Si multiplicamos el n mero de casos, obtenemos una funci n con un m ximo muy definido.

El sistema tendr una mayor probabilidad de encontrarse en la energ a en la que se encuentra el pico de la curva de probabilidad.

(ID 11543)

Para estudiar el comportamiento de la funci n del n mero de estados, podemos desarrollarla en torno al valor de la energ a en el estado de equilibrio $\bar{E}$. Si lo hacemos en el logaritmo del n mero de estados, obtenemos

$\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}\eta+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}\eta^2\ldots$

donde $\eta=E-\bar{E}$. Utilizando para la definici n de

y

$\lambda\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$

obtenemos la expresi n con :

(ID 3443)

Si consideramos la expansi n del n mero de estados con beta del sistema $1/J$, desviación de la energía $J$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía media $\bar{E}$ $-$ y medida del ancho de la distribución de probabilidad $1/J^2$:

podemos estimar el logaritmo de la probabilidad:

$\ln P = \ln[\Omega(E)\Omega'(E')] = \ln\Omega(E) + \ln\Omega'(E') = \ln\Omega(\bar{E}) + \ln\Omega'(\bar{E'}) + (\beta - \beta')\eta - \frac{1}{2}(\lambda + \lambda')\eta^2\ldots$

Para el caso del estado en equilibrio, ambos betas son iguales y la probabilidad de que uno de los sistemas tenga una energ a $E$ se reduce a una distribuci n gaussiana, que se expresa con beta del sistema $1/J$, desviación de la energía $J$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía media $\bar{E}$ $-$ y medida del ancho de la distribución de probabilidad $1/J^2$ de la siguiente manera:

donde

$\lambda_0 = \lambda + \lambda'$

(ID 3444)

El factor que determina la anchura de la curva de probabilidades es el factor cuadr tico de la desviaci n en la serie de Taylor, que se expresa con de la siguiente manera:

Se puede demostrar que el n mero $\lambda$ introducido siempre es positivo. Un indicio de ello se obtiene de la funci n del n mero de estados que ya calculamos para el caso de part culas libres. En ese caso, dado que el n mero de estados es proporcional a la energ a elevada a la potencia del n mero de grados de libertad $f$, podemos afirmar que con

$\Omega\sim E^f$

obtenemos

$\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-f\displaystyle\frac{\partial^2\ln E}{\partial E^2}=\displaystyle\frac{f}{E^2}$

.

(ID 11549)

El par metro clave en el estudio del equilibrio est representado por el logaritmo del n mero de estados, que con se expresa como:

La funci n logaritmo natural del n mero de estados, multiplicada por la constante de Boltzmann $k_B$, se define como la entrop a del sistema, que se expresa con de la siguiente manera:

(ID 3439)

La definici n de $\beta$ se encuentra en

la de la temperatura se encuentra en

y la de la entrop a en constante de Boltzmann $J/K$, entropia del sistema $J/K$ y numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$

Estas definiciones nos llevan a una relaci n termodin mica que nos indica c mo la temperatura $T$ se relaciona con constante de Boltzmann $J/K$, entropia del sistema $J/K$ y numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$:

(ID 3442)

Con la definici n de la entrop a con constante de Boltzmann $J/K$, entropia del sistema $J/K$ y numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$ como

y recordando que en equilibrio se cumple con

concluimos que en equilibrio la energ a $E$ debe ser siempre m xima con :

(ID 3440)