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}\eta^2\ldots$
wobei $\eta=E-\bar{E}$ ist. Mit für die Definition von
| $ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
und
$\lambda\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$
erhalten wir den Ausdruck mit :
 $\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\beta\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\eta^2\ldots$ |
ID:(3443, 0)
Form der Wahrscheinlichkeitsfunktion
Gleichung
Wenn wir die Erweiterung der Zustandsanzahl mit beta del sistema $1/J$, desviación de la energía $J$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía media $\bar{E}$ $-$ und medida del ancho de la distribución de probabilidad $1/J^2$ in Betracht ziehen:
| $\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\beta\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\eta^2\ldots$ |
können wir das Logarithmus der Wahrscheinlichkeit abschätzen:
$\ln P = \ln[\Omega(E)\Omega'(E')] = \ln\Omega(E) + \ln\Omega'(E') = \ln\Omega(\bar{E}) + \ln\Omega'(\bar{E'}) + (\beta - \beta')\eta - \frac{1}{2}(\lambda + \lambda')\eta^2\ldots$
Für den Fall des Gleichgewichts sind beide Betas gleich, und die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Systeme eine Energie $E$ hat, reduziert sich auf eine Gaußverteilung, die mit beta del sistema $1/J$, desviación de la energía $J$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía media $\bar{E}$ $-$ und medida del ancho de la distribución de probabilidad $1/J^2$ wie folgt ausgedrückt wird:
| $P(E)=P(\bar{E})e^{-\lambda_0(E-\bar{E})^2/2}$ |
wobei
$\lambda_0 = \lambda + \lambda'$
ID:(3444, 0)
Verteilungsbreite
Gleichung
Der Faktor, der die Breite der Wahrscheinlichkeitskurve definiert, ist der quadratische Faktor in der Taylorreihenentwicklung, der mit wie folgt ausgedrückt wird:
| $\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$ |
Es kann gezeigt werden, dass die eingeführte Zahl $\lambda$ immer positiv ist. Ein Hinweis darauf ergibt sich aus der Funktion für die Anzahl der Zustände, die wir bereits für den Fall freier Teilchen berechnet haben. In diesem Fall, da die Anzahl der Zustände proportional zur Energie hoch erhoben zur Potenz der Freiheitsgrade $f$ ist, erhalten wir mit
$\Omega\sim E^f$
folgendes Ergebnis:
$\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-f\displaystyle\frac{\partial^2\ln E}{\partial E^2}=\displaystyle\frac{f}{E^2}$
.
ID:(11549, 0)
Definition der Entropie basierend auf möglichen Zuständen
Gleichung
Der Schlüsselparameter bei der Untersuchung des Gleichgewichts wird durch den Logarithmus der Anzahl der Zustände bestimmt, der mit wie folgt ausgedrückt wird:
| $\beta(E)\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}$ |
Der natürliche Logarithmus der Anzahl der Zustände, multipliziert mit der Boltzmann-Konstanten $k_B$, wird als die Entropie des Systems definiert, die mit wie folgt ausgedrückt wird:
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
ID:(3439, 0)
Thermodynamik Beziehung
Gleichung
Die Definition von $\beta$ finden Sie unter
| $\beta(E)\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}$ |
diejenige der Temperatur unter
| $ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
und die der Entropie unter constante de Boltzmann $J/K$, entropia del sistema $J/K$ und numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
Diese Definitionen führen uns zu einer thermodynamischen Beziehung, die zeigt, wie die Temperatur $T$ in Beziehung steht zu constante de Boltzmann $J/K$, entropia del sistema $J/K$ und numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$:
| $\displaystyle\frac{1}{T}=\displaystyle\frac{\partial S}{\partial E}$ |
ID:(3442, 0)
Entropie und System Gleichgewicht
Gleichung
Mit der Definition der Entropie als constante de Boltzmann $J/K$, entropia del sistema $J/K$ und numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$:
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
und in Erinnerung daran, dass im Gleichgewicht mit gilt:
| $\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega_h}{\partial E_h}=0$ |
schlussfolgern wir, dass im Gleichgewicht die Energie $E$ immer maximal sein muss mit :
| $ S + S_h =max$ |
ID:(3440, 0)
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Video: Verteilung und Entropie